第4章流体动力学基本定理

1、4.4动量方程、动量矩方程及其应用,4.4.1动量方程时刻t，任取一流体系统，体积V(t)、边界面S(t)，外法向量n。,动量定理：系统内动量的变化率等于作用在系统上的合外力(）。,系统内流体动量:系统所受合外力：,（系统）,动量方程反映了物体与流体间的相互作用，是积分形式的方程，对理想和粘性流体都适用。,常用假设：,（1）壁面无摩擦（理想流体）：（2）忽略质量力：f=0;（3）进出口流动均匀:V=const.,4.4.1动量方程,4.4.2动量矩方程,动量矩定理：cv内关于某一点动量矩的变化率与单位时间内流出cs的动量矩之和等于外界作用在cv上的力关于同一点的矩:,外力矩：,定常流动：,流出

2、动量矩CS流入动量矩CS=合外力矩CV+CS,直角坐标系中:,4.4动量方程、动量矩方程及其应用,1、建立相应的坐标系2、选取合适的控制面（控制体）：1）边界面或流面2）速度及压强分布已知的面3、根据相应问题及动量(矩)定理：动量（矩）的变化率=外力（矩)，按以下方式直接写出表达式：Q以流出为正,流进为负,速度外力v,F等与坐标轴方向为准,求力矩时,将v对矩心取矩,其方向代表动量矩方向,具体应用动量（矩）方程的步骤,4.4.3动量、动量矩方程应用,例1如图所示，不可压流体定常流过弯管，截面各为，求流体作用于弯管上的力，已知进出口截面流面流动均匀，忽略质量力，且已知及出口截面方向。,4.4.3动

3、量、动量矩方程应用,例2、孔口出流反推力,Find:液箱受到的反推力,Given：大容器小孔口，液面高度h。,例3、大气中二元流冲击平板Given：b0、V0，a，p0，不计粘性。Find：流体对平板的作用力。,4.4.3动量、动量矩方程应用,Solution:（1）取坐标系oxy及控制体：端面足够远；（2）设P为流体对平板的冲击力方向如图；（3）列动量方程(表压力)：,得,就是流体对平板的冲击力，方向与图示方向相同，指向平板。,图中叶片以匀速ve沿x方向运动，截面积为A0的一股水流沿叶片切线方向射入叶片，并沿叶片流动，最后从叶片出口处流出。设水流经过叶片时截面积不变，因而流速的大小不变（等于

4、vr),只是方向改变。已知A0=0.001，v0=120m/s，ve=60m/s出口速度方向与水平线夹角=100。求水流对叶片的反作用力以及对叶片所做的功率。,例4,4.4.3动量、动量矩方程应用,解,取如图所示的坐标系和控制体，并假定受力方向均沿坐标轴正向,沿x和y分别列出动量方程,例5、明渠水流经闸门流动如图所示,假定流体是理想的,流动是平面定常的,1-1和2-2截面上流速均匀,压力分布与静水情况相同。如已知求单位宽度闸门上所受到的力。,4.4.3动量、动量矩方程应用,作业,4-3,4,5,4.5旋涡运动基本定理,Kelvin定理的几个推论：,4.5.2Lagrange定理-涡量保持性（不

5、生不灭）定理,定理2：如果流体理想、正压、质量力有势，若某一时刻流场无旋，则以后的流动始终无旋。,粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡；非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。,旋涡产生原因,4.5.3Helmholtz定理-涡线和涡管保持定理,定理3如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡线的流体质点永远组成此涡线。定理4如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡管的流体质点始终组成此涡管，且涡管的强度不随时间而变。,综上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了

6、理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的旋涡，无旋变成有旋,不具备保持性。,bae_146,kelvin_helm_rollup,SirWilliamThompson(LordKelvin),borninBelfast,Contributedsignificantlytothefieldofhydrodynamicsasisevidencedbyhis661papersand56patents.When11yearsold,heente

7、redthetheUniversityofGlasgow,leavingin1841toenterPerterhouse,CambridgeUniversity,tofurtherhiseducation.TomeetBiotinParis.In1846hebecameProfessorofNaturalPhilosophyatGlasgow,apostheheldfor53years.Contributions:Longwaves,heatconduction,thermodynamics,submarinecables.Philosophy:“Therecannotbeagreatermi

8、stakethanthatoflookingsuperciliouslyuponpracticalapplicationsofscience”.Buried:inWestminsterAbbey.,LordKELVIN(18241907):,4.5.4BiotSavart定理涡线的诱导速度,电流在磁场中会诱导磁场强度旋涡在流场中会诱导流体速度。对应关系：,水电比拟物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。,电磁场流场方程磁场强度Hv流体速度磁场势V速度势电流面密度涡量电流强度i速度环量,电流诱导磁场强度,旋涡诱导流体速度,4.5.4BiotSavart定理涡线的诱导速度,直涡线L在M点处诱导速度的大小,诱导速度方向指向纸里。,4.5.4BiotSavart定理涡线的诱导速度,一般记忆方式采取两内角余弦之和。,半无限长直涡线，a2=0，a1=p/2：无限长直涡线，a2=0，a1=0：平面点涡诱导速度场：,4.5.4BiotSavart定理涡线的诱导速度,诱导速度场除