自动控制理论 邹伯敏 第三版 第二章

1、第二章 线性控制系统的数学模型,制作人 邱国跃,封面,控制系统的时域数学模型,在控制系统的分析与设计中，首先要建立系统的数学模型。,一.控制系统的数学模型：,描述系统内部各物理量（或变量）之间相互关系的数学表达式。,常用的数学模型,静态模型,动态模型,在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间相互关系的数学方程。,在动态过程中，描述各变量之间相互关系的数学方程。,数学模型的建立方法,分析法（解析法）,实验法,建立数学模型的目的：,为了分析系统的性能 。,求取性能指标的主要途径,数学模型的图形表示：,结构图,信号流图,描述系统运动的数学模型,状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式

2、,建立系统数学模型的方法,实验法 解析法,输入输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图 等其它模型均由它而导出,用解析法建立系统微分方程的一般步骤,根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式,确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式,第一节 线性连续系统微分方程的建立一、线性元件单元的微分方程,图示电路是由三个理想电路元件组成的简单电网络单元，试列写该网络在输入量 作用下输出量 的微分方程。,代入 得到,图为弹簧、质量、阻尼器机械平移运动单元，试写出在作用力F(t)作用下质量m的位移方程。,解 弹簧元件对m产生的阻力与

3、弹性变形成正比；粘性阻尼器对m产生的阻力与运动速度成正比。 作用在m上的合力满足牛顿第二运动定律，即,图中L、R分别为电枢回路的总电感和总电阻。假设励磁电流恒定不变，试建立在 作用下电动机转轴的运动方程。,解:,联立求解得到,一般地，设控制系统有如下的微分方程表达式,零初始条件下的拉氏变换为,传递函数为,将系统输出量对于输入量的微分方程在零初始条件下取拉氏变换，变换后的输出量象函数与输入量象函数之比定义为控制系统的传递函数。,-p1、- p2.- pn为D（s）的n个根，并称它们为F（s）的极点。由于a1、a2、都是实数，故D(s)所有复根都成共轭对出现。,当D（s）=0没有重根时，上式可展开

4、为,An待定系数，称为F（s）在极点pi处的留数,当D(s)=0有r个重根p1时，必然还有n-r个非重根,第二节 传递函数 一、典型环节的传递函数,1比例环节,2 积分环节,3微分环节,4一阶惯性环节,5二阶环节,6延迟环节,传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。,图 速度控制系统,ui,R1,SM,TG,k1,k2,功,放,u2,u1,ua,m,ut,c,R2,R1,R1,R,+,具有负反馈的速度给定控制系统原理图,传递函数与结构图,(s),R(s),C(c),R(s)(s)=C(s),绘制双T网络结构图1,R1

5、,R2,C1,C2,ur(t),uc(t),I(s),I1(s),I2(s) = I(s) I1(s),I1(s) = Uc(s)+I2(s)R2SC1,Ur(s),Uc(s),I1(s),I (s),I2(s),I2(s),绘制双T网络结构图2,I(s) = I1(s)+ I2(s),这是不行的,I2(s),图1图2比较,题1,绘制动态结构图,输出,输入,扰动,传递函数的性质,传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次m，即nm 传递函数不能反

6、映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性,R1,R2,Ur(s),Uc(s),I1(s),I2(s),U1(s),补充习题,绘制图示电路的结构图,习题,+,30k,20k,10k,10k,10k,10k,ui,ua,uo,ut,u2,u1,位置随动系统原理图,习题 方块图,K0=30v/330o=1/11(伏/度)=5.21(伏/弧度),K1=3 k2=2,=1+Rf/Ri=1+20/10=3,ua,ut,u2,u1,uo,ui,二、传递函数的简化,原则：等效变换,结构图三种基本形式,串 联,并

7、联,反 馈,基本形式,G2,1,结构图等效变换方法,G1,G2,G3,H1,错！,无用功,G2,向同类移动,综合点移动,G1,引出点移动,G1,G2,G3,G4,H3,H2,H1,a,b,请你写出结果,行吗？,作用分解,信号流图的术语和性质,1）节点代表系统中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和。 2）支路信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点 3）输入节点或源点相当于自变量，它只有输出 支路。 4）输出节点或阱点它是只有输入支路的节点，对应于因变。 5）通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路 开通路通路与任一节点相交不多于一次 闭通路通路的终点也是通路的起点，并且与

