第七章 薄板弯曲问题有限元法

1、本章介绍弹性板弯曲的有限元方法。如果板的厚度h远小于其长度a和宽度，则称为板。对于薄板的小挠曲问题，其变形完全由侧挠曲w确定。因此，您可以使用w及其子系导出做为节点参数来建立板储存格。目前已建议了很多平面单元，但这里将重点介绍相对常用的矩形单元和三角形单元。计算结果表明，虽然不是完全调整的单位，但收敛和精度很好。薄板的小挠度弯曲问题可以看作是薄膜弯曲问题，即假设1)基尔霍夫直线法假设。2)。3)中间面不会发生变形。第七章薄板弯曲问题有限元法，取右侧坐标系的oxyz，使坐标平面oxy位于板的中间面(根据假设2)，w只是x，y的函数，与z无关，即w=w(x，y)根据假设1，即图7-1，7-。根据假

2、设3，例如，w=w(x，y)(7-32)样式的u、v和w是平板上点相对于轴方向的位移分量。以上移植表示u=v=0，面上的每个点不产生平面方向的位移。也就是说，中间面不会拉伸。平板上的面挠曲w独立于座标z，因此也可以表示平板内每个点的挠曲。(7-31)，使用几何方程式，板内每个点的变形分量为，(7-33)，根据板的简化假设，可以省略板内每个点的应力，表示式的(7-35)，(7-34)平面应力问题的弹性矩阵和，在平面理论中，如果取微元素hdxdy，则在微元素中弯矩Mx，My和力矩Mxy；板剖面中正应力和剪应力引起的接合力矩。对于Mx，My和Mxy表示单位宽度的内部力矩，其中h表示平板厚度。内部力矩

3、的正向如图所示。(7-36)、比较(7-34)和(7-36)样式可以获得表示为内部力矩的板应力。尤其是在平板的顶部和底部表面上，应力最大，如上所示，平板上的面挠曲w可以用作基本未知量。如果已知挠曲w，则可以根据上述公式计算板的位移、内力和应力。(7-37)，以下是平板弯曲的有限元方法。要将平板的面分割成一系列矩形单位，从而得到单独的系统而不是原始平板，每个单元至少要在节点上具有挠度和斜度的连续性，必须将挠度和x和y方向的一阶偏导数指定为节点位移(或广义位移)。通常，节点I的位移阵列可以表示为(7-39)，矩形单元的位移模式，对应的节点力阵列可以表示为：也就是说，挠曲w及其节点力w沿z轴线正方向

4、指定。对于拐角及其对应的节点力矩，右手所指示的向量沿正轴方向为正。图7-1所示的位移和力的方向均为正方向。(7-39)，对于矩形单元(例如平面问题)，引入了自然坐标系以研究单位特性。矩形单元中的每个节点有三个偏移分量，一个单元中的四个节点共有12个节点偏移分量，因此，选择具有12个参数的多项式作为偏移模式(7-40)，最后两个选择在单元边界具有三种形式。使用上述公式，以(7-41)、(7-40)和(7-41)的形式计算矩形单元的四个节点坐标，可以得到用12个参数表示节点位移分量的联立方程式，并且可以求解这12个方程式。其中，a1-a12-40 (7-40)可以返回、整理并重写为以下形式，也可以

5、写为标准形式(7-43)、(7-42):在本例中，符号和分别是。如，(c)、(7-44)、(7-31)格式所示，整个薄板的位移完全由z方向上的平面挠曲w确定，不会在中间面的每个点上产生x和y方向的位移。因此，薄板可能产生的刚性位移只有z方向的转换以及绕x和y轴线的旋转。z轴方向没有旋转。偏移模式(7-40)的前三个条目反映了图纸单元中这三个刚体的位移。再次(7-33)的形式表明，板内各点的变形完全由挠度w的三阶导数决定。如果这个三阶导数没有根据坐标发生变化，则说明平面单元的恒定变形状态，(7-40)样式的四阶、五阶、六阶二阶项反映了这种恒定变形状态(或恒定曲率状态)。因此，此矩形单位是完整的，

