初中数学复习 圆相关的比例线段

1、专题21、专题22录入：江阴 夏建平 （QQ：705269007）专题22 与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系.相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系：1从定理的形式上看，都涉及两条相交直

2、线与圆的位置关系；2从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB是O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F.若DE=CE，AC=8，点D为EF的中点，则AB= . （全国初中数学联赛试题）解题思路：设法求出AE、BE的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等. 例1题图 例2题图【例2】如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，以BC上一点O为圆心作O与AC、AB都相切，又O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（ ）A1 B C D（武汉市中考试题）解题思路：

3、由切割线定理知BE2=BDBC，欲求BD，应先求BE. 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.【例3】如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，DEAB于E.已知AE EB=4 1，CD=2，求BC的长.（成都市中考试题）解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口. 【例4】如图，AC为O的直径且PAAC，BC是O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，=.（1）求证：直线PB是O的切线；（2）求cosBCA的值.（呼和浩特市中考试题）解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值. 【

4、例5】如图，已知AB为O的直径，C为O上一点.延长BC至D，使CD=BC，CEAD于E，BF交O于F，AF交CE于P.求证：PE=PC.（太原市竞赛试题）解题思路：易证PC为O切线，则PC2=PFPA，只需证明PE2= PFPA. 证PEFPAE，作出常用辅助线，突破相关角. 【例6】如图，已知点P是O外一点，PS、PT是O的两条切线. 过点P作O的割线PAB，交O于A、B两点，与ST交于点C.求证：=（+）.（国家理科实验班招生试题）解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证. 能力训练A级1如图，PA切O于A点，PC交O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2

5、，则O的半径为 .（青岛市中考试题）2如图，已知ABC内接于O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点.如果BDCF，BC=2，则CD= .（四川省竞赛试题） （第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）3如图，AB切O于点B，AD交O于点C、D，OPCD于点P. 若AB=4cm，AD=8cm，O的半径为5cm，则OP= .（天津市中考试题）4如图，已知O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长为 .（成都市中考试题）5如图，在O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，

6、BM=4，则OC的长为（ ） A2 B C2 D2（辽宁省中考试题）（第5题图） （第6题图） （第7题图）6如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积为（ ） A16 B36 C52 D81（南京市中考试题）7如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（ ） A3 B3 C6 D68如图，O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=2，则弦心距OF为（ ） A1 B C D（包头市中考试题）（第8题图） （第9题图） （第10题图）9如图，已知在ABC中，C=90，B

7、E是角平分线，DEBE交AB于D，O是BDE的外接圆.（1）求证：AC是O的切线；（2）若AD=6，AE=6，求DE的长.（南京市中考试题）10如图，PA切O于A，割线PBC交O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交O于E，已知：BE2=DEEA.求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=ADDE.（天津市中考试题）11如图，ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知O过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G.求证：ADBF.（全国初中数学联赛试题）（第11题图） （第12题图）12如图，已知AB是O的直径，AC切O于点A. 连结CO并延长交O于点D、E，连结BD并

8、延长交边AC于点F.（1）求证：ADAC=DCEA；（2）若AC=nAB（n为正整数），求tanCDF的值.（太原市竞赛试题）B级1如图，两个同心圆，点A在大圆上，AXY为小圆的割线，若AXAY=8，则圆环的面积为（ ）A4 B8 C12 D16（咸阳市中考试题）2如图，P为圆外一点，PA切圆于A，PA=8，直线PCB交圆于C、B，且PC=4，ADBC于D，ABC=，ACB=. 连结AB、AC，则的值等于（ ）A B C2 D4（黑龙江省中考试题）（第1题图） （第2题图） （第3题图）3如图，正方形ABCD内接于O，E为DC的中点，直线BE交O于点F，若O的半径为，则BF的长为（ ）A B

9、C D（南京市中考试题）4如图，已知O的半径为12，锐角ABC内接于O，BDAC于点D，OMAB于点M，则sinCBD的值等于（ ）AOM的长 B2OM的长 CCD的长 D2 CD的长（武汉市中考试题）（第4题图） （第5题图） （第6题图）5如图，PC为O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CDAB于D.若tanB=，PC=10cm，求BCD的面积.（北京市海淀区中考试题）6如图，已知CF为O的直径，CB为O的弦，CB的延长线与过F的O的切线交于点P.（1）若P=45，PF=10，求O半径的长；（2）若E为BC上一点，且满足PE2=PBPC，连结FE并延长交O于点A.求证：点A是的中点.

10、（济南市中考试题）7已知AC、AB是O的弦，ABAC.（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC2=AEAB?为什么？（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与O的位置关系并说明理由；（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）（第7题图） （第8题图）8如图，P为O外一点，PA与O切于A，PBC是O的割线，ADPO于D，求证：=.（四川省竞赛试题）9如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在的直线的解析式分别为：y=x和y=.D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点（点P与点O不重合），连接DE和CP，其交点为Q（1）求证：点Q为COP的外心；（2）求正方形OABC的边长；（3）当Q与AB相切时，求点P的坐标（河北省中考试题）（第9题图） （第10题图） （第1