3-应力与应变

1、第三章应力与应变,第三章应力与应变应力分析目的,明确一点应力状态相关概念；掌握从受力体内取单元体的方法。,推导受力体内一点各方位面上应力间的关系（平面应力状态）。即，建立一点不同坐标系下应力分量间的变换关系。,获得一点正应力和剪应力的最大值以及作用方位。,静定应力问题的求解。,熟练掌握平面应力状态分析方法解析法与图解法（莫尔圆）。,熟练平面应力状态下一点面内主应力、主平面及方位的确定。,了解三向应力圆的作法；熟练一点最大切应力及方位的确定。,第三章应力与应变一般应力状态,应力表达的是一点附近的受力状态,第三章应力与应变一般应力状态,第三章应力与应变应力的符号，切应力互等,第三章应力与应变应力的

2、符号，切应力互等,第三章应力与应变应力的符号，切应力互等,如此，一点的应力状态由6个独立分量描述：,相互垂直两微分面上的切应力（与）大小相等，且同时指向或背向两面的交线。称为切应力互等定理。即。,第三章应力与应变平面应力状态,平面应力状态（PlaneStress）,当含有z方向分量的应力都等于零时，称为平面应力状态，此时的应力状态由三个分量描述：,2,平面应力状态,第三章应力与应变平面应力状态,矢量是一阶张量（Tensor）,矢量A，在xy坐标系里可以用坐标（X，Y）表示，在xy坐标系里可以用坐标（X，Y）表示。它在新、老坐标系里的分量有如下的转换关系：,事实上，矢量是一阶张量,目的是建立与之

3、间的转换关系。,若过该点取沿任意方位的单元体，其上应力则由描述。,第三章应力与应变平面应力状态分析,物体上o点处于平面应力状态。沿方向取单元体，其上应力由描述。,解析法转换方程,第三章应力与应变解析法,楔形分离体的平衡转换方程,第三章应力与应变解析法,楔形分离体的平衡转换方程,第三章应力与应变解析法,第三章应力与应变解析法,第三章应力与应变解析法,矩阵形式,第三章应力与应变解析法,第三章应力与应变主应力、主平面,的方程表明，给定，任意斜截面上的应力由其方位角决定。工程实际中，重要的是确定最大、最小正应力和最大切应力以及它们作用平面的方位。,第三章应力与应变主应力、主平面,上式左边即，可见正应力

4、取极值的方位面上的切应力为零。设其方位角为，上式成为,第三章应力与应变主应力、主平面,上式有两个根，记为和，对应的极值记为和。,主应力、主平面,第三章应力与应变主应力、主平面,主应力、主平面,将以上三角关系代入的表达式得面内的最大、最小正应力：,第三章应力与应变主应力、主平面,主应力、主平面,1，求-25斜截面上的应力,已知某点应力：,第三章应力与应变例题1,第三章应力与应变例题1,面内主应力为I10.71MPa，II2.71MPa。,第三章应力与应变例题1,有两个解，如何判断那一个角度对应于最大正应力，那一个角度对应的是最小正应力？,第三章应力与应变例题1,如果上式的值小于零。相应的主应力取

5、极大值。,时，或者时,第三章应力与应变面内最大切应力,面内最大切应力(MaximumIn-PlaneShearStress)及作用面,将对微分，并令其等于零得：,第三章应力与应变应力状态,表明面内最大切应力作用面与主平面成夹角。,由于与的正切成负倒数关系，所以,面内最大切应力(MaximumIn-PlaneShearStress)及作用面,第三章应力与应变应力状态,面内最大切应力作用面与主平面成夹角。,面内最大切应力(MaximumIn-PlaneShearStress)及作用面,第三章应力与应变面内最大切应力,将代入正应力公式，最大、最小切应力作用面上的正应力为,第三章应力与应变例题1,3，

