自动控制原理(11J-10)

1、1,3.5 自动控制系统的代数稳定判据,本节主要内容：,系统稳定的概念 系统稳定的充分必要条件 稳定性的判定方法 稳定判据的应用,2,稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。,定性描述：稳定性是系统恢复原平衡状态的能力,是系统自身的固有属性，它只与系统自身的结构、参数有关（与输入无关）。,系统处于平衡状态下，受到外界扰动作用后会偏离平衡状态（偏差）。如果该扰动消除后，系统在有限时间内能自动恢复到原平衡状态，则系统具有恢复原平衡状态的能力，这个系统是稳定系统；否则系统是不稳定。（图例）,系统稳定性定义(BIBO)： 在有界输入作用下，若动态系统输出响应也有界，则系统为稳定系统。,3.5

2、1 系统稳定性的概念,稳定性是控制理论中的一项重要研究内容。,3,3.52 线性定常系统稳定的充要条件 从系统的微分方程入手，可以确定系统稳定的充分必要条件。 设线性定常系统微分方程为：,系统传递函数为：,4,q 实数极点的个数 r 复共轭极点的对数 系统阶次: n = q + 2r,5,系统总响应 通解特解,通解取决于系统的固有特性自然响应 取决于系统的特征根（极点）系统的结构及参数,特解取决于系统的输入强迫响应（控制作用）,通解的一般形式：,6,为了使系统只受输入信号的控制，希望通解很快消失 是暂态响应。 为此，令：,线性定常系统稳定的充分必要条件为： 系统特征方程的所有根（即闭环传递函数

3、的所有极点）均具有负的实部。（或特征方程的所有根均在S平面的左半部）。,7,根据充要条件，如果能将系统所有的极点求出，则可立即判断系统稳定性。但是对于高阶系统，系统极点是不易求出的。劳斯 、霍尔维茨研究了线性系统稳定性判定方法，提出了代数稳定判据。 1. 劳斯 (Routh) 稳定判据 2. 霍尔维茨 (Hurwitz) 稳定判据 3. 谢绪恺稳定判据,3.53 系统稳定性判定方法 代数稳定判据,8,劳斯判据是基于代数方程式的根pi与系数ai关 系而建立的线性系统稳定性判据。,劳斯 (Routh) 判据,设n阶系统的特征方程为： D(s) = a0sn+a1sn-1+an-1s+an = (s

4、-p1)(s-p2)(s-pn) = 0,9,要保证特征方程的全部特征根都具有负实部，必须满足： （1）特征方程的各项系数 ai 均不为零。(不能缺项) （2）特征方程的各项系数的符号必须相同。(全为正号) 由此得：,系统稳定的必要条件是特征方程的各项系数 ai 均大于零（也不能缺项）。,（如何应用？）,10,sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 s2 f1 f2 s1 g1 s0 h1,其中：,稳定的充分必要条件： 特征方程的各项系数 ai 均大于零，并且劳斯表中第一列的所有元素均大于零。,在此基础

5、上，劳斯建立了判定系统稳定的充分必要条件。 将特征方程的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)。,总行数应为n+1,11,注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止； 总行数应为n+1; 如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an； 可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。,sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 s2 f1 f2 s1 g1 s0 h1,劳斯判据： 劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。 如果第一列中出现小于或等于零的数，则系统不稳定。 而且第

6、一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数目。,12,关于劳思判据的几点说明,如果第一列元素中出现一个负值，则系统不稳定； 第一列元素符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数; 如果第一列中有元素等于零，或某一行值全为零,也说明系统不稳定。此时要特殊处理才可确定不稳定根。,13,例1 三阶系统稳定性分析。已知三阶系统特征方程为：,可以证明：二阶系统稳定的充要条件为：各项系数均大于零。,结论： 三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零， 并且满足： a1a2a0a3 。,劳斯阵列为：,14,例2 系统特征方程为 S42S33S24S5=0 试用劳斯判据 判别系统是

7、否稳定；若不稳定，确定正实 部根的数目。,因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。,解 根据特征方程系数计算劳斯表,15,例2验证 p=1,2,3,4,5; r=roots(p) r = 0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i 结果：有两个正实部的根。,16,例3 某系统特征方程为： S43S33S22S2=O 试用劳斯判据判断系统的稳定性。,因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。,解 根据特征方程系数

8、计算劳斯表,17,例3验证 p=1,3,3,2,2; r=roots(p) r = -1.5661 + 0.4588i -1.5661 - 0.4588i 0.0661 + 0.8641i 0.0661 - 0.8641i 结果：有两个正实部的根。,18,例 4 系统特征方程：,验证： p=1,-4,1,6; r=roots(p) r = 3.0000 2.0000 -1.0000 结果： 有两个正实部的根。,劳斯表中第一列元素符号改变 两次，系统有2个右半平面的根。,它有一个系数为负的，故系统不稳定。但究竟有几个正 实部根，可用列劳斯表判定：,19,(不稳定) 特殊情况一 劳斯表某一行的第一