6、因为您可以确保始终有一组反映单元的刚体位移和恒定变形状态的节点位移。您可以看到变形和应力是由(7-33)和(7-34)型式中具有挠曲w的二次偏导数决定的。因此，如果要获得调整后的单位，还需要单位边界面上拔模的连续性，则此要求往往会使问题复杂化。在单元边界上，沿切线边界的偏转和偏转的部分微分(7-42)和(7-44)样式可以通过边界节点的位移唯一地确定，但沿边界法线方向的偏转的部分微分不是。也就是说，w和的值在单元格边界线之间连续，但不连续。s表示边界线的切线方向，n表示边界线的法线方向，因此我们现在讨论的储存格称为非调整图元或不完整的调整单位。的ij边界以、s、s、n1、n2、I、j、此边界的

7、两个端点I和j为例，具有4个已知条件。如果在中替换这四个条件，则可以完全标识四个常量c1、c2、c3、c4。如果边界是两个相邻单元的公共边界，则根据上述四个条件，这两个单元必须分别具有相同的常数c1、c2、c3和c4。也就是说，两个相邻单元具有公共边界，向上具有相同的偏差w。这表明选定的位移模式w在公共边界处连续变形。单元边界的法向角也是x(或)的三次多项式，而常识仍然具有确定常数d1、d2、d3、d4的4个已知条件，但是目前只有和2个条件，无法确定4个常数d1、d2、d3、d4。因此，楼板单元的整个公共边界上的法线角是不连续的，只有公共边界的两端有I，j有公共法线角。用几何方程式(7-33)

8、取代(7-42)，可以将单位变形分别表示为节点位移阵列、型式、刻度等。(7-45)，(7-46)，2矩形单位的刚度矩阵是根据(c)和(7-44)表达式计算的，因此，(d)单位刚度矩阵是(7-47)，7-7再次使用(d)表达式扩展(7-48)表达式，完成积分，就可以得到子矩阵，(7-48)，(7-49)，(7-50)，样式中的9个元素表示如下：(7-51)，如果平板单元在表达式中以分布横向载荷q的方式发挥作用，则等效节点力可以通过自下而上替代(7-14)(q=Q0为常数时)来积分。7-52，3矩形单元中的等效节点力和内力计算，最后(7-37)表示平面应力阵列(7-33)选择(7-45)和(7-3

9、6)格式，然后使用(d)格式而不是(7-53)自下而上，矩形单元将限制为桥面的形式，因此边界基于每个节点三个位移和三个三角形单位节点使用的位移模式必须包含九个参数，x和y的全部三次多项式共有10个。在此基础上配置位移模式时，必须删除其中一个。不保持x和y对称的三维项目建议使用7-2三角形元素、三角形元素的位移模式，以减少待定系数并保持对称。不幸的是，在这种情况下，对于两个边界分别平行于x轴和y轴的等腰三角形单元，的代数方程系数力矩被认为是奇怪的，因此阵列不确定。此情况并非如此。储存格中心挠曲w也有其他案例被视为一个参数，但汇出至此案例的储存格不会收敛。因此，在直角坐标系中构造三角形板单元的挠度

10、插值函数很困难，并且可以用面积坐标实现。如果使用1、2、3而不是I，j，m，则面积坐标的1、2、3将分别具有：三个最后项目(主L3=1L1L2)本身和两个第一阶部分微分很容易看到，一、二、三角点的值为0，对确定九个参数没有帮助，因此可以删除前九个来构造置换模式。但是，这个不完全三次多项式构成的位移模式不能保证有单独的线性项和二次项；也就是说，可能无法满足刚体位移和恒定变形标准。为此，可以假定前三个反映刚体位移，其他三个对应于恒定变形的位移模式为(7-25)。第二个项目用节点位移表示参数时，为了方便计算，仅选取最后三个。同样，您可以选取三个或定线组合，而不使用前三个。为了考虑每个区域坐标的对称显

11、示，创建了最简单、最可行的线性组合，如上所示。组合不使用“”编号是因为使用加号的最简单线性组合不合适。要以标准形式编写位移模式，必须获取形函数。为了方便起见，寻找造型函数可分为两个步骤。第一步是选择w，作为节点自由度，L3=1L1L2作为该形函数的L1和L2的函数。第二步是使用关系将第一步中使用的节点自由度(7-38)转换为指定的节点位移，然后通过耦合定理轻松获得形函数。样式b1=y2y3，c1=x3x1。B2，C2的值可以旋转到下标。(7-26)，现在确定参数。以(7-25)格式替换三角形单元中三个节点的面积坐标后，立即：(7-25)使用表达式计算和自下而上替换节点的面积坐标时，将按如下方式

