多元函数微分法及其应用习题及答案

1、第八章多元函数微分法及其应用(一)1.填空(1)如果该区域有两个混合偏导数，则有一个(2)函数在某一点可微的条件是在该点存在偏导数。(3)一个函数在一点是可微的并且在一点是连续的条件。2.找到下列函数的域(1)；(2)3.找到以下限制(1)；(2)；(3)4.设计和需求。5.找出下列函数的偏导数(1)；(2)；(3 ).6.让、和得到全导数。7.集合，请求。8.在曲线轴线的点(2，4，5)处切线的倾角是多少？9.求由方程确定的函数的偏导数。10.假设并找到所有二阶偏导数。11.让它成为一个由方程决定的隐函数。12.设计和寻求。13.让它成为一个由方程确定的隐式函数，求。14.集合，寻求总体差异

2、。15.在该点找到函数的全微分。16.用全微分逼近。17.求抛物面和抛物柱面交点处的切线方程和平面方程。18.求曲面上该点的切面方程和法线方程。19.找到曲线的上点，使曲线在该点的切线平行于平面。20.找到函数的极值。21.找到函数的极值。22.建造一个容积为10立方米的敞口长方体水库，底料单价为每平方米20元，辅料单价为每平方米8元。如何设计尺寸以节省材料成本？(二)1.找到下列函数的域(1)；(2)2.(1)设计、需求和需求。(2)设计与寻求3.找出下列函数的极限(1)；(2)4.这个问题存在吗？5.讨论函数的连续性。6.二元函数是这样的：连续的，存在偏导数；连续偏导数不存在；不连续性，存

3、在偏导数；不连续性，偏导数不存在。7.设计，寻找，和。8.设置、查找和。9.设计，寻找，和。10.设计，微观，寻求。11.设计、需求和需求。12.设计和寻求。13.让它是可微分的，并寻求完全微分。14.let是一个由方程确定的隐式函数，其中有连续的偏导数，然后对其求和。15.找到偏导数。16.设计、需求和需求。17.设计和寻求。18.在一个点上，沿着点到点的方向，求函数的方向导数。19.沿着点的切线方向求函数的方向导数。20.在沿方向的点上求函数的方向导数。21.对错：(简要解释原因)(1)是沿轴at的方向导数。(2)如果存在偏导数，则存在任何方向的方向导数。22.证明坐标轴上曲面上任意一点的

4、切面截距的平方是常数。23.证明：球面:球面上任何一点的法线都通过球面的中心。24.在椭球面上的一个点上，求切面和平面之间的交角。25.设所有是、和的所有偏导数的函数，存在并且是连续的，证明：26.询问函数在哪里，方向导数在哪个方向上最大，并找出这个方向上导数的最大值。27.找出椭球面上最大的长方体的体积。28.一家公司通过报纸和电视媒体为某些产品做促销广告。根据统计数据，销售收入与报纸广告费和电视广告费(单位：10000元)的关系有以下经验公式：在广告费限制在15000元的情况下，寻求相应的最优广告策略。29.找到函数的麦克劳林公式，并写出其余的项。30.用函数的二阶泰勒公式计算的近似值。(

5、三)1.证据。2.让它在一个点或邻域中是连续的，并问(1)在什么条件下，偏导数存在；(2)在什么条件下，它是可区分的。3.让它是一个由方程决定的函数，并且是可微的。4.通过确定和寻找来设定。5.从方程式中找出、6.让，并尝试确定常数，以便函数可以满足以下等式：7.证明旋转面上任何一点的法线都与旋转轴相交。8.试着证明这一点10.设从轴的正方向到轴的方向的旋转角为，在沿该方向的点上求出函数的方向导数，并分别确定旋转角，使该导数具有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。第八章多元函数微分法及其应用(一)1.填空(1)如果一个区域上的两个混合偏导数是连续的，那么它们在。(2)函数在某一点上可微的

6、必要条件是在该点上存在偏导数。yo (0，1) x图1(3)函数在一点上可微且在一点上连续的充分条件。2.找到下列函数的域(1)解决方案：让域由也就是说，如图1所示(2)解决方案：让域由也就是说，它们不是同时为零，那就是，得到。3.找到以下限制(1) (2)解决方案：原始公式解决方案：原始公式(3)解决方案：原始公式4.设计、需求和解决方案：，,5.找出下列函数的偏导数(1)解决方案：类似地(2)解决方案：同样的原因可以证明：(3)解决方案：6.让、和得到全导数。解决方案：,根据复合函数的导数规则，全导数为7.集合，请求。解决方案：8.在曲线轴线的点(2，4，5)处切线的倾角是多少？解决方案：

7、因此。9.求由方程确定的函数的偏导数。解决方案：关于推导，我们得到，那是关于派生，有也就是说。10.假设并找到所有二阶偏导数。解决方法：首先找到一阶偏导数，得到,然后找到二阶偏导数，得到,11.让它成为一个由方程决定的隐函数。解决方案1:那么记住，那时，你得到了。解答2:(提示)直接在方程的两边找到偏导数，并明确它是，的函数。12.设计和寻求。解决方案：那么，点菜吧。13.让它成为一个由方程确定的隐式函数，求。解：方程两边的偏导数是，那是我能理解。类似地，方程两边的偏导数被求解然后求出二阶混合偏导数，得到代入上述结果，您会得到：14.集合，寻求总体差异。解决方案：因为，总的差异是。15.在该点

8、找到函数的全微分。解决方案：所以。16.用全微分逼近。解决方案：如果设置了，它将被完全区分从近似关系中，得到从上面的公式中取、来因此，近似值。17.求抛物面和抛物柱面交点处的切线方程和平面方程。解：相交方程，只要把它作为一个参数，就得到参数方程：接下来是、和交点的切向量。切线向量是法平面方程是。18.求曲面上该点的切面方程和法线方程。解决方法：记住，所以该点的曲面法向量是因此，切面方程是，也就是说，法线方程是。19.找到曲线的上点，使曲线在该点的切线平行于平面。解：曲线在一点的切线方程是切线平行于平面，也就是说，切线的方向向量垂直于平面的法线向量，这应该是，也就是说，得到所以点的坐标是。20.

