第五章 弯曲应力

1、第五章弯曲应力(BendingStresses),5-1梁弯曲时的正应力5-2惯性矩的计算5-3梁弯曲时的强度计算5-4提高梁抗弯能力的措施*5-6梁弯曲时的切应力,5-1梁弯曲时的正应力,在AC、DB两段梁内，横截面上同时存在弯矩M和切力Q，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲；,在CD段梁内各横截面上，切力Q为零弯矩M为常量，这种弯曲称为纯弯曲；,1、变形几何条件,取长为dx的微段梁来分析；取横截面的对称轴为y轴，并取z轴与截面的中性轴重合。研究距中性层y处纵向纤维ab的变形。,2、应力、应变关系,设各纵向纤维之间互不挤压，每根纤维都只受到单向拉力或压力，则在应力不超过材料的比例极限时，各纤维上

2、的正应力与线应变的关系应服从胡克定律：,3、静力学关系,截面上各处的法向内力元素构成了一个空间平行力系，它可能组成三个内力：平行于x轴的轴力N，对y轴和z轴的力偶矩My和Mz,(1)以式(b)代入(c)：,为截面图形对Z轴的静矩。,(b),(c),(2)以式(b)代入(d)：,(3)以式(b)代入(e)：,令：,(b),(e),可得梁弯曲时中性层的曲率为：,表明：在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩M成正比，与EIz成反比。在同样的弯矩作用下，EIz愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EIz称为梁的抗弯刚度。,(5-3),讨论：对于具有纵向对称面的其他截面形式的同样可以使用；对于非纯

3、弯曲，对于跨长与截面高之比大于5的梁，式(5-3)的计算结果误差很小。在工程实际中，式(5-3)可以足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况；不适用于非平面弯曲；如梁的材料不服从胡克定律或正应力超过了材料的比例极限，式(5-3)不再适用；只适用于直梁，而不适用于曲梁，但可近似地用于曲率半径较梁高大得多的曲梁，对变截面梁也可近似的应用。,(5-3),例5-1已知梁的跨长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，截面有关尺寸如图示，自型钢表查得，横截面的惯性矩Iz=25.6x104mm4,试求此梁的最大拉应力和最大压应力。,解：（1）作弯矩图，求最大弯矩,（2）求最大应力上缘受最大拉应力

4、,下缘受最大压应力,5-2惯性矩的计算,1、简单截面的惯性矩（1）矩形截面,对z轴的惯性矩：,对y轴的惯性矩：,(2)圆形与圆环形截面,圆形截面对圆心的极惯性矩为：,由于y和z轴皆为通过圆截面直径的轴，故：,可得圆形截面对y或z轴的惯性矩为：,对于外径为D内径为d的圆环形截面,2、组合截面的惯性矩平行移轴公式,组合截面对某一轴的惯性矩等于其各个组成部分对同一轴的惯性矩之和。,平行移轴公式,已知：A，Iz求：Iz1,同理：,例5-2已知一T字形截面，求其对中性轴Z的惯性矩,整个截面的形心C至z轴的距离为：,(2)求各组成部分对中性轴z的惯性矩设两矩形的形心轴为z1和z2，它们对中性轴z的距离分别

5、为：,两矩形对中性轴z的惯性矩分别为：,（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：,作业：5-2、5-9(a),(e),5-3梁弯曲时的强度计算,Wz称为抗弯截面系数，是衡量横截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状及尺寸有关，单位为m3或mm3,最大正应力的计算式可表为：,梁弯曲的正应力强度条件：,例5-3一矩形截面木梁，已知P=10kN,a=1.2m;木材的许用应力=10Mpa，设梁横截面的高宽比为h/b=2，试选择梁的截面尺寸；,解：（1）作弯矩图，求最大弯矩,（2）选择截面尺寸，由强度条件,截面的抗弯截面系数：,例5-5一起重量原为50kN的单梁吊车，其跨度l=10.5m,由45a号工字

