控制理论基础(I)第四章 控制系统的稳定性分析

1、课程负责人：丁汉教授，顾问：王贤贞教授，交通大学优秀课程系列，2004.4.30，控制理论基础(I)，第四章控制系统的稳定性分析，4.1稳定性的基本概念，4.2代数标准，4.4Nyquist稳定性标准，4.5稳定性横跨华盛顿州塔科马峡谷的第一座桥于1940年7月1日开通。只要有风，这座桥就会摇晃。无限放大到饱和，没有输入时闭合，因此直到饱和，从外部闭合运动控制系统脱离原始平衡状态，闭合运动消失后，系统自动返回到原始初始平衡状态。(a)和扰动，注意：以上定义仅适用于线性常数系统。定义稳定性，(b)稳定性，(c)不稳定性，注意：无论输入如何，都根据系统本身的结构和参数控制系统本身的独特特性。大范围

2、稳定：如果不考虑扰动引起的初始偏差，则系统可以返回到原始平衡状态。(a)大范围稳定，(b)小范围不稳定，系统小范围稳定。注意：对于线性系统，小范围稳定，大范围稳定。(a)不稳定，临界稳定：如果系统在扰动消失后，输出和原始平衡状态之间存在一定偏差，或者输出保持相同的振动，则系统处于临界稳定状态。注意：在经典控制论中，临界稳定也被认为是不稳定的。原因：(1)分析时所依赖的模型通常是简化或线性化。(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统要有一定的稳定裕量。假设系统在初始条件为0时接收单位脉冲信号(t)的作用，则系统的输出增量(偏差)为单位脉冲响应。这相当于系统在扰动作用下输出信号偏离平衡点的问题，显

3、然是t时：系统(渐近)稳定。稳定条件：稳定的必要条件，理想的脉冲函数R(s)=1。t表示稳定系统，c(t)输出=0。如上所示：如果pi和I都是负数，则当t时c(t)0。自动控制系统稳定性的充分要求：系统特性方程的根都有负的实际部分。也就是说，闭环系统的极点全部位于s平面的左半部分。注：稳定性与零点无关，系统特性方程，结果：共轭复合根，负实数，系统稳定性。是系统稳定性的必要条件，系统特征的每个系数都具有相同的符号，没有零系数。系统特征根为P1，p2，pn-1，pn，每个根的总和，每个根的乘积总和，每个根的乘积总和，所有根的负真实部分，说明水位控制系统的稳定性的图。控制目标罐的传递函数；执行电动机

4、的传递函数；K1是进气阀的传递系数。Kp是杠杆比率。H0是很高的希望水位。h是实际水位。通过系统原理图得到系统的闭环特性方程为，如果是系统的开环放大系数，特征方程展开被写为三次系统，但缺少s项。也就是说，系统不稳定，因为其特性多项式的系数为零，不满足系统稳定性所需的条件。如何调整系统的参数(例如k，Tm)无法稳定系统。结构不稳定系统，修正装置，不解决特征值，直接通过特征方程的系数确定系统的稳定性。louteh标准、routeh数组、Hurwitz标准、Hurwitz决定因素、是、课堂练习、routeh标准的特殊情况、4.2代数标准、特性：第一，laus阵列，特征表达式：laus阵列：符号在同一

5、系统中的真实特征根的数量等于零系统稳定；不同的符号变更的次数，与系统中实体特征布线的数量系统相同。，控制系统稳定性的充分必要条件：工作模式的第一列元素不会更改符号。，第一列中的数字，注：通常为a00，因此laus稳定性标准可以概括为Strauss模式表中的第一列数大于0。laus基准，laus基准确定系统的相对稳定性，特殊情况下，1:第一列中出现0，特殊情况下，2:一行中的元素为零，Routh基准中的特殊情况下，特殊情况下：第一列中出现0。系数全部为正，解决方法：用任意小正数代替。特殊情况1:第一列中出现0，特殊情况：元素行为0时解决方法：整行0的前一行元素构成辅助方程，推导方程系数构成辅助方