6、求最大切应力,最小、最大切应力处于与主应力成45的截面上。,从后面讲的应力圆知识可知，最大主应力旋转45的截面上，也就是与x方向成58.3的截面上,切应力为正。,第三章应力与应变例题2,解：x20MPa，y90MPa，xy60MPa。,例题2，受力物体某点的平面应力状态由左图的单元体表示。试求最大切应力和相应截面上的正应力。,第三章应力与应变例题,将S21.3代入切应力公式,S21.3截面上切应力为81.4MPa。S111.3截面上的切应力为81.4MPa。,第三章应力与应变例题,两个截面上的正应力等于平均正应力：,注：这里的切应力在两个互相垂直的面上相差一个负号，因为这是相应于x轴取向不同的

7、两个坐标系里的切应力的符号。与切应力互等律不矛盾。,第三章应力与应变图解法莫尔应力圆,第三章应力与应变图解法莫尔应力圆,第三章应力与应变图解法莫尔应力圆,上式为一圆方程，圆心为C（a，0），半径为R。,取轴向右为正,轴向下为正。在该坐标系中作圆，称为莫尔应力圆。,第三章应力与应变莫尔应力圆,莫尔应力圆,第三章应力与应变莫尔应力圆,第三章应力与应变莫尔应力圆,第三章应力与应变莫尔应力圆,1，应力圆上的点X的坐标为（x，xy），与单元体x面的应力相对应。,2，应力圆上X的坐标为（x，xy），与单元体的x面上的应力相对应。,3，应力圆上CX与CX的夹角为2，是x轴与x轴之夹角的2倍。,第三章应力与应

8、变应力圆例题,例：某点应力x=40MPa，y=-20MPa，xy30MPa。试用解析法和图解法求主应力和最大切应力。,1，解析法,第三章应力与应变应力圆例题,第三章应力与应变静定应力问题,第三章应力与应变静定应力问题,静定应力问题,应力如何分布？,第三章应力与应变静定应力问题,均匀拉、压等截面杆的例题,一个以角速度旋转的圆环，密度为，截面的厚度为t，宽度h，截面尺寸与环的半径r相比很小，求截面上的应力。解：因为截面尺寸与半径相比很小，根据对称性假定截面上没有切应力，正应力均匀分布，并忽略径向正应力r。设圆环单元体的惯性力为dF，那么，根据径向力的平衡：,第三章应力与应变静定应力问题,由于求解过

9、程中不涉及材料性质，因而无论材料是在弹性范围还是在塑性范围，其结果均适用。,第三章应力与应变静定应力问题,第三章应力与应变静定应力问题,因为筒体壁很薄，假设筒壁截面上正应力沿厚度均匀分布。,x方向长度为1,第三章应力与应变静定应力问题,因为筒体壁很薄，假设管壁截面上切应力沿厚度均匀分布。试求横截面上的应力。,第三章应力与应变单向拉伸应力状态,第三章应力与应变纯剪切,Example,(2)纯剪切应力状态，已知x=y=0，xy=,主应力I=，II=-。,第三章应力与应变拉剪应力状态,Example,拉剪应力状态Combinedtensiletorsionalstressstate,第三章应力与应变

10、拉剪应力状态,已知x=，y=0，xy=,(3)拉（压）剪（切）复合应力状态：,第三章应力与应变拉剪应力状态，例题,受轴向压力和扭矩作用的薄壁圆柱体，表面上一点的应力状态如单元体图所示。试求主应力的大小和方向。,x=-12MPa，y0，xy=-6MPa。,例题,第三章应力与应变拉剪应力状态，例题,6,-12,22.5o,x,-6,14.5,2.49,x,主应力：,第三章应力与应变静定应力问题，例题,中面的半径r10cm，壁厚t0.1cm，x坐标与x坐标成30。和的值已知。在下列两种情况下求p和F的值，并求。（1）（2）,管壁中面上：x轴向坐标周向坐标,第三章应力与应变静定应力问题，例题,F,p,

11、F,解析法,（1）,第三章应力与应变静定应力问题,例题,第三章应力与应变静定应力问题,第三章应力与应变静定应力问题,所以,（2）,第三章应力与应变,试证明如果一对主平面上的主应力相等,(x,y面为主平面而且x=y)，那么过该点的任何一对互相垂直的平面都是主平面,而且主应力都相等。,证明：如图所示，假设x,y面为通过该点的一对主平面，x,y是通过该点的另一对互相垂直的截面，x轴与x轴的夹角为。,所以x,y也是主平面。并且x=y=x=y,y,xy,x,x,x,y,y,x,y,第三章应力与应变三向应力状态,假如z面也是主平面。z面上主应力为III。因为III在xy平面上投影为零，对x，y方向的平衡无

