第11章 相关性与Copula函数

1、10.1,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,相关性与Copula函数,第11章,10.2,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,相关系数,变量V1和V2的相关系数被定义为,变量V1和V2的协方差被定义为,因此相关系数又可以写为:,10.3,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull20

2、09,独立性,如果两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立。精确地讲，如果对于所有的x等式成立,其中f()是概率密度函数，则V1和V2相互独立。,10.4,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,零相关,如果两个变量的相关系数为0，就意味着变量毫无关联吗？答案是否定的！例如,有V1=1;0;+1有均等的可能;若V1=1或V1=+1则V2=+1;若V1=0则V2=0;在这里我们可以清楚地看到V2和V1有某种关联性，但相关系数为零.

3、,10.5,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,几种关联形式,10.6,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,监测相关系数,假定变量X和Y在第i天结束时的价值为Xi和Yi，变量X和Y在第i天的收益率为,我们得出变量X和Y在第i天的相关系数为,其中varx,n和vary,n是变量X和Y的每天变化的方差，以及covn是协方差.,10.7,RiskManagementeIstituzi

4、oniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,检测相关系数(续),第n天的协方差covn=E(xnyn)E(xn)E(yn)常常假定变量每天的预期收益为0，因此这意味着变量X及Y在第n天的协方差可以被简化为E(xnyn).,10.8,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,监测相关系数(续),在EWMA中，同样可以采用与更新方差类似的方式更新协方差:,在GARCH(1,1)中,X和Y协方差的更新由下式给出:,10.9,RiskManag

5、ementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,半正定矩阵,方差协方差矩阵满足内部一致性条件，如果此矩阵为半正定矩阵，也就是对于任意向量w,以下不等式成立,10.10,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,例,考虑一下矩阵:,可以这么这个矩阵不满足内部一致性:第1个变量和第2个变量均同第3个变量高度相关，但是第1、2个变量之间无关，.如果令w=(1,1,1),可以验证此矩阵不满足半正定条件.,10.11,Ri

6、skManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,二元正态分布,我们假定两个变量V1和V2服从二元正态分布.变量V1和V2的无条件期望值和标准差分别为1,2e1,2,相关系数为.假设已知V1有一个观测值v1.根据以上信息,变量V2也服从正态分布，其均值为标准差为,10.12,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,多元正态分布,多元正态分布很容易被理解及应用。因此我们可以将多元正态分布用于描述变量之

7、间的相关结构，这甚至在每一个单一变量不服从正态分布时也可以做到。,10.13,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,因子模型,假设N个变量,Vi(i=1,2,.,N),均服从一个多元正态分布,则需要顾及N(N1)/2=(NNN)/2个相关系数.如果满足这些变量满足因子模型的假设，则待估计参数的个数减至N个.,10.14,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,假设变量U1,U2,.,

8、UN均服从标准正态分布.在单因子模型中，每个Ui(i=1,2,.,N)均同一个共同的因子F及另外一个相互独立的因子有关，准确地讲:,在单因子模型中，这个表达式变为:,因子模型,(续),10.15,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,高斯Copula模型,假定我们想定义两个不服从多元正态分布的变量，V1和V2，之间的相关关系.把变量V1转化为一个服从正态分布的变量,U1,分位数与分位数之间的一一映射.把变量V2转化为一个服从正态分布的变量,U2,分位数与分位数之间的一一映射.假设变量U1

9、和U2服从正态分布，相关系数为.,10.16,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,通过Copula函数定义V1和V2的联合分布,10.17,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,例,假定V1和V2的边际分布上图所示的为三角分布.,两个变量均介于01.V1及V2和U1及U2之间的映射为分位数与分位数之间的一一映射.,V1,V2,10.18,RiskManagementeIstitu

10、zioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,例,当V10.1时，对应于累积概率为底为0.1高为1的三边形面积.因此等于0.05(=0,11),也就是5%.,V1=0.1的值被映射到标准正态分布5%的分位数，其值为1,64.以此类推.,10.19,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,例,当V20.1时，对应于累积概率为底为0.1高为0.2的三边形面积.因此等于0.02(=0.10.2),也就是2%.,V2=0.1的值被映射到标准

11、正态分布2%的分位数，其值为2.05.以此类推.,10.20,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,例,假设U1和U2之间的相关系数为0.5.上表显示出V1和V2之间的联合分布.,V10,1及V20,1的概率同U11,64及U22,05.的概率相同.如果=0,5在二元正态的情形下，这一概率仅仅为0,006.,10.21,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,其他Copula函数,高

12、斯Copula函数只是定义了V1及V2相关结构的某一种形式，还有许多其他Copula函数可以用于描述相关结构.其中一种Copula函数被称为Studentt-copula函数.这种Studentt-copula函数同髙斯Copula函数类似，其不同之处只是U1和U2被假定为服从二元学生t分布.,10.22,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,二元正态分布的5,000个抽样,N1(0,99)=2,33,10.23,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie

13、,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,二元学生t-分布的5,000个抽样,t1(0,99)=3,75,10.24,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,因子Copula模型,在多元Copula模型中，市场分析员常常假定变量Ui之间的相关性由某种因子来决定。.当只有一个因子时，Ui被定义为,其中，因子F和Zi分别服从标准正态分布.,Zi之间相互独立，F与Zi之间也相互独立.,10.25,RiskManagementeIstituzioniFinanziar

14、ie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,违约相关性(DefaultCorrelation),两家公司之间的违约相关性(defaultcorrelation)以一个衡量他们差不多同时违约的测度.Ladefaultcorrelationimportanteaifinidelriskmanagementquandosianalizzanoibeneficidelladiversificazione.ancheimportanteaifinidellavalutazionedialcuniderivaticreditizi.,10.26,RiskManagement

15、eIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,高斯Copula函数的单因子模型,定义Ti为公司i的违约时间.Qi=Prob(TiT)为Ti的累积概率分布.Ti与Ui(标准正态分布)分位数之间进行一一对应的映射.当U=N1Qi(T)时，Prob(TiT)=Prob(UiU).假定Ui之间的相关结构由因子模型定义,则在给定F的条件下,UiU的概率为,10.27,RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,CopyrightJohnC.Hull2009,高斯Copula函数的单因子模型(续),已知Prob(UiU|F)=Prob(TiT|F),我们有,假设每对贷款i和j之间的Copula相关性是相等的,均为.并且所有的ai都相等，