机构学和机器人学-3运动学中的矩阵法

1、在第三章，运动学中的矩阵方法中，有三种方法来描述刚体的旋转： 1)它是通过围绕右手直角坐标系的一组旋转来描述的。刚体的旋转可以用几个旋转矩阵来表示，这些矩阵是基于绕X、Y和Z轴的旋转而导出的。我们称绕X、Y和Z轴旋转的旋转矩阵为基本旋转矩阵。2)通过围绕空间轴的旋转来描述。3)用欧拉角描述。1，3基本旋转矩阵1，绕z轴的旋转矩阵，如果刚体上的固定长度矢量固定连接，绕z轴旋转一个角度，旋转前为，旋转后为，以矩阵形式写成，如图：(3-1)，缩写为：然后：称为绕z轴的旋转矩阵。(3-2)，(3-3)，对于平面：2，轴旋转角矩阵表示，旋转矩阵3360，(3-4)，(3-5)，(3-6)，3，旋转角矩阵

2、表示，其中：其次，绕直角坐标轴的一组旋转随刚体旋转。轮换顺序为：注意：旋转顺序对刚体的最终位置有影响(即旋转顺序不可互换)。如果向量长度固定，绕Z旋转绕Y旋转绕X旋转到达终点，然后：依此类推。对于X-Y平面中的矩形体，刚体在旋转三个900后的位置如图所示。有两个旋转顺序：公式3-11没有普遍价值，在形成完整的旋转矩阵之前需要分析具体问题。通过设置与刚体固定连接，该设置是三个方向的余弦。上述旋转矩阵仅指围绕x、y和z坐标轴的旋转矩阵。现在，该矩阵用于描述相对于固定坐标系的单位矢量、分量和轴旋转角度。在此临时位置，轴平行于Z轴，并且轴返回到其原始位置。这种方法可以通过设置，然后旋转刚体，最后再次转

3、动它来实现。旋转刚体使(z轴)绕任意轴旋转角，(3-12)，这是旋转角在位置前后的关系式。(3-13)、(3-12)的表达式由五个矩阵相乘得到。从图中可以看出，1是单位向量，它可以通过代入(3-12)并展开得到，其中：(3-14)，(3-15)，4。欧拉旋转矩阵，轴旋转，角度绕N转，即x1轴 绕Z转，描述刚体的第一次旋转第一次，绕，(岁差)，(3-16)，(章动)，(3-17)，(旋转)，(3-18)，其中：(3-19)。三个基本旋转矩阵和三个旋转矩阵是正交矩阵，它们的逆矩阵是它们的转置矩阵。3-2刚体的位移矩阵，刚体的位置E表示为，可视为从位置1到位置2的向量，其总位移可视为围绕基点的平移和

4、角位移之和。to，to，from，1，平面位移矩阵，from (3-3)，可以写成：和，知道：(3-20)，以分量的形式写成：(3-21)，其中是刚体相对于固定坐标系X-Y的旋转角，同时给出最终位置和旋转角，这适用于计算q点的新位置坐标。通过求解公式(3-20)，我们可以得到：通常是起始位置，所以当它已知时，我们可以把(3-20)变成，重新排列：(3-22)，并把它写成，(3-23)，(3-24)，(3-25)，2。空间位移矩阵刚体空间位移矩阵。类似于上述(3-20)、(3-22)和(3-25)中的描述，该图仍然适用于空间机构，只要它被三维旋转矩阵代替。为方便起见，相应的表达式，(3-22)变

5、成：(3-20)变成：(3-24)变成：(3-26)，(3-27)，(3-28)，(3-25)变成：即，(3-29)，刚体位移的基本矩阵方程。刚体沿轴做螺旋运动，并沿轴旋转。，3。螺旋位移矩阵，公式(3-26)，有时用一个特殊的点P作为参考点，它的两个位置，如图所示，是线性位移的，那么公式(3-26)变成：都在一个固定的轴上，(3-30)，当用(3-28)的形式写时，上面的公式变成一个44矩阵。(3-31)，(3-32)，解决方案：根据运动前后参考点P的位置和刚体的旋转角度，已知在平面内运动的刚体，其运动可用参考点P从一个位置到另一个位置的位移和刚体的旋转角度来描述。当已知刚体的任意点Q0处于

