电工电子技术第三章

1、第三章电路的暂态分析,第一节暂态分析的基本概念与换路定律第二节RC电路的暂态过程第三节一阶电路暂态分析的三要素法第四节RL电路的暂态过程,返回,第一节暂态分析的基本概念与换路定律,暂态过程产生暂态过程的原因换路定律,一、暂态过程,返回,稳态：电路中的电流，电压稳定不变或者是时间上的周期函数，称为电路处于稳态。,当一个稳态电路的结构或元件参数发生改变时，电路原稳态被破坏而转变到另一种稳态所经历的过程，称为电路中的过渡过程。由于过渡过程经历的时间很短，所以又称为暂态过程或暂态。,若开关在t=0时接通，电路中的电流逐渐增加，最终达到I=U/R,这是一种稳态。,+,t=0,S,R,L,UL,US,UR

2、,S打开时，电路中的电流等于零，这是一种稳态。,在图示的RL电路中,返回,二、产生暂态过程的原因,内因：电路中存在储能元件（C、L）电容与电感上存储的能量不能跃变，所以，在含有C、L的电路中，从一种稳态到另一种稳态，要有一个过渡过程。,返回,外因：换路换路是指电路的结构或参数发生变化。如开关的通断、短路、信号突然接入、电源电路参数的改变等。换路时电路的状态会发生改变。,三、换路定律通常我们把换路瞬间作为计时起点。即在t0时换路。把换路前的终结时刻记为t0-，把换路后的初始时刻记为t0+。,在电感元件中，储存的磁场能量为WL=1/2LiL2,电感中的能量不能跃变，表现为电感中的电流iL不能跃变。

3、,在电容元件中，储存的电场能量为WC=1/2CUC2,电容中的能量不能跃变，表现为电容两端的电压不能跃变。,返回,iL(0+)iL(0)uC(0+)uC(0),电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定律，表示为：,换路定律适用于换路瞬间，用它来确定暂态过程的初始值。,返回,若iL(0+)=iL(0)=0，uC(0+)=uC(0)=0，换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于断路。,若iL(0+)=iL(0)0，uC(0+)=uC(0)0，换路瞬间，电容相当于恒压源，电感相当于恒流源。,电路中其它电压电流在换路瞬间，用换路定律、KVL、KCL定律联合求解。,元件,特征,C,L,iL(t),t=

4、0+,t=0,t=,uC(t),uC(0+)=0,uC(0)=0,uC(0)=U0,uC(0+)=U0,+,-,开路,短路,iL(0+)=I0,iL(0)=I0,iL(0-)=0,iL(0+)=0,返回,例、在图示电路中，已知：R=1KUS=10V，L=1H,求开关闭合后的初始值。,+,S,i,uL,R,US,返回,解：,S闭合前，电路已处于稳态。iL(0)=0,在S闭合的瞬间，根据换路定律有：iL(0+)iL(0)=0,uR(0+)=i(0+)R=0uR(0+)+uL(0+)=USuL(0+)=10V,R1,US,S,C,i2,iC,uC,+,R2,求:t0时，S断开后电压电流的初始值.,例

5、、已知：US=10V，R1=2K，R2=3K,i1,返回,请慎重作出选择：,换路瞬间C相当于短路,换路瞬间C相当于恒压源,换路瞬间i1i2,换路瞬间i1iC,你的选择是错误的！,哼哼，地府又多了一个小鬼,通往天堂的班车已到站，请抓紧时间上车。,R1,US,S,C,i2,iC,uC,+,R2,求:t0时，S断开后电压电流的初始值.,例、已知：US=10V，R1=2K，R2=3K,i1,返回,解：,t0，电路稳态。C相当于开路，i1(0)=i2(0)=US/(R1+R2)=2mAuC(0)=i2(0)R2=6V,在S断开的瞬间，根据换路定律有：uC(0)=uC(0+)=6V,而i2(0+)=0i1

