函数极值点偏移问题

1、函数极值点偏移问题在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望而生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助先看一道试题：【例1】（2015年蚌埠市高三一质检试题）已知函数f（x）=xex（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若x1x2，f（x1）=f（x2），求证x1+x22该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想解析1e第（2）问：构造函数f（x）=f（1+x）f（1x）=（1+x）e（1+x）（1x）ex1，则f（x）=xex1

2、e（1+x），当x0时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增，又f（0）=0，f（x）0，即f（1+x）f（1x）x1x2，不妨设x1x2，由（1）知x11，x21，所以f（x1）=f（x2）=f1+（x21）f1（x21）=f（2x2），x21，2x21，又f（x）在（，1）上单调递增，x12x2，x1+x22上述解答，通过构造差函数f（x）=f（1+x）f（1x），紧接着对f（x）进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作其解题本质是x1与2x2的大小关系不易直接比较时，通过化归转化为比较函数值f（x1）与f（2x2）的大小关系，再结合f（x）的单调性获得解决这里的

3、1显然是f（x）的极值点，就是直线y=f（x1）=f（x2）=h被函数y=f（x）图象所截线段中点的横坐标，要证x1+x22，只需证f（x1）f（2x2），因此，问题本质是证极值点偏移问题若设f（x）的极值点为x0，则可将上述的解题策略程序化如下：构造差函数f（x）=f（x0+x）f（x0x）对f（x）求导，判断f（x）的符号，确定f（x）的单调性，结合f（0）=0，判断f（x）的符号，确定f（x0+x）与f（x0x）的大小关系由f（x1）=f（x2）结合及f（x）的单调性确定x1与2x0x2（或x2与2x0x1）的大小关系【例3】(2010年天津高考理)(本小题满分14分)已知函数fx=xe

4、-x(xr).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x1时，f(x)g(x)；(3)如果x1x2,且fx1=fx2,证明x1+x22.(1)解：fx=1-xe-x.令f(x)=0,解得x1.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：x(-,1)1(1,+)f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在(-,1)内是增函数,在(1，+)内是减函数.函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=1e.(2)证明：由题意可知g(x)=f(2-x)，得gx=2-xex-2.令f(x)=f(x)-g(x)，即fx

5、=xe-x+x-2ex-2.于是fx=x-1e2x-2-1e-x.当x1时，2x-20，从而e2x-2-10.又e-x0,所以f(x)0，从而函数f(x)在1，+)上是增函数.又f1=e-1-e-1=0,所以x1时，有f(x)f(1)=0，即f(x)g(x).(3)证明：若x1-1x2-1=0，由(1)及fx1=fx2，得x1=x2=1，与x1x2矛盾.若x1-1x2-10,由(1)及fx1=fx2，得x1=x2,与x1x2矛盾.根据，得x1-1x2-10.不妨设x11.由(2)可知，fx2gx2，gx2=f2-x2，所以fx2f2-x2,从而fx1f2-x2.因为x21,所以2-x22-x2

6、，即x1+x22.【例2】（2016年全国乙卷21题）【例3】（2011天津理19题）【例4】（2010辽宁理19题）（不属于该题型，恒成立问题）张同语应用上述提炼的解题策略可以解决下列一类有关函数极值点的偏移问题例11xxe1+x2（）求f（x）的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，x1+x20（）易知f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减（）易知当x1时1x1x所以f（x）0，当x1时0，20，1+x1+x2f（x）0f（x1）=f（x2）且x1x2，不妨设x1x2，由（）知x10，0x21下面证明：当0x1时f（x）f（x）即证：1xx1+xx1+x

7、x02e2e即证：（1x）e1+x1+xex构造f（x）=（1x）ex则f（x）=xex（e2x1）0x1，f（x）0，f（x）在（0，1）单调递减，从而f（x）f（0）=0即（1x）exf（x）f（x）又0x21，f（x1）=f（x2）=f（0+x2）x1x2（，0），f（x）在f（0x2）=f（x2），（，0）上单调递增，所以x1x2，即x1+x20评注例2第（）问不等式右边的0恰好是函数的极（2011年高考数学辽宁卷）已知函数值点，因此，该问本质上是证明极值点偏右问题f（x）=lnxax2+（2a）x（）讨论f（x）的单调性；证明：当0x（）设a0，x）f（1x）；a11时，f（+aa1

8、+x0，所以，当0x1时，ex1+x，ex解析（2013年高考湖南卷）已知函数f（x）=14中学生理科应试20155，6构造“辅助元”解题的十种策略四川省资阳市外国语实验学校有些数学问题的解决，若按常规思路寻求突破，往往非常棘手，甚至一时受阻，这时若调整思维方式，考察题目中有关数学式子的结构特征，尝试构造一个或多个“辅助元”来替代原来的“元”，这样做，可以减少变元的个数，降低变元的次数，化简表达式，更重要的是能够将原问题转化成熟悉的或容易解决的新问题，而且有效地降低了问题的难度，具有化繁为简、化难为易的解答功效本文结合实例介绍构造“辅助元”解题的十种策略，供大家参考一、对偶代换对偶代换是指对于

9、某些结构特殊的三角函数问题、求数列中若干项的和或积的问题、题中给出的条件含有倒数和的问题等等，可以通过合理构造对偶关系，并通过对对偶关系进行适当的和、差、积运算，则往b两（）若函数y=f（x）的图象与x轴交于a、证明：f（x0）0点，线段ab中点的横坐标为x0，（）易得f（x）的定义域为（0，+），（1）若a0时，则f（x）在（0，+）单调递增；（2）11在（，若a0时，则f（x）在（0）上单调递增，aa+）上单调递减（）构造函数f（x）=f（11+x）f（x）aa解析（641300）蔡勇全黄正兵往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果例1求sin220+cos280+的值解析令m=sin

10、220+cos280+=cos220+sin280+=sin20cos80，ncos20sin80，由此可以得到m+n（sin20cos80+cos20sin80）+（sin220+，cos220）+（cos280+sin280）=2+sin20cos80cos20sin80）并且可得mn=+（sin220cos220）+（cos280sin280）=sin（60）cos40+cos160=2sin100sin60311，m=，由+可得2m=即sin220+，224=1/4cos280+偏左问题例3（2015年安徽省皖中省示范高中联考试题）已知函数f（x）=ex2x+2a（1）求函数f（x）的

11、单调区间；x2，（2）若存在两个不相等的正数x1，假设f（x1）求证：f（120（f（x）为函数=f（x2）成立，f（x）的导函数）解析（1）易求得f（x）的递减区间为（，ln2），递增区间为（ln2，+），ln2为f（x）的极小值点（2）构造函数f（x）=f（ln2+x）f（ln2x）=eln2+x2（ln2+x）eln2x+2（ln2x）=2（exex2x）f（x）在（0，f（x）=2（ex+ex2）0，+）单调递增，又f（0）=0，在（0，+）上f（x）0，即f（ln2+x）f（ln2x），又x1，x2为不相等的两个正数，不妨设x1x2，由（1）知0x1ln2，x2ln2，f（x1）=f（x2）=fln2+（x2ln2）fln2（x2ln2）=f（2ln2x2），0又f（x）在（，ln2）单调x1ln2，2ln2x2ln2，递减，x12ln2x2，ln2，又f（x）x1+x2ln2，从而1222a3x2=ln（1+ax）ln（1ax）2ax，f（x）=1a2x21时，f（x）0，f（0）=0，所以当0xaf（x）0，即当0x111时，+x）f（x）f（aaa（）由（）得当a0，函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点，