动态电力系统分析第二章小干扰稳定

1、,North China Electric Power University,Department of Electrical Engineering,Baoding 2008.5-7,动态电力系统分析与控制,目 录,一电力系统数学模型及参数,二电力系统小干扰稳定性分析,五直接法在暂态稳定分析中的应用,三电力系统次同步谐振分析,四电力系统暂态稳定性分析,六电力系统电压稳定性分析,七线性最优控制系统,八非线性控制系统,九电力系统控制,第二章电力系统小干扰稳定性分析目录,一概述,二小干扰分析法,五低频振荡模式及PSS参数设置,三多机电力系统的静态稳定计算(一),四多机电力系统的静态稳定计算(二),

2、31多机系统静态非周期稳定性 3.1.1. 电力系统运动方程及其线性化 电力系统小干扰稳定性分析是研究电力系统在某个运行工况下受到小干扰后电力系统能否保持同步运行的问题。根据研究的重点和深度不同，所涉及的电力系统各部件的方程也不同。一般有以下方程：,三多机电力系统的静态稳定计算(一),同步机组转子运动方程 研究电力系统小干扰稳定性的系统状态方程必须有能反映同步机组转速和角度的各同步机组的转子运动方程： (2-23) 式中： 是额定同步电角速度； 是第 台同步机组的惯性时间常数，用秒表示； 是第 台同步机组相对于参考点的电角度；,三多机电力系统的静态稳定计算(一),是第 台同步机组的电角速度，用

3、标么值表示； 是第 台同步机组的机械功率，用标么值表示； 是第 台同步机组的电磁功率，用标么值表示；,三多机电力系统的静态稳定计算(一),即使在暂态过程，同步机组的角速度变化也不大，可以近似地认为转矩的标么值等于功率的标么值。因此用 和 分别代替机械转矩和电磁转矩。,三多机电力系统的静态稳定计算(一),将(2-23)式在运行点线性化。令： ， ， ， 代入(2-23)式，整理得： (2-24) (2-24)式不是状态方程，因为在(2-24)式中，除了能作为状态变量的 ， 及其变化率外，还有其它中间变量 和 。要把这些中间变量消除后，相应的方程才能构成状态方程。,三多机电力系统的静态稳定计算(一

4、),原动机功率方程 分析电力系统小干扰稳定性时，通常有以下简化条件： 原动机功率（转矩）恒定，即 ； 用恒定阻抗代替负荷； 不计电力网络内的电磁暂态过程。 在这些简化条件下，根据(2-24)式可知：转子上不平衡力矩的出现是由于电磁功率 的变化引起的。因此需知电磁功率 的方程。,三多机电力系统的静态稳定计算(一),在电力系统小干扰稳定性分析时，根据研究的需要，发电机采用不同精度的模型。对于不同的发电机模型，电磁功率 的计算有不同的方式。因而相应的系统状态方程也有所不同。,三多机电力系统的静态稳定计算(一),3.1.2. 发电机采用 ， 模型时多机系统状态方程 当发电机采用比例式励磁调节器，按电压

5、偏差调节励磁电压时，发电机可以近似地用 ， 模型表示。这种隐极化的发电机模型，可以简化多机系统小干扰稳定性的分析，计算。 多机系统小干扰稳定性的计算步骤： 确定待分析的电力系统某一运行方式并作潮流计算，算出系统各节点的电压相量 和各发电机输出功率 （换算成节点注入电流 ）；,三多机电力系统的静态稳定计算(一), 根据给定的节点负荷功率 和对应的节点电压 ，求出代替负荷功率的导纳 。即用恒定导纳（阻抗）代替负荷。 (2-25) 修正网络方程。设系统原有 个节点，其中有 个发电机节点，且把发电机节点排在前面。原网络方程为： (2-26) 式中： 是网络节点注入电流； 是 网络节点电压。,三多机电力

6、系统的静态稳定计算(一),在所有发电机节点 增加一支路，支路导纳 为发电机阻抗 的倒数，支路末端是新增的发电机电势节点 。发电机电势节点 的节点注入电流为原发电机节点 的节点注入电流。原发电机节点 的节点注入电流现在为0，即节点 成了联络节点。负荷节点用恒定阻抗代替负荷后，其节点注入电流也为0，即负荷节点也成了联络节点。这样，网络方程的原 个节点就都成了联络节点。,三多机电力系统的静态稳定计算(一),包括发电机电势节点的新的网络矩阵为 阶 。新网络矩阵为： (2-27) 式中： 是发电机电势节点注入电流； 是发电机电势。 。 是在式(2-26) 中的发电机节点 增加发电机导纳 ，在负荷节点 增