6、(0+)=iC(0+)=USuC(0+)/R1=2mA,返回,R1,US,S,C,iL,iC,uC,+,R2,解：,t=0，电路稳态C开路，L短路,iL(0)=US/(R1+R2)uC(0)=iL(0)R2,例、t=0时S断开，求uC(0+)、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+)、iL(0+)。,L,uL,在S闭合的瞬间，根据换路定律有：uC(0)=uC(0+),iL(0)=iL(0+)所以有等效电路：,返回,+,R2,uC(0+),iL(0+),uR2(0+),iC(0+),iC(0+)=iL(0+)=US/(R1+R2)uR2(0+)=iL(0+)R2uC(0+)uL(0+)=uC(

7、0+)uR2(0+)=0,第二节RC电路的暂态过程,零输入响应零状态响应电路的全响应,返回,返回,一、零输入响应,如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压电流。这是因为储能元件要释放能量。因此，将电路中无输入信号作用时，由电路内部在初始时刻的储能所产生的响应称为零输入响应。,1、换路后电路的微分方程,返回,S在1位置uC(0)=US(初始条件),S在2位置uR(t)+uC(t)=0uR(t)=i(t)Ri(t)=Cduc(t)/dt得到一阶常系数线性齐次微分方程,+,S,i,uC,R,US,1,2,uR,2.解微分方程,RCduC(t)dt

8、+uC(t)=0,特征方程:RCP+1=0,P=1/RC,uC(t)=Aet/RC,uC(0)=US,有A=Us,令它的通解形式为:uC=Aept,返回,代入方程得:(RCP+1)Aept=0,显然uC、i、uR都是按同样的指数规律变化的，且都是按指数规律衰减，最后趋于零。,返回,i(t)=Cduc(t)/dt=Cd(USet/RC)dt=(US/R)et/RC,uR(t)=i(t)R=USet/RC,令=RC，称为R、C串联电路的时间常数，单位S。,变化曲线为:,u.i,t,返回,2.时间常数,从上面的变化规律可知,过渡过程的快慢与RC有关,=RC,返回,值越小,暂态过程进行得越快.值越大,

9、暂态过程进行得越慢.,当t时uC()=USe/=USe1=0.368US,也就是说，零输入响应的初始值经过一个，衰减为原来的36.8。,一般在t(35)时uC(t)的值已很小,可认为暂态结束。,Us,uC,0.368Us,1,t,123,2,3,返回,二.零状态响应,返回,与零输入相反，如果在换路前储能元件没有能量储存，这种状态称为零状态。因此，将电路中输入信号作用时，所产生的响应称为零状态响应。,1.换路后的微分方程,S在1位置uR(t)+uc(t)=Us,uR(t)=i(t)R,i(t)=Cduc(t)dt,得到一阶常系数线性非齐次微分方程,返回,+,S,i,uC,R,US,1,2,uR,

10、S在2位置uC(0)=0(初始条件),2.解微分方程,RCduC(t)/dt+uC(t)=Us,uc()=Us,uc(0)=0,返回,i(t)=Cduc(t)/dt=(US/R)et/,uR(t)=i(t)R=USet/,显然i、uR是按指数规律衰减，最后趋于零。uC随t不断增加，最后趋于US。,u.i,Us,t,反映RC电路充电的速度。一般，经过（35)的时间，可认为暂态结束。,返回,u,Us,0.632Us,uC(t),t,uC(t)=Us(1e1)0.632Us,当t=时,返回,返回,+,uC,R,US,例、已知R=103K，US=100V，C=10F,求开关闭合后5、10、30秒时的u

11、C值，并画出uC曲线。,解：,uC(0)=0(初始条件),开关闭合,=100(1e0.1t),t=5uC=39.4Vt=10uC=63.2Vt=30uC=95V,u(V),uC(t),t,100,换路前,储能元件有储能,即非零状态,这种状态下的电路与电源接通，储能元件的初始储能与外加电源共同引起的响应称为全响应。,三.电路的全响应,返回,对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加。,全响应=零输入响应+零状态响应,1.换路后的微分方程,t=0,S闭合uR(t)+uC(t)=Us,初始条件为uC(0+)=uC(0)=U0,RCduC(t)dt+uC(t)=Us,返回,+,Us,S,i,(