12、影响。所以xy平面的应力变换方程不变，主应力为I和II。,平面应力状态是III=0的特殊情况。,第三章应力与应变三向主应力、主平面,三向主应力、主平面,第三章应力与应变三向主应力、主平面,主应力为I=110.71MPa，20II=3=2.71MPa。,第三章应力与应变三向主应力,第三章应力与应变三向主应力,第三章应力与应变三向应力状态的例题,已知在xy平面内，x50，xy30，y10，单位为MPa。z30也是主应力。确定三个主应力和最大切应力，并作三向应力圆。,解：,第三章应力与应变三向应力状态的例题,将三个主应力按代数值大小排序可以写成,第三章应力与应变三向应力圆,第三章应力与应变三向应力圆

13、,如此，各构成一应力圆。平行于三个主应力的特殊斜面上的应力点将落在相应的圆上。,可以证明，任意斜截面上的应力点一定落在三圆围成的阴影区域内。,第三章应力与应变应变分析目的,明确一点应变状态的相关概念。,获得一点正应变和剪应变的最大值以及作用方位。,介绍电测基本原理。,熟练掌握平面应变状态分析方法解析法与图解法（莫尔圆）。,明确主应变与主应力的对应关系。,了解应变片、应变花（栅或丛）的原理，初步掌握电测方法。,建立平面应变状态的分析方法；重点介绍其分析结果与平面应力分析结果的相似性，并获得应变变换方程及应变莫尔圆。,第三章应力与应变一般应变状态,受力单元体，其内的变形均匀。一般，由三个坐标方向的

14、线应变及三个坐标面内的切应变，描述。,一般应变状态,第三章应力与应变一般应变状态,第三章应力与应变平面应变状态,如果只有分量，不存在和的情况，称为平面应变,为进行平面应变状态分析，需要建立应变与位移的关系。,第三章应力与应变平面应变状态,例题,一矩形平板，变形后成为平行四边形，并且水平方向长度不变。求(1)沿y方向的平均正应变；(2)相对于x，y轴的平均切应变。,解：,第三章应力与应变应变与位移关系,单元体承受平面应变，各点仅在面内位移。,第三章应力与应变应变与位移关系,第三章应力与应变应变与位移关系,应变与位移关系,第三章应力与应变应变转换方程,坐标系旋转一角度，点O的坐标以及位移OO依以下

15、规律变化：,第三章应力与应变应变转换方程,第三章应力与应变应变转换方程,由偏微分链法则得：,第三章应力与应变应变转换方程,将坐标及位移转换关系代入上面式中得应变转换方程：,第三章应力与应变应变转换方程,第三章应力与应变主应变及方位,主应变、主应变方向(PrincipalStrainsandTheirDirections),线应变取极值的方位面上的剪应变为零。,为面内的最大、最小线应变。,将的表达式对微分并令其等于零得主应变方位角为,有两个根和，,第三章应力与应变主应变及应变主方向,当一点附近某取向单元体的变形仅有线应变而无切应变时，相应的线应变称为主应变，作用方向称为应变主方向。在面内存在两个

16、互相垂直的应变主方向，相应有两个主应变。,第三章应力与应变面内最大切应变,切应变极值,面内最大切应变,将的表达式对微分并令其等于零得,第三章应力与应变应变分析例题,一点处于平面应变状态，已知x350(10-6)，y200(10-6)，xy80(10-6)。试确定主应变及其方向。,解：,第三章应力与应变应变分析例题,主应变,因为xy，所以o4.14o对应最小正应变II353（106）,第三章应力与应变莫尔应变圆,由应变和应力转换关系的相似性，可作莫尔应变圆。,最大切应变,第三章应力与应变莫尔应变圆例题,主应变,一点处于平面应变状态，已知x250(10-6)，y150(10-6)，xy120(10-6)。试确定主