7、加负荷导纳 后形成的导纳阵，为 阶；,三多机电力系统的静态稳定计算(一),是原网络中的发电机节点 与对应的发电机电势 间的互导纳（ ）组成的导纳阵，为 阶； ； 是各发电机电势节点的自导纳（ ）组成的对角阵，为 阶。,三多机电力系统的静态稳定计算(一), 消去联络节点。 由(2-27)式，有： 解出： (2-28) 将(2-28)式代入(2-27)第二式： ，整理得： (2-29) 式中： 由发电机电势节点的自导纳和互导纳组成。,三多机电力系统的静态稳定计算(一), 发电机电磁功率表达式。 由式(2-29)，有： (2-30) 式中： 是 自导纳的模； 是 互导纳的模； 是互导纳的阻抗角； 是

8、电势 与电势 间的相对功角。,三多机电力系统的静态稳定计算(一), 系统状态方程。 (2-30)式是发电机输出有功功率的表达式。 即为(2-23)式中的 。将(2-30)式代入(2-23)式，消去 。此时，方程中除了状态变量 ， 外， ， 都是常数，没有其它中间变量。因而可以构成状态方程。 取状态变量 ， 。可得状态方程： 式中： (2-31),三多机电力系统的静态稳定计算(一), 系统线性化状态方程。 在(2-31) 式中，取 ， ， 。 因而有： 式中：,三多机电力系统的静态稳定计算(一),写成矩阵形式： (2-32) (2-32)式即为系统线性化状态方程。求出系数矩阵的特征根，然后根据特

9、征根就可判断系统的稳定性。,三多机电力系统的静态稳定计算(一),用(2-32)式计算特征根时会得到一个零根。这个零根 的出现是由于(2-32)式中使用了绝对角偏移 ，如果采用相对角偏移 （ ，是基准节点）,则不会出现这个零根。设以发电机节点 为基准节点，做相对角偏移 （ ）。 由于 （ ）， ，所以 (2-33) 由于， 所以,三多机电力系统的静态稳定计算(一),三多机电力系统的静态稳定计算(一),(2-34),取 ， （ ）。从(2-33)，(2-34)可得： （ ） （ ） 写成矩阵形式： (2-35) (2-35)式有 个方程，用(2-35)式计算特征根时不会出现上述零根。,三多机电力系

10、统的静态稳定计算(一),3.1.3. 发电机采用 模型时多机系统状态方程 发电机 恒定的模型较之 恒定的模型更为准确。但此时要计及发电机的凸极效应，发电机的电磁功率表达式不像(2-30)式那么简单。在计算系统静态稳定性时，为计算简便起见，不去推导系统的非线性方程，然后再线性化。而是直接根据线性化的条件，推导线性化的方程。另外，由于这时要考虑发电机的 轴分量和 轴分量，而每台发电机的 轴方向和 轴方向又不一样，因此有坐标转换的问题。计算步骤如下：,四多机电力系统的静态稳定计算(二), 确定待分析的电力系统某一运行方式并作潮流计算，算出系统各节点的电压相量 和各发电机输出功率 （换算成节点注入电流

11、 ）； 根据给定的节点负荷功率 和对应的节点电压 ，求出代替负荷功率的导纳 。即用恒定导纳（阻抗）代替负荷。负荷节点的节点注入电流 ，即 (2-36) 其增量形式为： 写成矩阵形式： (2-37),四多机电力系统的静态稳定计算(二),列出线性化方程式： 转子运动方程式 (2-38) 电磁功率方程式 (2-39) 发电机定子回路方程式 其增量形式为： ， 即 (2-40),四多机电力系统的静态稳定计算(二),列出网络方程式 (2-41) 式中 为节点注入电流列向量，为节点电压列向量。 网络节点包括负荷节点，发电机节点和联络节点。在有 个发电机的电力系统中，每台发电机都有(2-38) 式和 (2-

12、39) 式的三个方程式，因此共有 个。(2-41) 式中的 和 是经过潮流计算得到的相对于某一公共坐标的值，而(2-38) 式和 (2-39) 式的 是以各自发电机的 轴为坐标的值。为了(2-38) 式， (2-39) 式与(2-41) 式联立求解，这些变量必须转换到同一坐标系。,四多机电力系统的静态稳定计算(二),坐标变换 图2-1表示 坐标与 坐标的相互关系， 轴至轴的夹角为 。由图有： （2-42) 写成矩阵形式： 式中： 是坐标变换矩阵。且有 。,四多机电力系统的静态稳定计算(二),对（2-42）式线性化： （2-43） （2-44） 写成矩阵形式： 而,四多机电力系统的静态稳定计算(