6、程。每个系数为正数，得到：例如，特殊情况2:元素行为0，laus阵列在0行：系统中具有对称分布在s平面上的根，大小相同的符号的相反实际根，共轭虚拟根，镜像在实际轴上的两对共轭腹肌，系统的n次赫利未茨决定因素，阶次(n-1)阶helbie a10(等于总系数数)、a00点、a10、a20(等于总系数数)、a00点、a00点、基于Hurwitz、第三级系统、a00点、a10、a10 第四阶系统，a10，a20，a30，A40，K值的稳定范围，每个系数为正，a00时，单位反馈系统，已知系统开环传递函数为： 确定上述系统开环增益k的稳定区域，并说明开环积分链路数对系统稳定性的影响。系统1的闭环特性方程

7、是：系统3的闭环特性方程是：系统2的闭环特性方程是：k的稳定域是：结论：增加系统的开环积分链路数对系统稳定性不利。由于特性方程的缺失，没有k的稳定区域。特征矢量角度变化和稳定性关系，一阶系统，D(s)可以看作复合平面的矢量。特征表达式：D(s)=s p0，4.3米哈伊洛夫稳定性基准，更改时D(j)的端点沿假想轴滑动，拓扑角度相应地更改。在频率区域中：D(j)=p j，图征布线为负数时系统稳定性，图征布线为正数时系统不稳定性，次要系统，图征方程式：D(s)=s2 2ns n2(s p1)(s p2)=0，0 由0变更时，j P1的摊销变更量：-/2-0，j p2的摊销变更量：-/2 0，所有特征

8、布线位于左侧半s平面时，由0变更时，q特征布线位于右侧半s平面时，由0变更时，N阶系统，N阶系统稳定性条件：0变更时，向量D(范例1、范例2、范例3、范例4、范例1、范例1、范例2、Nyquist稳定性基准通过方式、Bode图表的Nyquist稳定性基准、范例2、范例1、范例2、范例3、范例4、范例1、范例1使用系统的开环幅频特性G(j)H(j)确认闭环系统的稳定性。，Nyquist稳定性标准，闭环稳定性，开环状态下稳定的系统条件，闭环稳定性的必要条件从0变化到1 G(j)H(j)轨迹不包围1 GH平面的原点。系统在开环状态稳定的条件下稳定闭环的充分条件是，如果从0改变，开环G(j)H(j)轨

9、迹不会包围GH平面的(-1，j0)点。将1 G(j)H(j)的轨迹从复合平面向左移动一个单位，将创建G(j)H(j)的轨迹，提出闭环稳定性要求，并设置系统开环特征根处m的右半s平面。如果系统的开放回路不稳定，m个开放回路特征根位于右半s平面上，则封闭回路系统会在稳定的充分条件：0变更时，开放回路G(j)H(j)轨迹以逆时钟方向围绕GH平面(-1，j0)点m/2。0，单位反馈系统的开环传递函数。其中，测试T1=0.1s、T2=0.05s、T3=0.01s k值的程度可以确保闭环系统稳定。T1，T2，T3都是正数，系统开环稳定性，闭环系统稳定性条件：使用，应用已知系统开环传递函数，Nyquist标

10、准来确定闭环系统的稳定性。K1点，系统的闭环稳定性，K1点，系统的闭环不稳定性，K=1点，系统的临界稳定性，闭环状态下系统的稳定性。开环状态不稳定(m=2)，G(j)H(j)轨道逆时针环绕(-1，j0)点一次，开环稳定G(j)轨道不环绕(-1，j)，开环稳定性，开环具有积分环(原点有极点)或虚拟轴上有极点。对应于极点的向量j pi不能直接应用米哈伊尔洛夫稳定定理，以便在0变化时得到摊销变化量。使用半径为0的半圆，在虚拟轴上从极右侧到左半s平面绘制一条直线，从而绕过横截面。开放回路包含复合平面虚拟轴线上圆弧的数学方程式rej，r0从0变更为/2的积分环。-随着时间的推移，使用替代值rejG(j)