8、任何其它节点相交 不多于一次 6）前向通路从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路 7）回路就是闭环通路 8）不接触回路批一些回路间没有任何公共节点 9）前向通路增益在前向通路中多支路增益的乘积。 10）回路增益回路中多支路增益的乘积。,（1） 信号流图的定义,它是表示控制系统各变量间相互关系、以及信号流通过程的另一种图示。,（2） 信号流图的结构,信号流图,是一种表达线性代数方程组结构的信号传递网络 。,节点标志系统的变量（信号），在图中用小圆圈表示；,支路是连接两个节点的定向线段，它有一定的增益（包括传递函数），称为支路增益，在图中应标记在相应的线段

9、旁。,注、信号只能在支路上沿箭头方向传递，经支路传递的信号应乘以支路增益。,（3） 信号流图的术语,输入节点 （源点）,输入节点（源点）,输出节点 （阱点）,源节点（或输入节点）：只有输出支路，而没有输入支路的节点。 源节点一般表示系统的输入量，X1 、X5就是输入节点。,阱节点（或输出节点）：只有输入支路，而没有输出支路的节点。 阱节点一般表示系统的输出量， X4就是输出节点。,混节点：即有输入支路又有输出支路的节点。如，X2、X3节点均为混节点,回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过任意节点不多于一次的闭合通路,前向通道:信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通

10、路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通道总增益，一般用Pk表示,描述四个变量的一组线性代数方程为：,图为有四个节点和六条支路的典型信号流图。,（4） 信号流图的优点：,求系统的传递函数时，不必进行预先的等效简化，而应用计算公式即可得到传递函数。这对复杂系统来说比方框图更为方便。,注意、某个节点变量表示所有流向该节点的信号之和,(5) 信号流图的基本性质,节点标志系统的变量。,信号在支路上沿箭头单向传递。,支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。,对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。,某个节点变量表示所有流向该节点的信号之和,后一节点变量

11、依赖于前一节点变量，而没有相反的关系，即只有“前因后果”的因果关系,1）由系统微分方程绘制信号流图步骤,（6） 信号流图的绘制,首先应通过拉氏变换，把微分方程变换为s的代数方程；,然后，对系统的每个变量指定一个节点，按照实际系统中变量的因果关系从左到右顺序排列；,最后，根据代数方程。用表明支路增益的支路将各节点连接起来，便可得完整的信号流图。,2)由系统结构绘制信号流图步骤,首先把结构图中的输入量取为源节点，输出量取为阱节点；,其次用小圆圈在结构图的信号线上标志出传递的信号，便是节点。,最后用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路。,注.由于信号流图的节点只表示变量的相加，因此结构图

12、中负反馈通路的传递函数在信号图中要用负支路增益来表示。,例.,例. 试绘制如图所示系统结构图对应的信号流图。,R(s),C(s),e,e1,e2,Pk从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数,梅逊公式介绍 R-C,:,=,其中:,所有单独回路增益之和,LA,LBLC,LDLELF,k求法:,- LA,+ LBLC,-LDLELF+,1,k=1-La+ LbLc- LdLeLf+,所有两两互不接触回路增益乘积之和,所有三个互不接触回路增益乘积之和,梅逊公式例R-C,L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 ),L1= G1H1,L2= G2H2,L3= G1G2H3,G1(s),G3(s),H1(s),G2(s),H3(s),H2(s),E(S),C(s)=,1,G3G2,+G1G2,+ G2,R(s) ,N(s),梅逊公式求C(s),(1-G1H1),+ G2H2,+ G1G2H3,- G1H1G2 H2,- G1H1,（1-G1H1）,P1=1,1=1+G2H2,P11= ?,E(s)=,(G2H3),R(s) ,N(s),(1+G2H2),(- G3G2H3),+,+,P2= - G3G2H3,2= 1