13、二),修正网络方程式 （2-41）式所示网络方程式中，各电压和电流值是对应于公共坐标 的值，将其表示为 轴分量和 轴分量，即 ， 。导纳按（2-37）式的方法表示。写成增量形式为： （2-45）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),式中： ， 是网络节点间的导纳的实部和虚部。 设节点 是负荷节点，则有： 。将 其代入（2-45）式,合并同类项，有：,四多机电力系统的静态稳定计算(二),式中： ， 。 这样一来，网络中原来的负荷节点就转变为联络节点。消去联络节点，得： （2-46） 式中： 是各发电机节点电压偏移量的实部和虚部分量组成的列向量， 是各发电机节点注入电流偏移量的实部和虚部分量组成的

14、列向量。 对（2-46）式做坐标变换，变换到 坐标系。有： （2-47） （2-48）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),其中： ， ， ， ， 将（2-47），（2-48）式代入（2-46）式，得： （2-49） 式中： ，,四多机电力系统的静态稳定计算(二),初值计算 计算角度 ：经过潮流计算已知 坐标下发电机节点 的电压 和注入电流 ，设发电机为凸极机，根据公式 定出 轴方向（和 轴方向）。算出： （2-50） 计算 和 的 轴分量： ， （2-51） ， （2-52）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),系统状态方程 对于第 台发电机，有： 转子运动方程式 （2-53） （2-53）

15、式中，除了状态变量 外，还有中间变 量 。为消除 ，引入： 利用关系式(2-40)，消去 。 （2-54）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),（2-54）式中又出现了发电机节点电压的 轴和 轴 分量，为此，引入网络方程式（2-49） 和发电机节点电压与注入电流的关系式(2-40) 这4组方程式联立，写成矩阵形式： （2-55）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),式中： ， 从（2-55）式中最后一组方程，有 。代入（2-49）式，得： 整理得： （2-56） 将（2-56）式代入（2-55）式第二组方程： 有： （2-57）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),（2-57）式与（2-55）

16、式第一组方程构成了系统线性化状态方程 （2-58） 根据（2-58）式，求出系数矩阵的特征根，然后根据特征根就可判断系统的稳定性。 同样，由于(2-58)式使用的是绝对角偏移， 所以计算特征根时也会得到一个零根。解决办法是采用相对角偏移 （ ，是基准节点）,具体方法同前类似。,四多机电力系统的静态稳定计算(二),3.1.4. 考虑励磁自动调节时多机系统状态方程 此时不能再假设 或 ，必须加入AER系统及励磁绕组的动态方程。 考虑励磁自动调节时构造多机系统状态方程的方法与 时基本一样，不同之处有以下几方面： 因为考虑励磁自动调节，所以 ，即 ，所以 的增量形式为： ，即 （2-59）,四多机电力

17、系统的静态稳定计算(二),（2-59）式中出现了一个新变量 ，因此要计及 的变化规律，加上励磁绕组的动态方程 。因为 ，即 ，所以有： （2-60） （2-60）式中又多出了一个新变量 ， 是 励磁控制规律的函数， 是系统运行变量。如是比例式励磁控制规律，再考虑到通道的滞后作用，有： （2-61）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),（2-61）式中有一个变量 ， 是发电机机端电 压，也可以是发电机节点电压。设 是发电机节点电 压，即 。取增量形式： （2-62） 在新增的方程中，（2-60），（2-61）式是一阶微分方程。所以，这时候系统状态方程的阶数要增加。新增状态变量可选为 和 。 相关

18、方程的修正 对于第 台发电机，有： 转子运动方程式 （2-53）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),四多机电力系统的静态稳定计算(二),电磁功率方程式 利用关系式(2-59)，消去 。 （2-63） 对于（2-63）式中的 ，有关系式,四多机电力系统的静态稳定计算(二),将 代入，有 （2-64） 式中:,四多机电力系统的静态稳定计算(二),对于（2-64）式中的 ，有 和 即 （2-65） （2-63）（2-65）式中有发电机节点电压的 轴 和 轴分量，为此，引入网络方程式 （2-49） 和发电机节点电压与注入电流的关系式 （2-59）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),联立写成矩阵形式

