复变函数 洛朗展式

1、第四章级数,4.3洛朗级数,学习要点,熟练掌握函数的Laurent级数展开式,掌握Laurent级数展开定理,本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数数和计算留数的基础。,一、引入,回顾：,思考：,例：,的级数称为洛朗级数,二、洛朗(Laurent)级数（含有负幂项的级数）,定义,收敛域：,注：,(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上,三、洛朗级数展开定理,定理,证明,D,证明:,由复连通域上的Cauchy积分公式：,R2,一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(

2、z)的洛朗级数。,展开式的唯一性,分析：,注：,(2)遇到f(z)在奇点z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就展开成Laurent级数。,四、函数的Laurent级数展开式,由唯一性，将函数展开成Laurent级数，主要用间接法。,例1,解答,例1,解,例2,解答,无奇点,解:,注意首项,例3,解,Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0为中心奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环域，在环域上展成级数。,小结,1.Laurent级数与Taylor级数的不同点：,Taylor级数先展开求收敛半径R,找出唯一的收敛圆域，展开成级数。,练习：,练习：,解答,2解：

3、,-z=0及z=1/n(n=1,2,)都是它的奇点,五、孤立奇点,例如,-z=0为孤立奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未必是孤立的。,以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。,1、孤立奇点的分类与性质,z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数,例,例,“”若z0为f(z)的m阶极点,证明,证明：,由题意知，,例1,例2,例3,例4,解答,例1,例2,解函数1/sinz的奇点显然是使sinz=0的点.,这些奇点是z=kp(k=0,1,2,).,由于(sinz)|z=kp=cosz|z=kp=(-1)k0,所以z=kp

4、是sinz的一阶零点,也就是1/sinz的一阶极点.,解显然，z=i是(1+z2)的一阶零点,例3,例4,解,答：,在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：,令，按照R0或R=0，我们得到在,2.解析函数在无穷远点的性质,定理9.1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：,存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。,系9.1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。,整函数：如果f(z)在有限复平面C上解析，那么它就称为一个整函数。,2)当f(z)是n(0)次多项式时，无穷远点是它的n阶极点；,六、整函数与亚纯函数的概念,显然无穷远点是整函数的孤立奇点。,当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去奇点；,3)在其它情况下，无穷远点是f(z)的本性奇点，这时称f(z)为一个超越整函数。,代数基本定理：,证明：设,我们要证明整函数P(z)至少有一个零点。,又因为,所以我们有,定理设f(z)是一个整函数,证明：,从而f(z)有界，由刘维尔定理，f(z)恒等于一个常数。,如果函数f(z)在有限平面上除去有限极点外，到处解析，那么它就称为一个亚纯函数。,亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。,3.亚纯函数,它在有限复平面上有有限