第11章 应力状态分析 强度理论

1、第11章应力状态分析强度理论,1平面应力状态分析,2极值应力与主应力,3复杂应力状态的最大应力,4广义胡克定律,本章主要内容,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,一、问题的提出：为什么要研究一点的应力状态和强度理论？,1、轴向拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁的强度条件：,11.1一点的应力状态概念,许用应力由测得的极限应力比上大于1的安全因子得到的，没有考虑材料失效的原因，也没有必要考虑材料失效的原因。,2、同一截面上不同点的应力是不相同的；通过同一点的不同方位的截面上应力不同。,轴向拉伸时斜截面上的应力,p,斜截面方向上的应力：,(1)=00时，,(2)=450时，,(3

2、)=-450时，,(4)=900时，,通过同一点所取截面方位不同，应力的大小也不同,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,为什么可以建立强度条件呢？,对于轴向拉压及平面弯曲中的正应力，由于杆件危险点横截面上的正应力是通过该点所有方位截面上正应力的最大值，而且是单向应力状态，所以可将其与材料在单向拉伸(压缩）时的许用应力比较建立强度条件。,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,3、但是以上强度条件并非万能，对于构件内既有正应力又有切应力的点，不能用以上两个强度条件，需综合考虑正应力与切应力的影响。（不是所有的应力状态上述强度条件都能解决）,4、对于既有

3、正应力又有切应力的点，需要研究通过该点，各不同方位截面上应力的变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。（即研究一点的应力状态）,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,两个特殊应力状态的强度条件：,5、对于复杂应力状态，需探求材料破坏的规律，确定材料破坏的共同因素，则可通过较简单的应力状态下的试验结果，来确定该共同因素的极限值，从而建立相应强度条件。（即需要研究强度理论）,复杂应力状态：应力的组合有无限多的可能性，不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,故如果我

4、们再用实验测得的极限应力比上安全因子得到许用应力显然不合适。,(a)低碳钢,(b)铸铁,低碳钢和铸铁的扭转实验,不同的材料在相同的受力情况下，失效的原因是不一样的,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,相同材料在不同的受力情况下，失效的原因是不一样的,二、应力状态的概念,一点的应力状态：通过构件内一点不同方位截面上的应力情况，称为这点的应力状态。,三、应力状态的表示方法,1、单元体：构件内点的代表物，是围绕被研究点的无限小的正六面体。,2、单元体特征,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,单

5、元体6个面上的应力就代表通过所研究的点的三个互相垂直截面上的应力,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,画出下列图中A、B、C点的已知单元体.,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,同一截面上，不同点上的应力不同,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,3、主平面：单元体中切应力为零的平面,4、主应力：主平面上的正应力,三个主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即：,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力

6、状态的概念,5、主单元体：一般情况下构件内每一点都可以找到相互垂直的主平面和与之对应的主应力，这个单元体称为主单元体,四、应力状态的分类,1、空间应力状态三个主应力1、2、3均不等于零,2、平面应力状态三个主应力1、2、3中有两个不等于零,3、单向应力状态三个主应力1、2、3中只有一个不等于零,第11章应力状态分析强度理论,11.1一点的应力状态的概念,平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy和y,yx,11-2平面应力状态分析主应力,第11章应力状态强度理论,在微单元体的六个侧面上，仅在四个侧面作用有应力，而且这些应力的作用线均平行于微单元体不受力表面，这种应力状态称为平面应力状态

7、。,11.2平面应力状态分析主应力,一、任意斜截面上的应力,1、截面法假想地沿斜截面ef将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf作为研究对象,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,(1)由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正,（2)正应力仍规定拉应力为正,（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正,2、符号的确定,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,设斜截面的面积为dA,ae的面积为dAcos,af的面积为dAsin,3、任意斜截面上的应力,对研究对象列n和t方向的平衡方程得:,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,考虑切应力互

8、等和三角变换化简以上两个平衡方程最后得：,不难看出,即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,二、最大正应力及方位,1、最大正应力的方位,令,0和0+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,2、最大正应力,利用,得到max和min(主应力）,极值正应力就是主应力！,第11章应力状态强度理论,下面还必须进一步判断0是x轴与哪一个主应力间的夹角!,11.2平面应力状态分析主应力,求出sin2a0和cos2a0带入下列公式:,第11章应力

9、状态强度理论,进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角!,11.2平面应力状态分析主应力,(1)当xy时，0是x与max之间的夹角,(2)当xy时，0是x与min之间的夹角,(3)当x=y时，0=45，主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来.,则确定主应力方向的具体规则如下:,若约定|0|45即0取值在45范围内,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,三、最大切应力及方位,1、最大切应力的方位,令,1和1+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.,第11章应力状态强

10、度理论,11.2平面应力状态分析主应力,2、最大切应力,将代入公式：,得到max和min,可见,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,即极值切应力所在平面与主平面之间的夹角互呈45度.,例题11-1图示单元体，已知x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa.试求ef截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.,(1)求ef截面上的应力,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,(2)求主应力和主单元体的方位,x=-40MPay=60MPax=-50MPa=-30,因为xy，所以0=-22.5与min对应,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态