12、t=0),uR,uC,R,C,得到一阶常系数线性非齐次微分方程,2.解微分方程.,通解形式为:,uC(t)=Us+Aet/,uC(0)=Uo,Uo=Us+A,A=UoUs,所以RC电路的全响应为,uC(t)=Us+(UoUs)et/,返回,RCduC(t)dt+uC(t)=Us,2对全响应的讨论,(1),此时电容将放电，最后达到稳态值Us。,全响应=稳态解+暂态解。,UoUs,UoUs,此时电容将充电，最后达到稳态值Us。,返回,uC(t)=Us+(UoUs)et/,Uo,Uo,Us,UoUs,UoUs,放电,充电,变化曲线,t,uC,返回,全响应=零输入响应+零状态响应,返回,(2),uC(

13、t)=Us+(UoUs)et/=UsUset/+Uoet/=Us(1et/)+Uoet/,可分别求零输入响应（令电源为零）；零状态响应（令初始值为零），然后求叠加。,返回,+,Us,S1,i,uR,uC,R1,C,例、已知R1=R2=10，US=80V，C=10F,t=0开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，求uC的变化规律.(C上初始能量为零),S2,解：,(1)0t0.1ms,R2,uC(0+)=uC(0)=0,零状态响应,=80(1e10000t),t1=0.1msuC(t1)=50.56V,(2)t0.1ms,uC(t1+)=uC(t1)=50.56V,全响应,uC(t)=Us+(

14、UoUs)et/,=80+(50.5680)et/=(R1+R2)C=2104uC(t)=8029.44e5000(tt1),第三节一阶电路暂态分析的三要素法,一阶电路求解一阶电路的三要素法三要素公式说明例题,返回,只含有一个（或者可以化为一个）储能元件的线性电路，无论是简单的，还是复杂的，它的微分方程都是一阶常系数微分方程,这种电路称为一阶电路。,一、一阶电路,返回,对于一阶电路，它的时域响应是从初始值开始，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间常数。,因此将初始值、稳态值、时间常数称为一阶电路的三要素。,二、求解一阶电路的三要素法用f(t)表示电路中的某一元件的电压

15、或电流,f()表示稳态值,f(0+)表示初始值，为时间常数。,全响应=稳态分量+暂态分量,f(t)=f()+Aet,f(t)=f()+f(0+)f()et,只要求出f(0+),f()和值,即可直接写出暂态过程中电压,或电流的表达式。,返回,f(0+)：uC(0+)和iL(0+)可用换路定律在换路前的电路求，其它电压和电流要在换路后的电路中求得。f()：进入稳态后电容相当于开路,电感相当于短路，可应用电路的分析方法计算电压或电流的稳态值。,三、三要素公式说明.,时间常数：在换路后的电路中求得,=R0c,R0是换路后的电路中,从C两端看进去的将恒压源短路，恒流源开路后的等效电阻。,返回,例、图示电

16、路中,IS=6mA,C=0.1F,R1=6K,R2=1K,R3=2K，在t=0时将S闭合,试求uC(t)，画出曲线。,返回,S,R2,R3,R1,IS,解:,uC(0+)=uC(0),C,=(R1+R2)/R3C=0.155103S,uc(t)=uc()+uc(0+)uc()et/=8+(368)e6430tV=828e6430tV,36,例、图示电路中,IS=8mA,C=4F,R1=2K,R2=3K,R3=1K,R=5K，E=10V，在t=0时将S由1打向2,试求uC(t)，画出曲线。,返回,S,R,R2,R3,R1,IS,E,解:,uC(0+)=uC(0),C,=(R1/R2)+R3C=8

17、.8103S,uc(t)=uc()+uc(0+)uc()et/=6+(126)e114tV=6+6e114tV,1,2,12,返回,例、图示电路中,U=30V,C=10F,R1=R3=10K,R2=20K，在t=0时将S由1打向2,试求uC(t)、i(t)。,S,i,uC,R2,1,2,R3,R1,U,C,解:S换路后:,uC(0+)=uC(0),uC()=0i()=0,R0=R2(R1+R3)=10K,=RC=0.1S,uc(t)=uC(0+)et/=20e10t,i(t)=i(0+)et/=e10t,返回,r,US,C,iK,iC,uC,+,R,ir,例、图中电路原已稳定，求开关闭合后的u