6、第一位置时，获得第二位置Q的坐标。当一个刚体在一个平面上从位置1移动到位置2时，平面上总有一个点的位置保持不变。这个平面可以看作是在一个固定的平面上绕着这个点旋转。这个点叫做有限旋转中心。请注意，这一点不能与零速度点(瞬时速度中心)的概念混淆。让旋转中心被设置，因为无论在描述刚体运动的位移矩阵中使用哪个参考点，位移矩阵元素的相应值必须相同。因此，作为参考点，将位移矩阵写成解析形式：从前面的例子中，数值矩阵的第三列中的相应元素等于get:然后重复使用并替换为get:例3，从数值位移矩阵的元素计算螺旋运动参数？螺旋运动是描述刚体空间有限位移的最简单的运动。因此，螺旋位移矩阵可以方便地描述空间有限位

7、移。然而，在工程设计的实际问题中，给定刚体位置参数的已知数据往往不是螺旋运动参数的数值。用螺旋位移矩阵描述空间有限位移时，首先要构造一个数值位移矩阵，然后才能计算出相应的螺旋运动参数。假设刚体从位置1到位置J的数值位移矩阵为：(3-33)，因为无论用哪种形式的位移矩阵来描述空间的有限位移，对于相同的位移，它们对应的元素是相等的。这样，根据已知的数值位移矩阵，可以得到相应螺旋位移矩阵的相关参数。(1)求出螺旋角，使公式(3-31)中旋转子阵的对角元素等于已知数值矩阵公式(3-33)中的相应元素，然后对角元素之和等于，即：(3-34)，(2)，由公式(3-31)中旋转子阵的元素得到，为了简化计算，

8、 假设公式(3-31)中的第四列元素等于已知数值位移矩阵(3-33)中的相应元素，并且方程组可以以矩阵形式写成：假设(3-36)，这里有两种特殊情况，例如，位移只能在U方向上移动s: 5.数值位移矩阵的建立，D1j是刚体E从第一位置E1移动到第三位置的位移矩阵。在位置1和位置j，刚体e上四个不共面点p、q、r和g的坐标值是已知的。在平面内运动的刚体的位移可以完全由运动平面内三个非共线点的位移来确定。假设：三个位移方程可以组合成：如果我们知道平面上任意两点的位移，如何形成刚体的数值位移矩阵？位移矩阵的逆对于平面旋转矩阵来说，它可以由由角形成的逆位移来构造，所以：对于上面的公式：r是一个正交矩阵，

9、而对于空间旋转矩阵仍然是真的。对于位移矩阵，位移可以分解为位移和旋转两部分，这两部分依次由位移矩阵来描述，即，平面：空间44:1。坐标变换矩阵有两个坐标系一和坐标系二，如图所示，两个坐标系的原点不重合，其中坐标系一中的点P的坐标变为3-3坐标，坐标系二中的坐标为。(3-37)，上述公式可以用两个坐标系中轴间夹角的余弦来表示，(3-38)，上述公式可以用齐次矩阵的形式来表示，(3-39)，(3-40)，T21称为从系到系的坐标变换矩阵，其中16个元素中只有12个有实际意义，前三个在左上角，第四列的前三个元素代表坐标系原点O2在系中的位置(坐标)当两个坐标的原点重合时，即当它们的原点的坐标被转换时

10、，公式(3-39)仍然可以使用，但是第四列可以被改变为(0，0，0，1)。如图所示，如果z1和z2重合，则从系统II到系统I的坐标变换矩阵为：(3-40)、公共原点、Z轴重合。它也适用于平面，其原点坐标变换矩阵为(33):如果坐标系二中R点的坐标已知，则坐标系一中R点的坐标可由公式(3-41)得到，即(3-41)。因此，从系统二变为系统一的坐标变换矩阵是旋转矩阵R，其中坐标系一绕着Z轴旋转一个角度，使其与坐标系二重合。地点不同。同样的，如果你知道系统I中R点的坐标，并且找到点II中R点的坐标，那么：所以，II I就相当于我把Z转向到II重合。(3-42)，非共原点的坐标变换可以用同样的方法讨论