19、： （2-66）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),式中： ; ; ; ; ; ; ; ; ; ； 。,四多机电力系统的静态稳定计算(二),从（2-66）式中最后一组方程，有 。 代入（2-66）式中倒数第二组方程，得： 整理得： （2-67） 将（2-67）式代入（2-66）式第二组方程， 有： （2-68）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),将（2-67）式代入（2-66）式第三组方程 ，有： （2-69） 将（2-67）式代入（2-66）式第四组方程 ，有 （2-70）,四多机电力系统的静态稳定计算(二),将（2-66）式第一组方程和（2-68）（2-70）式 联立： （2-71）

20、根据（2-71）式，求出系数矩阵的特征根，再根据特征根就可判断系统的稳定性。 同样，由于(2-71)式使用的是绝对角偏移， 所以计算特征根时也会得到一个零根。解决办法是采 用相对角偏移 （ ， 是基准节点）,方法类似,五低频振荡模式及PSS参数设置,32低频振荡与电力系统稳定器 3.2.1. 电力系统低频振荡分析 先分析简单电力系统的低频振荡问题。由于励磁调节系统在电力系统低频振荡分析方面起着很重要的作用，因此在分析电力系统低频振荡时，发电机组的模型要包括励磁系统的模型。所以，对单机无穷大系统，其分析低频振荡问题的模型为：,五低频振荡模式及PSS参数设置,（2-72）,五低频振荡模式及PSS参

21、数设置,式中： 为发电机组阻尼系数。,五低频振荡模式及PSS参数设置,计算表明：系统运行方式变化时， 及 都是正 数，而 在重负荷即 较大时变为负数。 在重负荷 时改变符号这一现象在低频振荡分析时是很重要的。 下面分析发电机转子绕组及励磁对低频振荡的影 响。 设励磁系统输出 为常数。 此时，状态方程（2-72）为三阶，即： （2-73）,五低频振荡模式及PSS参数设置,从（2-73）式第三式可得： 。在 不大 时， ，所以 ，为分析 其频域特性，令 ，则有： （2-74） 式中： 为同步力矩系数， 时与 同相位； 为阻尼力矩系数， 时与 同相位。,五低频振荡模式及PSS参数设置,将（2-74）

22、式代入转子运动方程式： （2-75） 由（2-75）式可得以下结论： 主要影响振荡频率。忽略 和 时，（2-75）式 的特征方程为： 。 时，与 有关的 虚根决定振荡频率。当 时，特征方程有正实根， 系统将非周期失步。一般 主要决定于 ，由于 ， 在 时， 即为运行点的功角特性的 斜率 。,五低频振荡模式及PSS参数设置,主要影响振荡阻尼。当 时，系统有正阻尼系数，不会发生振荡失步。由 的表达式可知，此 时 ，所以发电机励磁绕组的动态作用有助于抑制低频振荡。 励磁系统对低频振荡的影响。 由（2-72）第四式有： 。将其 代入（2-72）第三式，得：,五低频振荡模式及PSS参数设置,所以 而 （

23、2-76） 下面讨论 的相位关系。,五低频振荡模式及PSS参数设置,式中：,五低频振荡模式及PSS参数设置,在 的表达式里，系数 是发电机励磁绕组的参 数，前面已说明发电机励磁绕组的动态作用有助于抑 制低频振荡。下面分析系数 的作用。由于在 的表 达式里与 相乘的其它参数都大于零，因此 起正阻 尼还是负阻尼作用就决定于 自身。而 在重负荷时 会从正数改变为负数，因此在重负荷时容易引起系统 振荡。 为励磁系统的放大倍数，高放大倍数时， 。 与 相乘，将加速系统出现负阻尼的进程。,五低频振荡模式及PSS参数设置,3.2.2. PSS的工作原理 电力系统出现低频振荡时，采用减少输送容量（使 ）或降低

24、励磁放大倍数都是不合适的。因为前 者不经济，后者将降低系统的暂态稳定极限。 电力系统出现低频振荡是由于励磁调节系统产生了 负阻尼，如果能在励磁调节系统引入附加控制功能， 使其产生正阻尼，抵消由于 变负产生的负阻尼，就 能抑制电力系统的低频振荡。这就是电力系统稳定器 （Power System Stabilizer简称PSS）的设计思想。 PSS有很多具体实现方案，下面我们分析取 为输 入信号的PSS装置。,五低频振荡模式及PSS参数设置,设PSS的传递函数为 ，将PSS信号引入励磁调节通道，则发电机励磁电势为： （2-77） 如前所示，有： ，即 代入（2-72）第三式，得：,五低频振荡模式及