11、分析主应力,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,例题11-2简支梁如图所示.已知mm截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为=-70MPa，=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.并讨论其他点的应力状态。,解：,把从A点处截取的单元体放大如图,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,因为xy，所以0=27.5与min对应,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,解（1）求主平面方位,因为x=0y，且xy0，,例题11-3讨论园轴扭转时的应力状态（求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位）.并分析铸铁试件破坏现象。,xy,所以0=-45

12、与max对应。,（2）求主应力,1=，2=0，3=-,铸铁抗拉强度较低，因此沿第一主应力方向拉断？,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,四、应力圆-图解法,一、莫尔圆,将斜截面应力计算公式改写为：,把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去2，得,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,因为x，y，xy皆为已知量，所以上式是一个以，为变量的圆周方程。当斜截面随方位角变化时,其上的应力，

13、在-直角坐标系内的轨迹是一个圆.,1、圆心的坐标,2、圆的半径,此圆习惯上称为应力圆或称为莫尔圆（由德国工程师OttoMothr引入）,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,(1)建-坐标系,选定比例尺,二、应力圆作法,1、步骤,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,o,(2)量取,OA=x,AD=xy,得D点,OB=y,(3)量取,BD=yx,得D点,(4)连接DD两点的直线与轴相交于C点,(5)以C为圆心,CD为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,(1)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为,

14、(2)该圆半径为,证明：,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,三、应力圆的应用,1、求单元体上任一截面上的应力,从应力圆的半径CD按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力。,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,证明：,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,2、求主应力数值和主平面位置,(1)主应力数值,A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1，2,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,（2）主平面方位

15、,由CD顺时针转20到CA1,所以单元体上从x轴顺时针转0（负值）即到1对应的主平面的外法线,0确定后，1对应的主平面方位即确定,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,3、求最大切应力,G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力,因为最大最小切应力等于应力圆的半径,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,例题11-4从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x=-1MPa,y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆,(2)确定此单元体在=30和=-40两斜面上的应力。,解:(1)画应力圆,量取OA=x=-1,AD=X

16、Y=-0.2,定出D点;,OB=y=-0.4和，BD=yx=0.2,定出D点.,以DD为直径绘出的圆即为应力圆。,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,将半径CD逆时针转动2=60到半径CE,E点的坐标就代表=30斜截面上的应力。,(2)确定=30斜截面上的应力,(3)确定=-40斜截面上的应力,将半径CD顺时针转2=80到半径CF,F点的坐标就代表=-40斜截面上的应力。,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,例题11-5两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出截面c上a,b两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。

17、,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,解:(1)首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图,Mmax=MC=80kNm,FSmax=FC左=200kN,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,(2)横截面C上a点的应力为,a点的单元体如图所示,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,由x，xy定出D点,由y，yx定出D点,以DD为直径作应力圆,O,(3)做应力圆,x=122.5MPa，xy=64.6MPa,y=0，xy=-64.6MPa,A1，A2两点的横坐标分别代表a点的两个主应力1和3,A1点对应于单元体上1所在的主平面,第11章应力

18、状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,(4)横截面C上b点的应力,b点的单元体如图所示,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,b点的三个主应力为,1所在的主平面就是x平面,即梁的横截面C,第11章应力状态强度理论,11.2平面应力状态分析主应力,11-3特殊三向应力状态的极值应力,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,一、一般的空间应力状态,已知受力物体内某一点处三个主应力1、2、3,利用应力圆确定该点的斜截面上的应力、最大正应力和最大切应力。,我们仅仅研究特殊空间应力状态下的斜截面上的应力、最大正应力和最大切应力,第11章应力状态强度理论,

19、11.3特殊三向应力状态的极值应力,【1】首先研究与其中一个主平面(例如与主应力3平行)的斜截面上的应力,1,2,2,用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力,与3无关,只由主应力1,2决定,因此，与3平行的斜截面上的应力可由1,2作出的应力圆上的点来表示,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,该应力圆上的点对应于与3平行的所有斜截面上的应力.同理：,O,【2】与主应力2平行的斜截面上的应力,可用由1,3作出的应力圆上的点来

20、表示.,【3】与主应力平行的斜截面上的应力,可用由2,3作出的应力圆上的点来表示.,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内.,abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面.,1,2,1,2,3,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,弹性理论可证明,三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力,该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标1,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,最大切应力则等于最大的应力圆的

21、半径,最大切应力所在的截面与2平行，并与1和3所在的主平面成450角。,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,例题11-6单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.,解:该单元体有一个已知主应力,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.求另外两个主应力:,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,由x，xy定出D点,由y，yx定出D点,以DD为直径作应力圆,A1，A2两点的横坐标分别代表另外两个主应力1和3,1=46MPa,3=-26MPa,该单元体的三个主应力,1=46

