第五章：定积分2012--卿铭.ppt

1、第一节,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,三、定积分的性质,定积分的概念及性质,第五章,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积A.,矩形面积,梯形面积,解决步骤:,1)大化小.,在区间a,b中任意插入n1个分点,用直线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形;,2)常代变.,在第i个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3)近似和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程s.,解决步骤:,1)大化小.,将它分成,在每

2、个小段上物体经,2)常代变.,得,已知速度,n个小段,过的路程为,3)近似和.,4)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义,任一种分法,任取,总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数,在区间,上的定积分,即,此时称f(x)在a,b上可积.,记作,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,为了方便，规定,有了定积分定义后，,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,可积的充分条件:,例1.利用定义计算定积分,解:,将0,1n等分,分点为,取,显然，有界函数才

3、有可能是可积函数.,注,注利用,得,两端分别相加,得,即,例2.用定积分表示下列极限:,解:,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,例3利用定积分的几何意义求定积分,三、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(k为常数),证:,=右端,证:当,时,因,在,上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是,当a,b,c的相对位置任意时,例如,则有,6.若在a,b上,则,证:,推论1.若在a,b上,则,推论2.,证:,即,7.设,则,例4.试证:,证:设,即,故,即,8.积分中值定理,则至少存在一点,使,证:,则由性质7可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,

4、因此定理成立.,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,例5.,计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解:已知自由落体速度为,故所求平均速度,解,由积分中值定理知有,使,例7.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立.,明对于任何,思考与练习,1.用定积分表示下述极限:,解:,或,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为0!,2利用定义计算定积分,解,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,思考题4,思考题4解答,例,5.证明恒等式,证:令,则,因

5、此,又,故所证等式成立.,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿莱布尼兹公式,一、引例,第二节,微积分的基本公式,第五章,一、引例,在变速直线运动中,已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,定理1.若,定理1证明了连续函数的原函数是存在的.,三、牛顿莱布尼兹公式,(牛顿-莱布尼兹公式),证:,根据定理1,故,因此,得,定理2.,函数,则,变限积分求导公式:,例1.计算,解:,例2.计算正弦曲线,的面积.,解:,例3.求,解:,原式,例4.,确定常数a,b,c的值,

6、使,解:,原式=,c0,故,又由,得,例5.,证明,在,内为单调递增函数.,证:,只要证,例6.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,至少存在一点,证明:令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0,从而不变号,因此,故所证等式成立.,故由罗尔定理知,存在一点,思考:本题能否用柯西中值定理证明?,如果能,怎样设辅助函数?,提示:,设辅助函数,例7.设,证:设,且,试证:,则,故F(x)单调不减,即成立.,例8.,设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,(1)在(a,b)内f(x)0;,(2)在(a,b)内存在点,使,(3)在(a,b)内存在与相异的点,使,(03

7、考研),证:(1),由f(x)在a,b上连续,知f(a)=0.,所以f(x),在(a,b)内单调增,因此,(2)设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,(3)因,在a,上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,练习题,解：,1.,设,求,定积分为常数,设,则,故应用积分法定此常数.,2.汽车以每小时36km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶,其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,车到停车走了多少距离?,3求,解,由图形可知,内容小结,则有,1.微积分基本公式,积分中值

8、定理,微分中值定理,牛顿莱布尼兹公式,2.变限积分求导公式,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1.设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,则,说明:,1)当,即区间换为,定理1仍成立.,2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,或配元,配元不换限,例1.计算,解:令,则,原式=,且,例2.计算,解:令,则,原式

9、=,且,例3.求,解:令,则,原式,例4计算,解,令,原式,例5.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,例6.选择一个常数c,使,解:令,则,因为被积函数为奇函数,故选择c使,即,可使原式为0.,奇函数,例7计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,说明:,对右端第二个积分令,综上所述,课堂练习,1.,提示:令,则,3.证明,证：,是以为周期的函数.,是以为周期的周期函数.,4.若f(x)是连续的周期为T周期函数，,由此计算,对任意实数a和自然数n：,证明：,和,5.求多项式f(x)使它满足方程,解:令,则,代入原方程得,两边求导:,可见f(x)应为二次多项式,设,代入式比

10、较同次幂系数,得,故,再求导:,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,例9.计算,解:,原式=,例10计算,解,例11设求,解,例12.证明,证:令,n为偶数,n为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立.,思考题,思考题解答,练习题,二、无界函数的反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,反常积分,(广义积分),反常积分,第五章,一、无穷限的反常积分,引例.曲线,和直线,及x轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义1.设,若,存在,则称此极限为f

11、(x)的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,则定义,则定义,(c为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型,说明:上述定义中若出现,它表明该反常积分发散.,引入记号,则有类似牛莱公式的计算表达式:,例1.计算反常积分,解:,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,例2.证明第一类p积分,证:当p=1时有,当p1时有,当p1时收敛;p1,时发散.,因此,当p1时,反常积分收敛,其值为,当p1时,反

12、常积分发散.,例3.计算反常积分,解:,4计算广义积分,解,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与x轴,y轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义2.设,而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,而在b的左邻域内无界,若极限,数f(x)在a,b上的反常积分,记作,则定义,则称此极限为函,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点c的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛莱公式的,若b为瑕点,则,若a为瑕点,则,若a,b都为瑕点,则,则,可相消吗?,下述解法是否正确:,积分收敛,例5.计算反常积分,解:显然瑕点为a,所以,原式,例6.讨论反常积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发散.,例7.证明反常积分,证:当q=1时,当q1时收敛;q1,时发散.,当q1时,所以当q1时,该广义积分收敛,其值为,当q1时,该广义积分发散.,例8.,解：,求,的无穷间断点,故I为反常,积分.,练习题1试证,并