第二章 误差分析与数据处理

1、黏度,冶金生产和科学试验中，测得的数据只能达到一定程度的准确性。但对准确性的要求在不同情况下则有所不同，既不能盲目追求过高造成人力和物力的浪费，也不能过低而造成测得数据没有价值，所以对准确性的要求必须适当。进行试验时，首先了解试验所能达到的精度和产生误差的主要因素，以及试验以后科学地分析和处理数据的误差，这对试验水平的提高有一定的指导作用。,第二章 误差分析与数据处理,误差分析与数据处理,黏度,通过了解误差的种类、起因和性质可以抓住提高准确度的关键，通过误差分析可以寻来较合适的试验方法和选择合适的仪器设备。,误差分析与数据处理,第二章 误差分析与数据处理,黏度,(1)代表值 代表值一般用平均值

2、表示。平均值有算术平均值、均方根平均值、几何平均值等，在冶金试验中常用算术平均值作为代表值。 设x1，x2，.，xn 代表各次观测值，n代表观测次数，则算术平均值 的计算式：,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 代表值,第二章 误差分析与数据处理,（2-1）,黏度,(2)误差及误差分类 对于数值集合分布性质特征，常用离散度表示，它是说明以平均值为中心，数值是怎样分布的。如图1，当分布曲线形成幅度很窄的陡峭尖峰时（曲线a），表示大部分数值都集中在平均值附近，则离散度小；相反，曲线形成平缓的突起时（曲线b），表示数值分布在较宽的范围内，离散度大。,第三章 科技论文写作,误差分析与数

3、据处理 误差分析 误差,第二章 误差分析与数据处理,图1 数值分布图,黏度,对离散度的表示方法，一般用偏差表示，指观测值与平均值之差，通常所说的误差是指观测值与真值（观测次数无限多时求得的平均值）之差。习惯上常将二者混用而不加区别。,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差,第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 系统误差,误差有不同的分类方法，就其性质和产主的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。 1）系统误差（恒定误差） 产生原因： 仪表未经校正 测量方法不当 化学试剂纯度不够 观测者的习惯与偏见等而产生,

4、第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 系统误差,特点： 恒偏于一方 数值的大小按一定规律变化或者固定不变 它决定了测量结果的准确性 消除（使之减小）办法： 采用不同的实验技术或不同的实验方法 改变试验条件 调换仪器和试验人员 提高化学试剂纯度,第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 偶然误差,2）偶然误差（随机误差） 产生原因：某些无法控制的偶然因素影 响的结果； 测量仪器灵敏度的有限性； 温度、压力等无法控制的微 小变化。 产生的原因一般不详，因而无法控制，但用同一仪器在同样条件下，

5、对一个量做多次测量，若观测次数足够多，则可发现偶然误差完全服从统计规律，如图2所示。,第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 偶然误差,第二章 误差分析与数据处理,图2 误差正态分布图,图2所示曲线称为误差的正态分布曲线，曲线的函数形式为：,或,式中h称为精密度指数, 为标准误差。h与的关系式为：,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 偶然误差,由图2可以看出： 1）误差小的比误差大的出现几率大 2）大小相同，符号相反的正、负误 差出现的几率近于相等 故误差出现的几率与误差大小有关， 当没有系统误差时，无限多次测

6、量结 果的平均值可以代表真值. 若标准误差为,则 误差在内出现的几率为68.3%； 2内出现的几率为95.5%； 3出现的几率为99.7%。,第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 偶然误差,可见误差超过 3出现的几率只有认0.3%，因此多次重复测量中个别数据误差的绝对值大于3时，这个数值可以舍弃。,第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 过失误差,3）过失误差 是一种与实事不相符的误差，主要是由于粗枝大叶和操作不正确等原因所引起，如读错刻度、记录错误、计算错误等。此类误差无规律可寻，只