12、计算六个表达式：其中，Li的偏导数表示j点的值。由下而上解析后，由下而上(7-25)取代，与前面的项目加在一起，便可取得相应的造型函数。使用将、和转换为和的(7-26)样式获取与对应的形函数和的计算公式。最后，以下形式的形函数是系数矩阵，即节点1、2和3的面积坐标，而不是(d)、节点2和3的形函数旋转到下标(7-29)。位移模式可以建立为标准形式，以确定相邻储存格之间的挠曲是否连续，但是垂直坡度比仍然不连续。实际上，任何边上的变形都可以用边方向s的三种样式表示，并且不包括此边上的节点位移，因为与该边对应的形状函数在此边上等于0。也就是说，一个角的挠度可以由两端两个节点的w和w完全确定。因此，此

13、三角形单位是完整的非协调单位。导出、刚度矩阵和弯矩公式时，要计算、和，造型函数将显示为区域坐标，因此必须在两个坐标系中创建部分导出之间的关系。L1，L2仍然用作独立坐标，L3=1L1L2作为L1和L2的函数，根据复合函数的派生规则，可以使用坐标转换公式获得以下两个关系：两个三角形元素的刚度矩阵，公式是三角形的面积，w的标准公式被几何方程替换，单元变形数组，格式，令牌Ni，11等表示Ni对L1的两个偏微分等。l是面积坐标的三次函数，因此，如果由下而上替换(7-29)表达式，则L1和L2的三次偏导数将成为面积坐标的一次函数。计算这三个部分微分后，可以很容易地将常识写成：在这里，(7-38)，然后乘

14、以Kay，可以写成矩阵Gi。然后，在公式中，(7-40)，单位刚度矩阵采用以下形式写，其中子矩阵为(7-41)，其中d是板的弯曲刚度：(7-38)注意表达式，很容易计算自下而上积分。实际上，如果(7-43)，(7-42)，公式中的积分为，(7-40)和(7-43)表达式的替代值为，(7-42)，则展开单位刚度矩阵的子矩阵，表达式的h的所有元素为在水平负载q分布的情况下，板储存格中相应的节点力使用(d)表示式中显示的造型函数会更方便。3三角形元素的等效节点力和内部力矩的计算可以在q=q0为常数时由下而上替换(d)表达式，对于内力矩阵，可以执行以下计算，形式，(7-49)，自下而上(7-49)，执

15、行一系列运算后得到内部力矩阵列，所有形状板的计算都可以得到内部力矩阵列因此，存在以下关系，其中c，s是x轴和y轴外部法线n方向的方向馀弦：常识可以更改刚度矩阵，以达到节点位移和节点力的变换，从而直接利用曲线边界上的边界条件。此变更可以在单位劲度矩阵或整体劲度矩阵之间进行。上述矩形单元和三角形薄板单元是非协调元素，并且单元公共边上法线角(或垂直斜度)的不连续性问题。为了实现薄板单元的调整(调整板元素或维护板元素)，对板元素的计算理论进行了大量的研究，提高了计算精度，提出了很多方法。一种方法是增加单元节点自由度的数量，例如，向矩形板元素的每个节点添加扭转比，使单元成为16个自由度的调整板单元。在三

16、角形板单元的每个节点上，通过添加作为节点自由度的，并在每个边的中点将相应的法向斜率作为节点自由度来生成21自由度的调整三角形板单元。另一种考虑7-3侧剪切影响的平面弯曲单位的方法是，将三角形(或四边形)板单元分割为三个子三角形，每个三角形各边的中点处的法向倾斜为自由度，每个子三角形具有12个自由度，从而在每个子三角形板元素之间进行调整，然后根据原始三角形板元素内的连续性和限制条件删除内部自由度，从而调整后的三角形板元素(12个外部自由度、3个内部自由度)或调整后的四边形板，第一方法的明显缺点：包含难以实际应用的上阶导数自由度的边界条件；在特定板问题中，使曲率或扭转速度对节点不一定连续，在有限元计算中连续是不常见的，因此结果无法收敛到正确的解决方案中。第二种方法适用于SAP-5程序。但是，此方法的计算公式比较复杂，消除每个单位内部自由度的冷凝过程需要更长的计算时间。在板弯曲问题的有限元法中，结构调整