11、的绝对值无穷大角度从0更改为0。常用方法：(1) Nyquist曲线更改为0；(2)从G(j0)开始，以的半径逆时针修补v90的圆弧(尺寸界线)。具有零根的开放环G(j)H(j)轨迹，(b)，(a)，(具有无限半径的圆弧将顺时针方向更改为连接正实际轴端点和G(j)H(j)轨迹起点的00)轨迹。对于最小相位系统，其尺寸界线的起点始终位于无限长的正实际轴上。(c)，单位反馈系统的开环传递函数应用Nyquist准则确定闭环系统的稳定性。开环稳定m=0，开环Nyquist曲线不包围(-1，j0)点，系统闭环稳定。已知系统的开环传递函数如下，应用Nyquist准则判断闭环系统的稳定性。0: a (0)，

12、(0 )270，Nyquist曲线顺时针环绕(-1，j0)点半圈绕，m1系统的闭环不稳定。漫游：指示开放环Nyquist曲线通过点左侧实际轴(-1，j0)时的情况。正漫游：增加时，Nyquist曲线自上而下通过-1段实际轴。这相当于Nyquist曲线通过正方向上包围的点(-1，j0)。负向漫游：增加时，Nyquist曲线自下而上通过-1段实际轴。负漫游相当于将Nyquist曲线反转边界(-1，j0)点旋转一周。Nyquist稳定基准漫游方法，图例，半漫游：G(j)H(j)轨迹在起点或终点(-1，j0)点处的左负真实轴。1/2相交，-1/2相交，0变化时，Nyquist曲线是(-1，j0)点左侧

13、实际轴上正负相交次数的差值等于m/2 (m是系统中开环右侧极数)，闭环系统是稳定的，否则是不稳定的闭环系统。开环不稳定闭环稳定，开环稳定闭环稳定，系统在闭环状态下稳定。开环状态不稳定(m=2)G(j)H(j)轨迹以逆时针方向包围(-1，j0)点一次。-，开环不稳定性m=通过一次的闭环稳定性，Nyquist图和Bode图的对应关系，原点为中心点的单位圆0分贝线。单位圆以外的L()0部分；单位圆内部L()0的部分。负实轴180线。连接，(v为开放回路积分链路数)，起点(0)，Nyquist曲线的尺寸界线，(0) v90线，在对数相位频率函数曲线上，在相应增量的情况下从底部向上移动180线(减少相位

14、角延迟)；(-1，j0)点是左侧实际轴上漫游点L()0范围内180条直线的漫游点。负漫游对应于对数相位频率特性曲线。增加时，从上到下通过180条线(相位角度延迟增加)。，代数频率特性稳定性标准，如果系统的开环传递函数m位于右半s平面的特征根，则L()0的所有频率范围内的代数相位频率特性曲线() (包括尺寸界线)和-180线的正负交点次数的差值等于m/2，则系统稳定闭环，否则闭环不稳定。开环特征方程有两个右根，m=2加-减相交数的和-1是闭环不稳定的。开环特征表达式有两条右根，m=2正交点数和负交点数之和为1，闭环稳定。开环特征方程无右根，m=0正交点数和负交点数之和为0，闭环稳定性。开放回路特

15、征方程式的右侧布线不存在，m=0L()0范围内()和-线不相交，即正交点数和负交点数的总和为零，并且封闭回路稳定。使用相对稳定性和稳定性裕度、增益边界频率和相位边界频率、系统的稳定性裕度、稳定系统、不稳定系统、示例1、Matlab，可以定量确定稳定性裕度、示例2、4.5稳定性裕度、特性方程的最近虚拟轴的根和虚拟轴的距离、稳定性裕度，以及系统超出稳定边界的距离。相对稳定性和稳定裕量，注：虚拟轴是系统的临界稳定边界，G(j)H(j)轨迹接近(-1，j0)点的程度，GH平面，增益边界频率cG(j)H(j)轨迹，单位公园外，单位公园内，c，g，不稳定系统，增益接合频率c，系统实现稳定边界所需的额外延迟-相位裕量。开环，系统的稳定性裕度，Kg:增益结频率G，频率特性振幅|G(j)H(j)|的逆宽度裕度(增益裕度)。开环，系统响应速度，增益裕度相位裕度，闭环系统稳定性，增益裕度相位裕度伺服机构：10-20分贝4