7、要多加注意、细心操作就可避免。,第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 误差表示与计算,误差的大小一般用绝对误差和相对误差来表示。 绝对误差与被观测对象的大小无关，以x表示； 相对误差与被观测对象的大小有关，以x%表示。 绝对误差有平均误差、标准误差与方差。,第二章 误差分析与数据处理,黏度,1）平均误差（） 平均误差是测量值xi与平均值 之偏差的平均值，n为测量次数，则计算式为：,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 误差表示与计算,第二章 误差分析与数据处理,（2-2）,黏度,2)标准误差（）(贝塞尔公式(Bess

8、el) 为消除平均误差的缺点，而将偏差给予平方，这样较大的误差会更显著地反映出来，就能更好地表示出数据的离散程度。故标准误差是表示精密度的好方法。在近代科学试验中多采用标准误差，其计算式为：,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 误差表示与计算,第二章 误差分析与数据处理,（2-3）,黏度,3)或然误差（P） 在一组测量数据中若不计正、负号，误差大于或小于P的测量值将各占测量次数的50%，误差落在+P与-P之间的测量次数占总测量次数的一半。也就是说，如果再做一次测量，应有50的几率其偏差小于或然误差P。P的计算式为：,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误

9、 差 误差表示与计算,第二章 误差分析与数据处理,（2-4）,黏度,4)相对误差 以上三种均为绝对误差，为建立绝对误差与被测对象大小的关系而引入了相对误差，其定义式为：,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 误差表示与计算,第二章 误差分析与数据处理,（2-5）,（2-6）,黏度,测量结果的精密度可表示为 (或 ），（或）越小，表示测量的精密度越高。有时也用相对误差表示精密度 （或 ）。 不论用绝对误差还是用相对误差来表示，其误差一般只取一位有效数字，最多不超过两位。,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误 差 误差表示与计算,第二章 误差分析与数据处理,

10、黏度,精密度指在测量中数据重复性的好坏。 准确度指所测数据与真值的复合程度。 在一组测量数据中，尽管精度很高，但准确度不一定很好，若准确度好，其精密度一定高。,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 精密据与准确度,第二章 误差分析与数据处理,黏度,在一组试验数据中，有时发现某一观测值与其余观测值相差很大，如果保留这一观测值，则对平均值有很大影响。如果有充足的理由确认此值是由于某种原因引起，则可以舍弃；若没有充足的理由，绝不能单纯为获得试验结果的一致性而随意舍弃。此时可根据误差理论来决定取舍。通常，判断过失误差的准则可以通过以下三种。,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差

11、分析 可疑观测值的舍弃,第二章 误差分析与数据处理,黏度,1）拉依达3准则 当观测次数大于10次，可用3准则舍弃可疑值，其依据如图2所示。图中误差超过3的数据的几率小于0.3%，所以在一组较多的数据中，对偏差大于3的数据可以舍弃。 具体步骤是：首先算出一组数据的算术平均值和标准误差，然后比较 是否大于3，若大于3即可舍弃，舍弃可疑值后再重新计算 和标准误差。,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 可疑观测值的舍弃 拉依达3准则,第二章 误差分析与数据处理,黏度,（2）乔文涅法则 在一组数据中，某数据与该组数据算术平均值的偏差大于该组数据或然误差的k倍时，可以舍弃。K值如表1所示。

12、,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 可疑观测值的舍弃 乔文涅法则,第二章 误差分析与数据处理,表1 含弃可疑数据的K值表,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 可疑观测值的舍弃 乔文涅法则,第二章 误差分析与数据处理,例题1测定某矿中Fe2O3的重量百分含 量列于表2，其中最后一个数值较其它值相 差较大，问是否可以舍弃? 表2 Fe2O3含量表(重量),黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 可疑观测值的舍弃 乔文涅法则,第二章 误差分析与数据处理,因测定次数为6，故采用乔文涅法则进行评 估。 同理可得,黏度,第三章 科技论文写作,误差分

13、析与数据处理 误差分析 可疑观测值的舍弃 乔文涅法则,第二章 误差分析与数据处理,由于n=6,查表1-1知k=2.57，则 PK=0.19 因为 所以第六个观测值50.55可以舍弃。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 可疑观测值的舍弃 罗曼诺夫斯基准则,第二章 误差分析与数据处理,（3）罗曼诺夫斯基准则 当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判断过失误差较为合理。罗曼诺夫斯基准则又称t检验准则，其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否有过失误差。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 可疑观测值的舍弃 罗曼诺夫斯基

