第八章 梁的内力

1、河北交通职业技术学院,第八章梁的内力,8-1弯曲的概念8-2剪力图和弯矩图8-3剪力、弯矩与荷载集度间的关系8-4按叠加原理作弯矩图,河北交通职业技术学院,第八章梁的内力,8-1概述,一、弯曲变形,杆件受到垂直于杆轴线的横向力作用，杆的轴线由直线弯曲成曲线。,梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件,若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线也在该平面内弯曲。,二、平面弯曲,河北交通职业技术学院,梁的主要横截面形状,河北交通职业技术学院,三、梁的内力-剪力与弯矩,截面法,RA,RB,m,m,取左侧,RA,x,A,Q,M,剪力,C,弯矩,河北交通职业技术学院,取右侧,B,RB,P,Q,M,剪力，弯

2、矩正负号的规定,剪力Q-使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。,弯矩M-使梁段发生下凸上凹变形的弯矩为正，反之为负。,Q,Q,M,M,河北交通职业技术学院,求剪力，弯矩的步骤,1、求出梁的支座反力,2、做截面，取截面某一侧梁段为研究对象,3、画出其受力图，图中剪力、弯矩假设为正,4、列平衡方程，求出该截面上的剪力和弯矩,河北交通职业技术学院,求图示梁上1-1截面的剪力和弯矩。P1=P2=30KN,A,P1,RA,RB,RA,解：1、求支座反力,2、求1-1截面的剪力、弯矩,取左侧,M1,Q1,河北交通职业技术学院,P2,B,RB,取右侧,Q1,M1,河北交通职业技术学院,例求下图所示简支

3、梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。,解：1、求支座反力,2、计算1-1截面的内力,第八章梁的内力,返回,河北交通职业技术学院,3、计算2-2截面的内力,河北交通职业技术学院,求剪力、弯矩的结论,剪力Q-弯曲梁上某截面的剪力，等于截面某一侧（左侧或右侧）所有外力的代数和。其中对截面形心有顺时针转动趋势的力取正号，反之取负号。,顺为正,弯矩M-弯曲梁上某截面的弯矩，等于截面某一侧（左侧或右侧）所有外力对截面形心的力矩的代数和。其中使梁段下凸的力矩取正号，反之取负号。,下凸弯矩正,河北交通职业技术学院,计算图中指定截面的剪力、弯矩,解：1）1-1截面，以右侧为研究对象,2）计算中2-2截面的内力，以

4、右侧为研究对象,河北交通职业技术学院,解：1）计算支座反力,2）1-1截面，以左侧为研究对象,3）2-2截面，以右侧为研究对象,河北交通职业技术学院,求图示梁中F截面和D点左侧截面的剪力与弯矩,解：1）计算支座反力,2）计算剪力、弯矩,RB,RD,河北交通职业技术学院,求图示梁中1-1、2-2、3-3、4-4截面的剪力与弯矩,解：1）计算支座反力,RA,RB,2）计算剪力、弯矩,河北交通职业技术学院,求图示梁中1-1、2-2、3-3、4-4截面的剪力与弯矩,解：1）计算支座反力,2）计算剪力、弯矩,RA,RB,河北交通职业技术学院,规律,力偶作用点两侧截面相比较，剪力不变，弯矩值发生突变，突变

5、值等于力偶矩的值。,集中力作用点两侧截面相比较，弯矩不变，剪力值发生突变，突变值等于集中力的值。,河北交通职业技术学院,集中力作用下的剪力、弯矩图,常数,一次函数,Q,M,常数,一次函数,河北交通职业技术学院,小结,1、如果在某一梁段内，除端点外无任何外力，则剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。,2、剪力图画法：从左向右，遇到向上的力，向上突变；遇到向下的力，向下突变；突变值与集中力的值相等。从右向左，反之。,3、弯矩图画法：求出集中力作用点处的弯矩值，连斜直线即可。-在集中力作用点处弯矩图发生转折。,河北交通职业技术学院,D),A,2m,4m,C,30kN,2m,30kN,D,B,RA,RB,解