22、MPa,2=20MPa,3=26MPa,根据上述主应力，作出三个应力圆,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,第11章应力状态强度理论,11.3特殊三向应力状态的极值应力,一、各向同性材料的广义胡克定律,（1）正应力：拉应力为正,压应力为负,1、符号规定,（2）切应力：对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针，则为正；反之为负,（3）线应变：以伸长为正,缩短为负；（4）切应变：使直角减小者为正,增大者为负.,11-4广义胡克定律与应变能密度,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,关于这样一个空间应力状态，对于各向同性材料，沿着各方向的弹性常数E、G

23、、均分别相同。当变形很小且在线弹性范围内时，线应变只与正应力有关，而与切应力无关；切应变只与切应力有关，而与正应力无关，切应力只引起同平面的切应变。,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,上述六个公式为各向同性材料的广义胡克定律,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,二、各向同性材料的体积应变,构件每单位体积的体积变化,称为体积应变，用表示.,如图所示的单元体，三个边长为a1,a2,a3,变形后的边长分别为,变形后单元体的体积为,a

24、1(1+，a2(1+2，a3(1+3,V1=a1(1+a2(1+2a3(1+3,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,体积应变为:,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,特例1、纯剪切应力状态下的体积应变,即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变.,特例2、三向等值应力单元体的体积应变,三个主应力为,单元体的体积应变,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,这两个单元体的体积应变相同。,右边单元体的三个主应变相等：,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,三、应变能密度,一、应变能密度的定义,二、应变能

25、密度的计算公式,1、单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为,物体在单位体积内所积蓄的应变能.,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,将广义胡克定律代入上式,经整理得,2、三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,用vd表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度。,用vV表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为体积改变能密度，它与体积应变有关。,应变能密度v等于两部分之和,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,3、体积改变能密度和形状改变能密度,一般情况下，单元体受

26、力同时发生体积改变和形状改变。,图a所示单元体的三个主应力不相等，因而，变形后既发生体积改变也发生形状改变.,图b所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变.图(c)所示单元体没有发生体积改变，仅仅发生形状的改变。,+,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,图b所示单元体的体积改变能密度,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,图a单元体的应变能密度为,图a所示单元体的体积改变能密度为,空间应力状态下单元体的形状改变能密度,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,第11章应力状态强度

27、理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,例题11-10边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大，变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示.已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34，当受到F=300kN的均布压力作用时，求该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力.,解：铜块横截面上的压应力,铜块受力如图所示变形条件为,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,解得,铜块的主应力为,最大切应力

28、,体积应变为,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,b,h,z,b=50mm,h=100mm,课堂练习已知矩形外伸梁受力F1，F2作用.弹性模量E=200GPa，泊松比=0.3,F1=100KN，F2=100KN。,求：（1）A点处的主应变1，2，3,（2）A点处的线应变x，y，z,a,F1,F2,F2,l,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,解：梁为拉伸与弯曲的组合变形.A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力.,（拉伸）,（负）,（1）A点处的主应变1，2，3,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,（2）A点处的线应变x，

29、y，z,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,练习题简支梁由18号工字钢制成.其上作用有力F=15kN，已知E=200GPa,=0.3.,0.5,0.5,0.25,F,求：A点沿00，450，900方向的线应变,h/4,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,解：,yA，Iz，d查表得出,为图示面积对中性轴z的静矩,z,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,第11章应力状态强度理论,11.4广义胡克定律与应变能密度,1.脆性断裂:无明显的塑性变形下突然断裂.,二、材料破坏的两种基本类型（常温、静载荷条件下）,2.屈服失效：材料发生

30、显著的塑性变形而使结构丧失其正常的工作能力.,一、强度理论的概念,强度理论：关于材料破坏决定性因素的各种假说,11-5强度理论,第11章应力状态强度理论,11.5强度理论,1、最大拉应力理论（第一强度理论）,认为最大拉应力t是引起材料发生脆断破坏的因素.,【1】第一类强度理论（断裂强度理论）,强度条件:,1,第11章应力状态强度理论,11.5强度理论,当最大的拉应力达到材料的极限应力u时，构件发生脆性断裂破坏.,（由伽利略1638年提出）,脆断破坏的判据：1=u,优点：与某些脆性材料的拉伸试验结果相符合，适合破坏形式为脆性断裂破坏的构件。,缺点：没有考虑另外两个主应力1和2的贡献，不太合理。,2、最大伸长线应变理论（第二强度理论),认为最大伸长线应变t是引起材料脆断破坏的因素.当材料的最大伸长线应变t达到材料的极限值u时，构件发生脆性断裂破坏.（1682年，由马里奥托提出）,脆断破坏的判据：,最大伸长线应变：,强度条件：,第11章应力状态强度理论,11.5强度理论,优点：考虑了三个主应力的综合影响，与许多脆性材料的拉伸试验结果相吻合。适合于破坏形式为脆断的构件。,1、最大切应力理论(第三强度理论),认为构件的屈服是由最大的切应力引起，当最大的切应力max达到材料屈服时的极限切应力u时，该处的材料就会屈服破坏.（1773年，库伦提出