11、。如图所示，有两个坐标系。如果系统二中点P的坐标是已知的，而系统一中点o2的坐标是以矩阵形式写的，(3-43)。另一方面，坐标系可以看作是绕着Z轴旋转一个角度形成的从系统到系统的位移矩阵，它可以写成：所以：上面是一个平面情况。在参考系中，该点被视为参考点，(3-44)，2。D-H矩阵-相对姿态矩阵如果两个相邻的分量I和i 1取自空间机构，如果坐标系固定在每个分量上，则坐标系i 1和i 1中的分量I 1上的点P的坐标变换可以由公式(3-39)的坐标变换矩阵来描述。对于任意两个非公共原点，该方法称为d-h矩阵或姿态矩阵。根据D-H符号，说明了由五级副(旋转副或移动副)组成的空间机构。在两个相邻的部

12、件1和2中，坐标系如下：(1)有效的方法是首先选择每个坐标系的Z轴。对于旋转副、移动副、螺旋副、四级副和圆柱副，Z轴与移动副的轴重合；在确定Z轴后，沿两个相邻Z轴(如Z1和Z2)的最短垂直线，即最短距离线确定X轴。图中的X2取自Z1和Z2轴中最短的d1的延长线上，Y轴由右手定则确定。根据以上规则，可以确定以下参数：1 .d1是Z2和Z1之间的垂直距离，当正向一致时取Z；2.1是Z2和Z1之间的夹角。面向x2轴，Z2从Z1逆时针变为正。3，1是x2和x1之间的角度，面向Z1轴，x1逆时针旋转至x2。x1和x2之间的距离，当与Z1轴方向一致时为正。等式(3-39)写成：H-D矩阵：(3-49)。对

13、于含N个分量的闭环机构，进行连续变换，即闭环机构，D-H矩阵在空间机构的运动分析和综合中非常有用，特别是在机器人运动分析中。h，(3-50)，(3-51)，例如，示出了偏心曲柄滑块机构，并且该机构的尺寸是已知的，并且进行运动分析。解决方案：(1)首先，建立一个与各部件固定连接的坐标系。因为它是平面机构，所以三个旋转对的轴垂直于纸面，部件2和部件1形成移动对，z1平行于引导路径。由此可以看出：H中的元素是：的函数，当给定时，4可以找到s1，2和3，假设：已知，(3-52)，找到s1，2，3的位置函数，等等。解决方案：将上述(3-51)结果替换如下：实质上，如果在二系中的P的坐标所在的分量上有一个

14、点，也就是说，只要从一系到二系的位移矩阵是已知的，就可以得到从二系到一系的坐标变换。因此，公式(3-39)知道T21的区别，也就是上面的例子：T21和H21，而H-D矩阵在取坐标系的过程中作了具体的约定。3-4微分旋转矩阵和位移矩阵，1。向量积的矩阵表示，(3-53)，叉积，(3-54)，1。微分旋转矩阵的反对称矩阵表示。上的单位矢量也可以用反对称矩阵来表示，旋转矩阵可以表示为：其中：对于旋转轴，(3-55)，(3-56)，2，角速度矩阵W的旋转可以用矩阵方程来描述，也就是说，R是用几种可能的形式之一来表示的旋转矩阵。位置的变化率可以从上面的公式中区分出来，它也是：所以，称为角速度矩阵。一个向量，(3-57)，(3-58)，对于平面：其中：是单位旋转轴z的反对称表示。如果，的单位向量是，那么微分导数是：并且空间角速度矩阵也可以通过(3-58)获得，但是它是通过使用向量微分和向量叉积的矩阵表示来获得的。如果一个向量，对于一个固定长度的向量，它也可以通过微分方程(3-56)得到，即：(3-59)，(3-60)，3，角加速度矩阵E，然后微分3360，并且由于：然后：所以：这也可以从(3-56)中微分出来，也就是说，在(3-61)，平面角加速度的特殊情况下，它可以扩展成空间角加速