9、找到函数的极值。解决方法：解方程，得到驻点。因为、在该点，函数获得最大值。21.找到函数的极值。解决方法：解方程，得到驻点。因为，在点、处，函数在点处获得最小值，最小值为。22.建造一个容积为10立方米的敞口长方体水库，底料单价为每平方米20元，辅料单价为每平方米8元。如何设计尺寸以节省材料成本？解决方案：如果水池的长度、宽度和高度是米，材料成本是，(，)，*1而且，必须满足，*2由*2解出，用*1替换得到，(，)，这样问题就变成了最小值，并且极值的必要条件是求解这个方程组。根据问题，有最小的成本，而且，是唯一的停滞点，所以，当，池的材料是最小的。(二)1.找到th解决方案：设置域。让有意义的

10、面积为：也就是说，让有意义的面积为：也就是说。因此，域。如图2所示(2)解决方案：让领域去吧。根据激进的性质，我们必须，并且，或者解决：00 1y y1.5x x3 0图2。如图3所示2.(1)设计、需求和需求。解决方法：如果你设置了，你就能得到它因此因此(2)设计与寻求解决方案：3.找出下列函数的极限(1)解决方案：原始公式(2)解决方案：原始公式4.这个问题存在吗？解决方法：沿着直线走。当时，有,(2)沿着抛物线的方式，当时有可以看出，沿着两条不同的路径，函数的极限是不同的，所以极限是不存在的。5.讨论函数的连续性。解决方案：在，所以它是连续的。如果是这样，那就选择这条路因此，除了其他点之

11、外，不连续性是一条直线。6.二元函数是这样的：连续的，存在偏导数；连续偏导数不存在；不连续性，存在偏导数；不连续性，偏导数不存在。解决方法：应选择事实上，因为它随不同的值而变化，所以极限不存在，所以它在该点是不连续的，同样，偏导数也存在于该点。7.设计，寻找，和。解决方案：订购，然后，获得,8.设置、查找和。解决方案：9.设计，寻找，和。解决方案：10.设计，微观，寻求。解决方法：先问，,所以。11.设计、需求和需求。解决方案：关于派生，以及，获取也就是说，(*)获取：同样，可用。12.设计和寻求。解决方案：订单，然后就位。13.让它是可微分的，并寻求完全微分。解决方案：14.let是一个由方

12、程确定的隐式函数，其中有连续的偏导数，然后对其求和。解决方法：取等式两边的全微分，得到也就是说，那就是，在那个时候，解决由此得出。15.找到偏导数。解：的复合函数为。，所以，16.设计、需求和需求。解决方案：为给定的方程确定两个一元隐式函数：和，并对给定方程的两边进行微分，以获得在.的条件下，17.设计和寻求。解决方案：18.在一个点上，沿着点到点的方向，求函数的方向导数。解决方案：，因为.所以。19.沿着点的切线方向求函数的方向导数。解决方法：因为曲线通过一个点，切线的余弦值也是，同样地。20.在沿方向的点上求函数的方向导数。解决方案：,表面的外法向量是然后。21.对错：(简要解释原因)(1

13、)是沿轴at的方向导数。解决方案：错误。因为前者是双边限制，后者是单边限制。(2)如果存在偏导数，则存在任何方向的方向导数。解决方案：错误。因为偏导数只描述沿轴或轴的变化率，为了确定函数在任何方向的变化率，函数在该位置也应该是可微的。22.证明坐标轴上曲面上任意一点的切面截距的平方是常数。证书：订单。因为曲面的法向量是，所以曲面上任意点的法向量是。如果切平面上的任意一点被设置，那么切平面方程是，也就是说，它的截距公式是，由此截距的平方和是：23.证明：球面:球面上任何一点的法线都通过球面的中心。证明：如果，正规方程为：所以任何法线都穿过原点。24.在椭球面上的一个点上，求切面和平面之间的交角。

14、解：如果，那么法向量就是。平面的法向量，由平面裁剪公式：也就是说。25.设，都是，的函数，都是，的偏导数，都是连续的，证明了：证书：26.询问函数在哪里，方向导数在哪个方向上最大，并找出这个方向上导数的最大值。解决方案：方向导数具有最大值的方向。是这个方向上导数的最大值。27.找出椭球面上最大的长方体的体积。解决方法：让它在第一个极限内与长方体的顶点相交。根据对称性，长方体的体积是：(，)(*1)因为它在椭球面上，所以它应该满足条件：所以问题是在约束条件(*2)下找到函数(*1)的条件极限。引入功能制造获取唯一的解决方案：根据问题的含义，最大体积是存在的，所以以点(，)为顶点的、与坐标平面对称的、刻在椭球面上的长方体体积最大。最大音量是。28.一家公司通过报纸和电视媒体为某些产品做促销广告。根据统计数据，销售收入与报纸广告费和电视广告费(单位：10000元)的关系有以下经验公式：在广告费限制在15000元的情况下，寻求相应的最优广告策略。解决方案；使功能：制造获取，获取唯一的解决方案：根据问题的含义，有一个最佳策略，所以最好把所有的15，000元投入到电视广告中。29.找到函数的麦克劳林公式，并写出其余的项。解：是一样的，所以()。30.用函数的二阶泰勒公式计算的近似值。解决方案：此时，它将