函数零点习题课

1、函数的零点习题课,涡阳一中 王晓东,【知识回顾】 1.函数的零点 (1)概念:函数y=f(x)的零点是函数y=f(x)的图像与横轴的交点的_. (2)意义:f(x)的零点就是方程_.,横坐标,f(x)=0的解,函数零点的求法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点. (2)几何法:与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.,2.零点存在定理 (1)函数y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点的条件: 若y=f(x)的图像在a,b上是_; _0. (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少_零点, 即相应

2、的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少_实数解.,连续曲线,f(a)f(b),有一个,有一个,对定理的四点说明 (1)存在性:“若f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性,并不能判断具体有多少个解. (2)唯一性:若f(a)f(b)0,且y=f(x)在(a,b)内是单调的,那么,方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解.,(3)成立条件的严密性:缺少条件“在a,b上是连续曲 线”则不成立, (4)不可逆性:对函数零点的判断方式反过来不成立.,1.函数f(x)=x2+3x的零点是_. 【解析】令x2+3x=0,解得x=0

3、或x=-3, 所以函数f(x)=x2+3x的零点是0和-3. 答案:0和-3,类型一函数零点的概念及求法,2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为() A.1,3 B.-3,-1,1,3 C.2- ,1,3 D.-2- ,1,3,【解析】当x0时,f(x)=-f(-x)=-(-x)2-(-3x)=-x2-3x, 易求得g(x)的解析式g(x)= 当x2-4x+3=0时,可求得x1=1,x2=3, 当-x2-4x+3=0时,可求得x3=-2- ,x4=-2+ (舍),故 g(x)的零点为1,3,-2- ,构成集合-2-

4、,1,3.,类型二判断函数零点所在的区间 1.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是() A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1),【解析】1.选C.f(x)在区间(1,2)内图像连续不断, 因为f(1)=ln2-20, 所以f(1)f(2)0, 所以函数f(x)的零点在区间(1,2)内.,【变式】根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间是() A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3),【解题指南】根据表中的数据作差(ex-(x+2)判断f(x)的符号. 【解析】选C.由题表可知f(1)=2.72-30,

5、所以f(1)f(2)0,所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.,1.f(x)= ,则它的零点有 个. 【解析】设 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像,如图所示,类型三函数零点个数的判断,则函数y1= 和y2= 的图像仅有一个交点,所以函数f(x)= 有一个零点.,【变式】函数f(x)= +x-4的零点有 个.,【解析】设y1= ,y2=4-x,则f(x)的零点个数为y1= 与y2=4-x的图像的交点个数,作出两函数大致图像,如图:,类型四由函数零点的个数求参数的取值范围 1.已知函数f(x)=|x2-2x|-a. (1)当a=0时,画出函数f(x)的简图. (2)若函数f(x)有4个零

6、点,求a的取值范围.,【解题探究】本例中,函数y=|x2-2x|的图像与函数y=x2-2x的图像有什么关系?函数f(x)有4个零点,可转化成哪两个函数图像公共点个数问题? 提示:函数y=x2-2x的图像x轴下方的部分翻折到x轴上方可得函数y=|x2-2x|的图像,函数f(x)有4个零点,可转化为y=|x2-2x|的图像与直线y=a有4个公共点.,【解析】(1)当a=0时,函数f(x)=|x2-2x|=|x(x-2)|的图像如图所示:,(2)若函数f(x)有4个零点,则方程|x2-2x|=a有4个不等实根,即函数y=|x2-2x|的图像和直线y=a有4个交点,结合(1)中函数的图像可得0a1.,

7、【延伸探究】 将本例条件“4个零点”改为“2个零点”,其他条件不变,求a的取值范围. 【解析】若函数f(x)有2个零点,则方程|x2-2x|=a有2个不等实根,即函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a有2个交点,结合原例(1)图像知a=0或a1.,解决函数零点问题的三种常用方法 (1)直接法:直接解出相应方程，或直接画出函数图像，得到函数的零点. (2)利用零点存在定理:利用f(a)f(b)0并结合函数的单调性,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.,【课堂小结】,(3)转化法:由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐标系下作出y1=g(x)和y2=h(x)的图像,利用图像交点的个数判定方程根的个数，即函数零点的个数. 特别提醒:求函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数时,要注意观察函数f(x),g(x),h(x)的图像哪个易于画出,正确选择解题方法.,已知函数f(x)= 函数g(x