25、PSS参数设置,所以 分析 的相位关系。 （2-78）,五低频振荡模式及PSS参数设置,现在分析（2-78）式对应于 的系数。若要产生 正阻尼，则有 式中： 为正实数。 所以： 应该为 。由于 ， 随系统运行状况变化，近似取 （2-79） 将（2-79）式代入（2-78）式，分析对应于 的 转矩。,五低频振荡模式及PSS参数设置,当 时，对应于 的系数产生正阻尼。 由于在现实情况下很难构造纯超期环节，所以实际 上取 （2-79）,五低频振荡模式及PSS参数设置,将（2-79）式代入（2-78）式，分析对应于 的转 矩。,五低频振荡模式及PSS参数设置,式中分母为正数，因此只要比较分子的相应部分

26、是正 数还是负数即可。实数部分为：,五低频振荡模式及PSS参数设置,当 ， 时，对应于 的实数部分产 生正阻尼。 虚数部分为： 当对应于 的虚数部分为负数时，它对应于正的同 步力矩系数。当 ， 时，对应于 的 虚数部分为负数或较小的正数。对同步力矩系数的负作用不大。,五低频振荡模式及PSS参数设置,3.2.3. 多机系统低频振荡分析 若发电机采用三阶实用模型，励磁系统用一阶模型 ，忽略调速器动态，负荷只计及静态效应，则多机系 统的线性化状态方程如（2-72）式所示。只不过式中 相应的变量都为向量，相应的系数都为矩阵。 多机系统低频振荡分析的主要内容有： 计算系统的特征根 及左，右特征向量 ，

27、。一般用QR法计算。 从这些特征根中挑出振荡频率为 的特征根 ，计算其与各状态变量 的相关因子 和机电回路 相关比 ，鉴别出感兴趣的机电振荡模式。,五低频振荡模式及PSS参数设置,相关因子 又称参与因子。它表示第 个状态变量与第 个动态模式的相关程度。 为了挑选出同某些变量强相关的特征根，要用到相 关比的概念。如在低频振荡分析中，要选出与 强相关的特征根（机电振荡模式）。因为这些特征根 才可能是同低频振荡对应的特征根。这时可定义 的 机电回路相关比 。在实际应用中， 若对某个特征根 有： ，则认为 为低频振荡模式，又称为机电模式。,五低频振荡模式及PSS参数设置, 分析机电振荡模式 的振荡频率

28、和阻尼特性 ，并根据其特征向量 分析该振荡模式在各机 观察 时的相对振幅和相位，从而求出该模式发生在哪两台机组（或机群）之间。 根据相关因子 判断机电模式 同哪些机组强相关 ，确定安装PSS的地点。 通过灵敏度 分析，得到 和 的相互关系，取 为PSS放大倍数时，可提供PSS参数设置所需信息。,五低频振荡模式及PSS参数设置,3.2.4. 大系统分析的特殊方法 大型电力系统的特征根计算是一件非常复杂的工作 。目前计算特征根的常用计算方法是QR法，但当状态 方程为200300阶时就已经达到QR法的极限。而目前 的大型电力系统已包括2000多台发电机组和12000个节 点。如果每个发电机组有4个状

29、态变量，则需要进行模 式分析的状态变量就达8000多。这已经远远超过QR法 的计算能力。因此，对大型电力系统进行特征根计算 要采用新的方法。,五低频振荡模式及PSS参数设置,高维矩阵特征根计算已开发出了很多方法，如 SMA（selective modal analysis）（选择模式法），AESOPS(Analysis of Essentially Spontaneous Oscillations in Power Systems) 和MAM(Modified Arnoldi method)。 这里，我们介绍一下选择模式法。,五低频振荡模式及PSS参数设置,选择模式法的原理： 首先将矩阵 分块， （2-80） 式中： 为保留变量， 为待消除变量。 从（2-80）式消去 ： 所以： （2-81） 式中： 为运算形式的“降阶”系统系数阵。,五低频振荡模式及PSS参数设置,（2-81）式有以下特性： 如果 为（2-80）系统的特征根，则也必 定为（2-81）的降阶系统的特征根，即 。也 即特征根不变，系统模式不变。 对于原系统 的特征向量 ，有 。设降阶系 统 的特征向量为 ，即 。则 与 中保留变 量相对应的元素相等，即特征向量的相