立体几何中距离问题

1、立体几何中的向量方法-距离问题,向量的直角坐标运算,夹角、,空间两点间的距离公式、,一、直线的方向向量定义直线L上的向量以及与向量共线的向量叫直线L的方向向量.,例：直线L过点P(-2,3,1),Q(1,0,-1)，则直线L的一个方向向量为_,(3,-3,-2),答案：,L,二、平面的法向量定义如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作此时，我们把向量叫做平面的法向量,一、求点到平面的距离,一般方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。,还可以用等积法求距离.,向量法求点到平面的距离,其中为斜向量，为法向量。,例题,(1)求B1到面A1B

2、E的距离；,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,二、直线到平面的距离,其中为斜向量，为法向量。,l,例题,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,(2)求D1C到面A1BE的距离；,三、平面到平面的距离,例题,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,(3)求面A1DB与面D1CB1的距离；,四、异面直线的距离,注意：,是与都垂直的向量,例题,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：,(4)求异面直线D1

3、B与A1E的距离.,点到平面的距离：,直线到平面的距离：,平面到平面的距离：,异面直线的距离：,四种距离的统一向量形式：,F,E,B1,C1,D1,D,C,A,练习1：已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。,B,x,y,z,A1,练习2：已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。,B1,C1,D1,D,C,A,B,x,y,z,A1,练习3:已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。,B1,C1,D1,D,C,A,B,x,y,z,A1,小结,利

4、用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。,练习4：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,ACB=900,AA1=,求B1到平面A1BC的距离。,x,y,z,练习5：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AB=1,AA1=,求B1到平面A1BC的距离。,B1,A1,B,C1,A,C,x,y,z,M,练习6：已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。,G,B,D,A,C,E,F,x,y,z,S,A,B,C,N,M,O,练习7：在三棱锥S-A