6、：支座反力,30,30,Q(KN),M(KNm),60,弯矩图为水平线-常数,弯矩图为斜直线-一次函数,如果剪力图为斜直线,弯矩图为抛物线-二次函数,弯矩方程的一阶导数为剪力方程,河北交通职业技术学院,RB,RA,Q(KN),解：支座反力,M(KNm),河北交通职业技术学院,解：支座反力,Q图(kN),16,M图（kNm),河北交通职业技术学院,P,Q图,M图,解：支座反力,河北交通职业技术学院,解：支座反力,Q(KN),M(KNm),7-35(e),河北交通职业技术学院,7-35(a),Q,解：支座反力,M,河北交通职业技术学院,7-38(c),解：支座反力,Q(KN),M(KNm),河北交

7、通职业技术学院,习题7-39,10,15,5,Q(KN),M(KNm),10,解：支座反力,5,河北交通职业技术学院,例图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。,解：1、支座反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,分布力作用下的剪力、弯矩图,斜直线,抛物线,顶点坐标,中点,河北交通职业技术学院,找抛物线顶点的方法,弯矩的一阶导数为剪力,剪力为零时，抛物线有顶点。,即剪力图（斜直线）与横轴的交点处，抛物线有极值。,河北交通职业技术学院,弯矩图叠加,基准线,顶点,河北交通职业技术学院,小结：1、某梁段上只有分布力时，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。,2、Q图画法：求出分布力两端剪力连线即可

8、。,M图画法-叠加法画弯矩图,求出分布力两端弯矩值，连基准线，找中点，向下（上）ql2/8;若剪力图与横轴有交点（Q=0)，则在此点处抛物线有极值（顶点），求出其位置和顶点的值，连成抛物线即可。,河北交通职业技术学院,解：支座反力,Q(KN),M(KNm),河北交通职业技术学院,8kNm,Q(KN),16kNm,M(KNm),解：支座反力,河北交通职业技术学院,解：支座反力,Q(KN),M(KNm),河北交通职业技术学院,解：支座反力,Q(KN),M(KNm),河北交通职业技术学院,解：支座反力,Q(KN),M(KNm),河北交通职业技术学院,Q(KN),解：支座反力,河北交通职业技术学院,M

9、1,A,B,F1,F2,F3,F4,30,A,B,A,B,a,a,a,P,P,45,M1,M2,M3,O,q,20KN,A,B,C,D,E,1,1,河北交通职业技术学院,20kN/m,30kN,A,B,100,150,河北交通职业技术学院,1.剪力、弯矩方程：表示剪力或弯矩沿梁轴线变化规律的函数。,2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。,8-2剪力图和弯矩图,剪力函数：,弯矩函数：,（-）,弯矩图,（+）,剪力图,河北交通职业技术学院,例作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。,第八章梁的内力,返回,河北交通职业技术学院,例在图示简支梁AB的C点处作

10、用一集中力P，作该梁的剪力图和弯矩图。,由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。,解：1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,第八章梁的内力,返回,河北交通职业技术学院,由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。,例在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。,解：1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,第八章梁的内力,返回,河北交通职业技术学院,例外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q-M图。,解：1、求支反力,2、判断各段Q、M图形状：

11、CA和DB段：Q图为水平线，M图为斜直线。AD段：Q图为向下斜直线，M图为上凸抛物线。,3、先确定各分段点的Q、M值，用相应形状的线条连接。,第八章梁的内力,返回,河北交通职业技术学院,2）作M图,AB段q=0,Q0,M为下斜线,BC段q=0,Q0,M为上斜线,CD段q0,M为下凸抛物线斜线,M图,习题8-4,习题8-5,习题8-6,河北交通职业技术学院,（1）作剪力图和弯矩图,A,B,C,q=10kN/m,Q,M,1.33,2.67,0.27,0.36,河北交通职业技术学院,A,B,C,10Nm,Q,M,50N,10Nm,（2）作剪力图和弯矩图,河北交通职业技术学院,A,C,q,Q,M,0.