14、准则,第二章 误差分析与数据处理,设对某量作多次等精度独立测量，得 x1,x2,xn 若认为测量值xj为可疑数据，将其剔除后计 算平均值为（计算时不包括xj ）,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 可疑观测值的舍弃 罗曼诺夫斯基准则,第二章 误差分析与数据处理,并求得测量列的标准误差（计算时不包括 ） 根据测量次数n和选取的显著度a ，即可由表 查得t分布的检验系数K（n,a)。若 ，则认为测量值xj含有过失误差，剔除xj是正 确的。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误差的传递,第二章 误差分析与数据处理,冶金试验中有些物理

15、量可直接测得，有 时要利用测量的物理量代入某函数关系式， 通过运算而得到所需要的结果，这称为间接 测量。 例如，某金属氧化反应的自由能用下式 计算： 式中温度T和氧的分压 是直接测量 值，而G是用已测得的T和 的值代入上 述函数关系式求得。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误差的传递,第二章 误差分析与数据处理,这样，每个直接测量的准确度都会影响最后结果的准确性。由此可以查明直接测量的误差对函数误差的影响情况，从而找出影响函数误差的主要来源，以便选择适当的实验方法和合理配置仪器，以寻求测量的有利条件，因此研究误差的传递是鉴定试验质量的重要依据。,

16、黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误差的传递,第二章 误差分析与数据处理,（1) 平均误差与相对平均误差的传递 设有函数 N由u1,u2,un各直接测量值所决定。 若已知测定u1,u2,un时的平均误差分别为du1,du2, dun，且足够小，则可得N的平均误差及相对平均误差的公式为：,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误差的传递,第二章 误差分析与数据处理,表3 常见函数平均误差计算公式,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误差的传递,第二章 误差分析与数据

17、处理,例2 以溶剂的凝固点降低测分子量时，分子 量(M)以下式计算,式中, WB=0.3克(溶质重)，用平均误差dWB=0.0002 克的分析天平称量；WA=20克(溶剂重)，用平均误差 dWA=0.05克的粗天平称量；T0为溶剂的凝固点，T为溶 液的凝固点，均用准确度为0.002的贝克曼温度计各 测量三次，其值分别为：T0 (5.801，5.790， 5.802)，T(5.500，5.504，5.495)；Kf为溶 剂凝固点降低常数。 Q: 由上述提供的直接测量数据计算出的分子量(M)，其最大相对误差是多少?,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误

18、差的传递,第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误差的传递,第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误差的传递,第二章 误差分析与数据处理,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误差的传递,第二章 误差分析与数据处理,结果表明，测定分子量的最大相对误差为 3%。通过上述计算可知，本实验误差主要来自 温度差的测量，提高实验准确度的关键在于测 温，因此必须采用精密温度计，而称量的精密 度已符合要求，继续过分要求称量的精密

19、度是 不适宜的。使用粗天平称量溶剂其误差比测温 所产生的误差小一个数量级，所以用粗天平符 合要求。 由此可以看出，若试验前先计算各个观测 值的误差及其对最终结果的影响，可以指导选 择正确的实验方法和仪器设备，并能有意识的 抓住测量的关键而得到质量较高的结果。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 误差分析 误差的传递 间接测量中误差的传递,第二章 误差分析与数据处理,（2)标准误差的传递 同理可得标准误差的传递公式，表4为 常见函数标准误差计算公式。 表4 常见函数标准误差计算公式,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法,第二章 误差分析与数据处理,试验数

20、据的表示方法有列表法、作图法、 方程式法三种。这三种方法各有优缺点。一 组数据，不一定同时都需要用这三种方法表 示，究竟用哪一种方法，视需要和问题的性 质而定。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 列表法,第二章 误差分析与数据处理,1、列表法 列表法是将试验数据中的自变量与因变 量的各个数值依一定的形式和顺序对应列出 来。 优点：简单易作、形式紧凑、数据清 楚、便于参考比较，同一表内可以同时表示 几个变量间的变化而不混乱。 列表时一般包括表的序号、名称、项 目、说明及数据来源等。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 列表法,第二

