第4章 线性方程组解的结构

1、第四章,线性方程组的解的结构,4.4线性方程组在几何中的应用,4.3非齐次线性方程组解的结构,4.2齐次线性方程组解的结构,4.1线性方程组解的存在性定理,4.1线性方程组解的存在性定理,在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求和存在性问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。,(4-1),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),4.1解的存在性定理,非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,(4-1),向量可由A的列向量组,线性表示。,4.1解的存在性定理,的系数行列式,Cramer法则,则方程组有唯一解,且解为:,(4-2),4.1解的存在性定理,齐

2、次方程组解的存在性定理,(4-3),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),4.1解的存在性定理,对于齐次方程组,(1),A的列向量组线性无关,(2),A的列向量组线性相关,推论1,当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)必有非零解。,4.1解的存在性定理,有非零解,(4-4),学习书P135例2,4.1解的存在性定理,第四章,线性方程组的解的结构,4.4线性方程组在几何中的应用,4.3非齐次线性方程组解的结构,4.2齐次线性方程组解的结构,4.1线性方程组解的存在性定理,4.2齐次线性方程组解的结构,(2)解集的秩是多少?,(3)解集的最大无关组(又称为基础解系)如何求?,(1)解集

3、的特点?,称：,性质1：若是(4-3)的解，,性质2：,注：,如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。,性质,推论1,而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。,首先回答问题(1),4.2齐次线性方程组解的结构,线性无关；,的任一解都可以由,线性,基础解系,表示,则称,下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。,(取任意实数),从而,也是(4-3)的解。,4.2齐次线性方程组解的结构,通过下面的例子,针对一般的方程组,回答所提问题.,第一步:对系数矩阵A初等行变换化行最简形B,从行最简形能得到什么？,4.2齐次线

4、性方程组解的结构,第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边.右边的又叫自由变量),自由变量的个数=?,4.2齐次线性方程组解的结构,是解吗?,线性无关吗?,任一解都可由表示吗?,是基础解系吗?,基础解系所含向量的个数=?,第四步:写出基础解系,再来分析一下基础解系的由来:,第二步的同解方程组为,第三步的通解为,4.2齐次线性方程组解的结构,就是,类似的,这就启发我们,由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).,必然是线性无关的,从而也是基础解系.由此得到解法2.,4.2齐次线性方程组解的结构,第一步:同前,第二步:同前,第三步:令,第四步:

5、写出通解,4.2齐次线性方程组解的结构,则齐次线性方程组,的基础解系存在，,且每个基础解系中含有,个解向量。,则齐次线性方程组,的任意个线性无关,的解向量均可构成基础解系。,4.2齐次线性方程组解的结构,设,是的,两个不同的解向量,k取任意实数,则Ax=0的通解是,4.2齐次线性方程组解的结构,设,证明,证,因此,移项,重要结论,4.2齐次线性方程组解的结构,且线性无关，则_是AX=O的基础解系。,(2),(3),则_可为AX=O的基础解系。,(4),练习,(1),(2),4.2齐次线性方程组解的结构,证明,设,首先证明,利用这一结论,证,重要结论,4.2齐次线性方程组解的结构,求一个齐次方程

6、组,使它的基础解系为,记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知,然后再把这些解拼成的列(A的行)即可.,解得基础解系,设所求的齐次方程组为,则,解,4.2齐次线性方程组解的结构,第四章,线性方程组的解的结构,4.4线性方程组在几何中的应用,4.3非齐次线性方程组解的结构,4.2齐次线性方程组解的结构,4.1线性方程组解的存在性定理,4.3非齐次线性方程组解的结构,以下总假设,有解,而其对应的齐次方程组,的基础解系为,这里,性质,(2)设是(1)的解,是(2)的解,则仍是(1)的解.,设是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解x,是(2)的解,从而存在使得,又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),注：非齐次方程组的解集不是空间。,4.3非齐次线性方程组解的结构,设是(1)的任一解,则(1)的通解为,解,4.3非齐次线性方程组解的结构,得齐次方程组的基础解系,即得方程组的一个解,4.3非齐次线性方程组解的结构,于是所有通解,4.3非齐次线性方程组解的结构,是Ax=0的解,是Ax=b的解,4.3非齐次线性方程组解的结构,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且,求该方