9、个元素为零，而其他各项不为零。此时 系统不稳定,但特征方程有几个正实部根需要进一步分析确定。 这时可用一个足够小的正数 取代为零的项，然后继续计 算劳斯表余下系数，完成劳斯判据。,例5 系统的特征方程为 S4+3S3+S2+3S1=0, 试判别系统 的稳定性。,因是非常小的正数, 第四行符号变为负， 系统不稳定；,解:,列劳斯表.,由于符号变化两次,所以特征方 程有两个正实部根。,20,例5验证 p=1,3,1,3,1; r=roots(p) r = -2.9656 0.1514 + 0.9885i 0.1514 - 0.9885i -0.3372 结果：有两个正实部的根。,21,（不稳定）特

10、殊情况二： 计算劳斯表时, 若某一行各项全为零，则此系统不稳定的。 这表明特征方程具有对称于原点的根（共轭虚根或符号相反的实 根）。,那些对称于原点的根可由辅助多项式等于零所构成的辅助方程求得：,这时可将全为零行的前一行 (即不为零的最后一行)的各 项构成一个辅助多项式，再对辅助多项式求导，用所得方程 的系数代替全部为零行的各项。进一步计算余下各行，即可求得对称于原点的根。,22,例6 系统特征方程为 S5S4十3s3十3s22S2=0， 试判别系统的稳定性。,构成辅助方程： Q（s）=S43S22=0 求导后得: 4S3十 6S=0 用其系数取代全为零的行，继续计算余下各行。,由于劳斯表第一

11、列元素未改变符号，所以系统没有位于S右半平面的根. 但此时有位于虚轴上的共轭虚根（临界稳定）。,解： 列劳斯表,23,虚轴上根的求取 由辅助方程: S43s22=0 求得: （S21）（S22）= 0 故: S1、2 = j ， S3、4 = j 结论: 此系统有2对纯虚根, 系统是不稳定的.,验证: p=1,1,3,3,2,2; r=roots(p) r = -1.0000 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i,24,3.54 稳定判据的应用,3检验稳定裕量 （相对稳定性）。,2分析系统参数

12、变化对稳定性影响： 利用稳定判据可以研究某个参数变化对系统稳定性的 影响，确定使系统稳定的参数取值范围。,1判别系统的稳定性；,25,例7 设控制系统结构图如图所示，试确定满足稳定要求时K1的 取值范围.,解 系统的闭环传递函数为,特征方称为：,为使系统稳定，必须有 （1）K10,（2）由劳斯表得： a1a2-a0a30, 应使K16,综合考虑，使系统稳定的 K1取值范围应为：0K16,26,应用稳定判据检验稳定裕量,检验系统的稳定裕量，即检验系统的相对稳定性，采用以下方法：,（3）利用代数判据对新的 z特征方程 进行稳定性判别。 如新系统稳定,则说明原系统所有特征根均在新虚轴之左, 原系统具

13、有稳定裕量。否则其稳定裕量小于 。,（2）将s平面的虚轴向左移动某个数值,即令 s = z - (为正实数）,代入系统特征方程, 则得到关于z的特征 方程。,（1）判断原系统是否稳定。只有原系统稳定时,才有检验稳 定裕量的必要。,27,例8 已知系统特征方程为 2S310s213s4=0 ，希望系统稳定裕量 =1，试检验系统是否能达到此稳定裕量。,（3）利用劳斯判据对新特征方程进行稳定性判断。,（2）令：s=z- =z-1, 代入特征方程得： 2z3+4z2-z-1=0,由于所有系数均大于零，且 a1a2-a0a30, 因此系统稳定。,解 （1）首先判别系统是否稳定,问题: 试确定系统的稳定裕

14、量 =?,第一列符号变化一次,系统不稳定。则原系统达不到=1的稳定裕量。,28,例9 结构不稳定系统问题 系统结构图如图所示，试分析参数K1 ，K2 ，K3和T 对系统稳定性的影响。,由于特征方程缺项，不论K1 ，K2 ，K3和T 取何值,系统总是不稳定的，此为结构不稳定系统。,特征方程为:,解: 系统的闭环传递函数,29,要使系统稳定，必须改变系统的结构。如在原系统的 前向通道中引入一比例微分环节，如图所示：,特征方程为:,变结构后系统的闭环传递函数为:,30,列劳斯阵列：,即对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适 当选配参数就可使系统稳定。,系统稳定的充分必要条件为：,31,练习题,设系统的特征方程为：,试用劳思判据确定正实部根的个数。,32,解：,将特征方程系数列成劳斯表,由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用 取代0，作进一步分析。也可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数，这里取a=1。,33,于是得到新的特征方程为：,将特征方程系数列成劳斯表：,结论：系统不稳定。第一列有两次符号变化，故特征