高等代数(北大版)第8章习题参考答案

1、第八章 矩阵 1. 化下列矩阵成标准形 1） 2） 3） 4） 5） 6） 解 1）对矩阵作初等变换,有 a = b， b即为所求。 2）对矩阵作初等变换,有 a = b， b即为所求。 3）因为的行列式因子为 1 =1, 2 =, 3 = ， 所以 1 = 1, 2 = = , 3 = = ， 从而 a = b， b即为所求。 4）因为的行列式因子为 1 =1, 2 =, 3 = , 4 = ， 所以 1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ， 从而 a = b， b即为所求。 5）对矩阵作初等变换,有 a = b， b即为所求。 6）对矩阵作初等变换,有 a ， 在最后一个行列

2、式中 3 =1, 4 =, 5 = ， 所以 1 =2 =3 =1, 4 = =, 5 = =。 故所求标准形为 b = 。 2.求下列矩阵的不变因子: 1） 2） 3） 4） 5） 解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为 1 =1, 2 =1, 3 = ， 故该矩阵的不变因子为 1 =2 =1, 3 =。 2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为 3 =2 =1 =1, 4 =， 故矩阵的不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 =。 3）当时,有 4 = = ， 且在矩阵中有一个三阶子式 = ， 于是由 ,3 = 1， 可得 3 = 1， 故该矩阵的不

3、变因子为 1 =2 =3 =1, 4 = 。 当时,由 1 =1, 2 =1, 3 = , 4 = ， 从而 1 =2 =1, 3 = , 4 = = 。 4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为 1 =1, 2 =1, 3 =1, 4 = ， 从而所求不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 = 。 5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式 因子为 3 =1, 4 = ， 故所求不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 = 。 3.证明: 的不变因子是 ， 其中= 。 证 因为 n = ， 按最后一列展开此行列式，得 n = ， = ， 因为矩阵左下角的阶子式

4、= ,所以= 1,从而 1 =2 = = = 1， 故所给矩阵的不变因子为 1 =2 = = = 1， = = ， 即证。 4. 设a是数域p上一个阶矩阵, 证明a与相似。 证 设 a = ， 则 = ， 因为a与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子,所以只需证明与 有相同的不变因子即可。 注意到与对应的级子式互为转置, 因而对应的级子式相等, 故 与 有相同的各级行列式因子, 从而有相同的不变因子, 即证a与相似。 5. 设 a = 求。 解 因为 = ， 所以 = = = = = 。 6. 求下列复系数矩阵的若尔当标准形: 1） 2） 3） 4） 5） 6) 7) 8) 9) 10)

5、11) 12) 13) 14) 解 1）设原矩阵为a ,则 = ， 于是a的初等因子是 , , ， 故a的若尔当标准形为 = 。 2）设原矩阵为a ,则 = ， 于是a的初等因子是 , ， 故a的若尔当标准形为 = 。 3) 设原矩阵为a ,则 = ， 于是a的初等因子是, ,故a的若尔当标准形为 = 。 4) 设原矩阵为a ,则 = ， 于是a的初等因子是，故a的若尔当标准形为 = 。 5) 设原矩阵为a ,则 = ， 于是a的初等因子是, , , 从而a的若尔当标准形为 = 。 6) 设原矩阵为a ,则 = ， 于是a的初等因子是, , , 从而a的若尔当标准形为 = 。 7) 设原矩阵为

6、a ,则 = ， 于是a的初等因子是, ,故a的若尔当标准形为 = 。 8) 设原矩阵为a ,则 = ， 于是a的初等因子是, 故a的若尔当标准形为 = 。 9) 设原矩阵为a ,则 = ， 于是a的初等因子是, ,故a的若尔当标准形为 = 。 10) 设原矩阵为a ,则 = ， 设 =, 则由“卡当”公式可解得 其中. 于是a的初等因子是, , ,故a的若尔当标准形为 = 。 11) 设原矩阵为a ,则 = ， 于是a的初等因子是,故 a的若尔当标准形为 = 。 12) 设原矩阵为a ,则 = ， 因为三阶子式无公共非零因式,所以的行列式因子为 3 =1, 4 = ， 于是 4 = , 3

7、=2 =1 =1， 因此a的初等因子是,故 a的若尔当标准形为 = 。 13) 设原矩阵为a ,则 = ， 所以a的初等因子是, , , ,故 a的若尔当标准形为 = 。 14) 设原矩阵为a ,则 = ， 于是有一个阶子式 = ， 所以的行列式因子为 1 =2 = = = 1， = = =， 其中1, ,是个次单位根, 所以a的初等因子为 , , , ， 故 a的若尔当标准形为 =。 注 上述矩阵的若尔当标准形也可用波尔曼公式求得,留给读者作为 练习。 7. 把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵,试写出它们的有理标准 形。 解 1)已知a = ,且 = ， 所以a的有理标准形为 = 。 2)已

8、知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , ， 故a的有理标准形为 = 。 3)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , , ， 故a的有理标准形为 = 。 4)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , ， 故a的有理标准形为 = 。 5)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , ， 故a的有理标准形为 = 。 6)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , , ， 故a的有理标准形为 = 。 7)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , , ， 故a的有理标准形为 = 。 8)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , ， 故a的

9、有理标准形为 = 。 9)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , ， 故a的有理标准形为 = 。 10)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , ， 故a的有理标准形为 = 。 11)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 , ， 故a的有理标准形为 =。 12)已知 a = ，且 = ， 因为4 = ,3 =(三阶子式的公因式是零次多项式),所以a的不变因子 为 , ， 故a的有理标准形为 =。 13)已知 a = ,且 = ， 所以a的不变因子为 ， ， 故a的有理标准形为 =。 14)已知 a = ,且 = = ， 又因为 ， 所以。这意味着a的不变因子为 , ， 故a的有理标准形为 = 。 二. 补充题参考解答 1. a是维线性空间上v的线性变换。 1) 若a在v的某基下的矩阵a是某多项式的伴侣阵, 则a的最小多项式 是； 2)设a的最高次的不变因子是, 则a