18、C和iK。,解：,iCuC(t)R(USR)et/RC,ir=US/r,uC(0+)=uC(0)=US,uC()=0,=RC,例、图示电路中U=20V,R=50K,C=4F,在t=0时闭合S1,在T=0.1秒时闭合S2,试求S2闭合后的uC(t),并画出曲线,设S1闭合前uC=0.,U,S1,S2,C,Uc(t),R,R,解:S1闭合后:,uC(0+)=uC(0-)=0uC()=U=20V1=RC=0.2S,返回,uC(t)=uc()+uC(0+)uC()et/=20(1e5t),当t=0.1s时uC(0.1)=20(1e5t)7.87v,2=(R/R)C=2.51044106=0.1suC(

19、t)=uC()+uC(0+)uC()et/=2012.13e10(t0.1)V,返回,U,S1,S2,C,Uc(t),R,R,S2闭合后:uc(0+)=7.87VuC()=U=20V,变化曲线如图,uc(t),20,7.87,0,0.1s,t,1=0.2s,2=0.1s,返回,例、已知，U=10V,R1=10K,R=15K,C=50F,在t=0时打开S1,经过1秒后打开S2,试求uc(t),并画出曲线。,U,S1,S2,C,Uc(t),R1,R,解:,uC(0+)=uC(0-)=U/2=5VuC()=01=RC=0.75S,返回,uc(t)=uc()+uc(0+)-uc()et/=5e1.3t

20、,R,U,S1,S2,C,Uc(t),R1,R,R,当t=1s时uC(1)=5e1.31.36V,返回,S2打开后:uc(0+)=1.36VuC()=0V,2=(R+R1)C=2.510450106=1.25suc(t)=uc()+uc(0+)uc()et/=1.36e0.8(t1)V,变化曲线如图,uc(t),5,1.36,0,1s,t,1=0.75s,2=1.25s,返回,返回,例、已知，U=90V，R=60，r=30,C=10F,在t=0时闭合S,试求uc(t)经过0.4ms后又打开S,试求uc(t).,U,S,R,R,r,r,C,解:S闭合前:,uC(0+)=uC(0)=UR/(R+r

21、)=60V,=6030=30V,返回,U,S,R,R,r,r,C,uc(t)=uc()+uc(0+)-uc()et/=30+30e2500t,当t1=0.4ms时uC(t1)=30+30e2500t141V,uC()=UR/(R+r)=60V,uc(t)=60+(4160)e(tt1)/=6019e2000(tt1),求解RL电路的暂态过程与求解RC电路的暂态过程的步骤相同,所不同的是RL电路的时间常数为=L/R.L单位为（H），R单位为（）时,是秒。用列微分方程，解微分方程来求解暂态过程的方法称为经典法,通过经典法可归纳出求解一阶电路的三要素法。,第四节RL电路的暂态过程,返回,例、在图示电

22、路中,已知L=1mH,R=10,电压表内电阻Rv=1.5k,电源电压U=10V,在t=0时开关S断开,S断开前电路已处于稳态,求S断开后电压表两端电压的初始值及变化规律。,V,Rv,S,a,b,L,R,iL,t=0,U,解：iL(0-)=U/R=1AiL(0+)=iL(0)=1AS断开的瞬间uab(0+)=iL(0+)RV=1500V,返回,uab()=0=L/(R+Rv)=10.001/(10+1500)=0.66108Suab(t)=uab()+uab(0+)uab()et/=1500e1.511000000t,返回,说明:换路的瞬间,电压表两端出现了1500V的高压,尽管暂态时间很短也可能使电压表击穿。通常在切断电感电路时,在线圈两端反并联一个二极管,以限制断开时的电压，保证电路中电气设备和操作人员的安全,电路如图所示。,返回,例3-5-5t=0，断开S，求iL(t)。,6V,10mH,10,iL,解:iL(0+)=iL(0)=6/(10