6、钢制成。为发挥其潜力，现拟将起重量提高到Q=70kN，试校核梁的强度。若强度不够，再计算其可能承载的起重量。梁的材料为Q235A钢，许用应力=140MPa；电葫芦自重为G=15kN，梁自重不计。,解：（1）作弯矩图，求最大弯矩,（2）校核强度由表查得45a号工字钢的抗弯截系数,故梁的最大工作应力为：,（3）计算承载能力梁允许的最大弯矩为,故按梁的强度，原吊车只允许吊运61.3kN的重量,例5-6在上例中，为使吊车的起重量提高到70kN，可在工字梁上、下翼缘上加焊两块盖板。现设盖板的截面尺寸为：100X10(mm2)，试校核加焊盖板后梁的强度。,（2）校核强度,例5-7一T形截面铸铁梁。已知P1

7、=8kN，P2=20kN,a=0.6m;横截面的惯性矩Iz=5.33X106(mm4)；材料的抗拉强度b=240MPa，抗压强度bc=600MPa，取安全系数n=4，试校核梁的强度。,解：（1）作弯矩图,（2）确定许用应力材料的许用拉应力和许用压应力分别为：,5-4提高梁抗弯能力的措施,目标：1、成本最低+满足强度2、强度最高+有限成本途径：,支座的安排,载荷的布置,同样面积选Wz大的截面,截面放置使Wz大的放置,纵向物体的形状或结构选取,提高弯曲强度的措施之一选用合理截面,1.截面的放置,2.同样面积下W最大,常见梁截面的Wz/A值,3.截面选择,提高弯曲强度的措施之二整体考虑,变截面梁的例

8、子,1.支座位置合理布置支座位置，使Mmax尽可能小,提高弯曲强度的措施之三改善受力状态,2.加载方式合理布置外力作用，使Mmax尽可能小,提高弯曲强度的措施之四用超静定梁,目录,合理放置截面,5-6梁弯曲时的切应力,1、矩形截面梁,切应力计算公式变为：,2、工字形截面梁,最大切应力在腹板的中性轴上：,d:腹板的宽度Szmax*：中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩,近似计算公式：,3、圆形、圆环形截面梁,实心圆截面：最大切应力在中性轴上,空心圆环：最大切应力在中性轴上,梁的剪应力强度条件：,b:截面在中性轴处的宽度Szmax*：中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩：材料的许用切应力,在梁的强度计

9、算中，必须同时满足正应力和切应力两个强度条件。通常是先按正应力强度条件选择横截面的尺寸和形状，必要时再按切应力强度条件进行校核。,一般对以下几种情况须进行切应力强度校核：若梁较短或载荷很靠近支座，这时梁的最大弯矩可能很小，而最大剪力却相对较大；对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度b相对于截面高度很小时，横截面上可能产生较大的切应力；对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由切应力互等定理，在中性层上也同时有max作用，因而可能沿中性层发生剪切破坏，所以需要校核其切应力强度。,例5-8一外伸梁，已知P=50kN,a=0.15m,l=1m;梁由工字钢制成，材料的许用弯曲应力=160MPa,许用切应力=100MPa，试选择工字钢的型号。,解：（1）作剪力图和弯矩图,（4）重新选择截面，改选12.6号工字钢，再校核其切应力强度。,小结,1、梁横截面上存在两种应力：正应力和切应力。,2、梁弯曲变形的基本公式：,3、梁弯曲时的正应力公式及其强度条件,注意：（1）梁处于平面弯曲，材料服从胡克定律（2）横截面上的正应力沿截面高度方向呈线性分布，在中性轴处的正应力为零，在上、下边缘处的正应力最大；（3）中性轴通过截面的形心；（4）中性轴的上、下两侧截面分别受拉和受压，应力的正负号（拉或压）可直接根据梁的变形或