12、28,3/4,5/4,1,0.5,（3）作剪力图和弯矩图,河北交通职业技术学院,（4）作剪力图和弯矩图,A,B,C,q,Q,M,5/6qa,1,3qa2/6,7/6,5qa2/6,qa2/6,13qa2/72,河北交通职业技术学院,解：支座反力,作Q图,+,-,Q图kN,作M图,4,+,+,M图kNm,习题8-4,河北交通职业技术学院,解：支座反力,作Q图,-,+,+,Q图kN,作M图,40,M图kNm,河北交通职业技术学院,20kN/m,30kN,40kNm,ACB,3m,1m,c),解：支座反力,作Q图,+,-,作M图,90.6,+,Q图kN,M图kNm,河北交通职业技术学院,解：支座反力

13、,作Q图,-,-,+,Q图kN,作M图,+,+,M图kNm,河北交通职业技术学院,-,-,+,河北交通职业技术学院,解：1）荷载图,AC段Q图为斜线，AC段均布荷载，q=（2+2.5)/3=1.5kN,CB段Q图为斜线，CB段均布荷载，q=1.5/1=1.5kN,C点剪力突变，C点有集中力，大小为2.5+1.5=4kN,方向向上。A点有集中力，大小为2kN，方向向上,2）弯矩图,河北交通职业技术学院,习题8-6、已知弯矩图，利用M、Q、q之间的微分关系，作荷载图和剪力图。,+,-,解：1）荷载图,M图各段为斜线，各段均无分布荷载，各点弯矩无突变，各点无集中力偶；所以，各点有集中力。,A点集中力

14、P=3.6/1.2=3kN方向向上。,B点集中力P=(3*2.4+2.4)/1.2=8kN方向向下。,D点集中力P=2.4/1.2=2kN方向向下。,C点集中力P=-8-2+3=-7kN方向向上。,+,-,+,Q图kN,荷载图,河北交通职业技术学院,解：1）荷载图,M图AB段为直线，AB段无分布荷载，且有集中力偶；M=2kNm。转向为逆时针，BC段为斜线，BC段无均布荷载，B点有集中荷载；且P=（1+2）/2=1.5kN,方向向上。CD为斜线，无分布荷载。D点有集中荷载，P=1/2=0.5kN.方向向上;C点荷载为P=1.5+0.5=2kN,方向向下。,2）剪力图,+,-,河北交通职业技术学院

15、,1、叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。,2、区段叠加法作弯矩图：,设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：,8-4按叠加原理作弯矩图,第八章梁的内力,返回,河北交通职业技术学院,第九章梁的应力及强度计算,例作图示简支梁的弯矩图。,河北交通职业技术学院,注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。图中的纵坐标如同M图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线AB。,（1）选定外力的不连续点(如集中力、集中力偶的作用点，分布力

16、的起点和终点等)为控制截面，求出控制截面的弯矩值。（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。,利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：,第八章梁的内力,返回,河北交通职业技术学院,平面弯曲是梁杆件的基本变形之一。是对受弯杆件进行内力分析和作内力图是一项重要内容，应熟练掌握。,一、杆件弯曲时，一般化情况下，横截面上有两种力-剪力Q和弯矩M；内力的计算方法-截面法；内力的数值，横截面的剪力Q等于截面一侧外力的代数和，横截面的弯矩M等于截面一侧外力对截面形心力矩的代数和；内力的符号规律：“左上右下剪力为正，右顺右逆弯矩为正”。,二、剪力和弯矩是分析危险截面的依据之一。熟练、正确、快捷地绘制剪力图和弯矩图是工程力学的一项基本功。绘制内力图的基本方法：,章节小结,河北交通职业技术学院,1、根据剪力方程和弯矩方程；2、利用Q、M、q之间的微分关系作内力图；3、用叠加法作内力图。,学习本章节应注意的几个问题：1、必须熟练而正确的画出研究对象的受力图，根据对象上的受力情况建立平衡方程式。2、列内力方程式时，要弄清