21、章 误差分析与数据处理,注意事项： 表的序号、名称及说明 应按其先后顺序排出序号，并写出简明扼要的名称，一看就知其内容。如果过简不足说明原意时，可在名称下方或表的下方附以说明。表内数据要注明来源。 项目 表中每一行和每一列的第一栏要详细写出名称及单位，并尽量用符号代表，表内主项一般代表自变量，付项代表因变量。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 列表法,第二章 误差分析与数据处理,数据书写规则 数据为零时记为“0”，数据空缺记为“-”。 同一竖行的数值，小数点要上下对齐。 当数值过大或过小时，应用指数表示。 表内所有数值，有效数字位数应取舍适当，要与试验的准确度

22、相对应。 必要时要进行数值分度。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 作图法,第二章 误差分析与数据处理,2、作图法 利用图形表达试验结果，实际上就是用 形象来表达科学的语言。 优点：能清楚地显示研究结果的变化规 律和特点，如极大值、极小值、转折点、周 期性、数量的变化速率以及其他奇异性等； 形式简明直观便于比较；如果曲线作得足够 光滑，可对变数做微分和积分，有时还可利 用图形外推求得难以用试验获得的值，用途 极为广泛。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 作图法,第二章 误差分析与数据处理,作图法的用途： (1) 求内插值 (2

23、) 求外推值 (3) 作切线求函数的微商 (4) 求经验方程 (5) 求转折点和极值,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 作图法,第二章 误差分析与数据处理,作图的步骤及原则： (1) 坐标系的选择 (2) 坐标轴的分度 (3) 坐标轴的标记 (4) 根据数据描点 (5) 联曲线 (6) 写图名,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 作图法,第二章 误差分析与数据处理,坐标轴的分度系指规定坐标轴每一小格所代表的 数值，分度应遵循下列原则： 使用直角坐标作图时，习惯上以自变量为横轴， 因变量为纵轴。分度的选择应使每一点都能够迅速方 便

24、地找到。为使用方便和便于计算，坐标轴每一小格 所对应的数值最好为 l、2、5，忌用3、7、9,图4 坐标分度图,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 作图法,第二章 误差分析与数据处理,坐标分度值不一定从0起。在一组数据中，自变 量和因变量均有最低值和最高值。分度时，在最小分 度不超过试验准确度的情况下，可用低于最低值的某 一整数作起点，高于最高值的某一整数作终点，以使 作出的图形能占满全幅并稍有余地，且能够明显地表 达其变化规律。,图5 坐标分度图,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 作图法,第二章 误差分析与数据处理,直线是最易

25、作的图，用起来也最方便。 对函数y=f(x)，有时呈直线关系，但在很多 情况下不呈直线关系，欲要变成直线关系， 可用取对数、倒数等方法。,表5 曲线函数变为直线函数的变换方式,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 作图法,第二章 误差分析与数据处理,分度的选择应该使作出的图形(直线或 近于直线的曲线)尽可能有近于1的斜率。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 作图法,第二章 误差分析与数据处理,当数据不够充足，图上点数过少，不足确 定自变量和因变量间的对应关系时，最好将 各点间用直线连接构成折线图。当数据点较 多、完全有可能做出光滑连续曲线时，应遵 循以下原则： 尽可能用绘图软件自带的方程拟合， 作出的曲线一般应光滑均匀、细而清晰、只 具少数转折点。 曲线应尽量与所有的点相接近，不必 通过图上各点及端点，但各点在曲线两旁的 分布，在数量上应近于相等。 曲线一般不应有含混不清的不连续点 或其他奇异点。,黏度,第三章 科技论文写作,误差分析与数据处理 试验数据的表示方法 方程式法,第二章 误差分析与数据处理,3、方程式法 用数学经验方程式表达试验结果时，不但方式简单，而且进一步