自由粒子的波函数

1、1,量子力学,第一章 II. 波函数及其统计诠释 不确定度关系,2,平面波与傅里叶变换的回顾,只考虑空间(t=t0)，一维情况下平面波为 = Aexp(i kx) 将f(x)用exp(i kx)展开，有 F(k)为f(x)的傅里叶变换 特别地，若 ，有,3,第2讲目录,一、自由粒子的波函数 二、一般粒子的波函数及其物理意义 三、波函数的统计诠释及其性质 四、动量分布概率 五、测不准关系（不确定度关系）,4,自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E和动量 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为 n=E/h，= h /p (1.1-1) 又因为

2、波矢为 ，其中k=2/，因此，自由粒子的 n和k都为常量。由(1.1-1)得到 (1.1-2),一、自由粒子的波函数（1）,5,一、自由粒子的波函数（2）,v和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述 将(1.1-2)代入，得到 (1.1-3) 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即,6,二、一般粒子的波函数及其物理意义(1),当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用 这样简单的函数来描述，但总可以用某个波函数 来描述这个粒子的特性。 问题是，该如何理解波函数所代表的物理意义呢？,7,二、一般粒子的波函数及其物理意义(2)

3、,历史上对粒子波动性的认识有两种误解： (1)波包说，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。 (2)群体说，认为体现粒子波动性的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。,8,二、一般粒子的波函数及其物理意义(3)1、波包,能量和动量的关系为， 利用 得到 这说明随着时间的推移，粒子将无限增大。显然物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。,9,三、一般粒子的波函数及其物理意义(4) 2、群体说,认为粒子的衍射行为是大量粒子

4、相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。,10,二、一般粒子的波函数及其物理意义（5）3、概率波（Born，1926）,粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。,11,12,三、波函数的统计诠释及其性质,表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。 表示点(x,y,z

5、)处的体积元 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。自然引入归一化条件,13,对实际波函数的要求,1、可积性 2、归一化 3、单值性，要求 4、连续性,14,简短的回顾,量子力学的诞生过程； Einstein的光子概念 E=h， p = h /; 德布罗意的物质波思想。微观粒子都具有粒子和波动二重性，即波粒二象性。德布罗意关系： =E/h，= h /p; Born给出了物质波的正确解释：几率波(或概率波）。 问题：宏观物体的波动性?,15,四、动量分布概率（1）,设 ，则 表示粒子出现在点 附件的概率。 设 为粒子的动量，那么粒子具有动量 的概率如何表示？ 平面波的波函数为 任意粒子的波

6、函数可以按此平面波做傅立叶展开,16,四、动量分布概率（2）,其中 可见， 代表 中含有平面波 的成分，因此， 应该代表粒子具有动量 的概率。,17,五、测不准关系(不确定度关系)(1),经典粒子：可以同时具有确定的动量和空间位置，即 和 可以同时成立。 微观粒子： 和 不能同时成立。 例1：设一维自由粒子具有确定的动量 ， 即 ，其相应的波函数为平面波 故 且,18,例2：设一维粒子具有确定的位置 ，即 ，则其波函数为 相应的傅立叶变换为 故 ，即,五、测不准关系(不确定度关系)(2),极限分析：,19,电子可在缝宽 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不确定量就是缝宽 ，电子在 x方向的动量不

7、确定量:,下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题,20,例3：有限长波列,五、测不准关系(不确定度关系)(3),21,严格证明表明，对一般粒子，有 物理意义：粒子的坐标和动量不可能同时被准确测量。或者说，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值。,五、测不准关系(不确定度关系)(4),22,测不准关系是微观粒子波粒二象性所带来的必然结果。这是因为，对波动而言，不能提“空间某一点x的波长”。从而，对微观粒子，只要承认其具有波粒二象性， “微观粒子在空间某一点x的动量”，这样的提法也没有意义。所以，对一个给定点x，动量只能是不确定的，这就是不确定度关系。,五、测不准关系(不确定度关系)(5),23,1927，波尔 互补原理的基本思想：微观粒子同时具有波动性与粒子性，而这两个性质是相互排斥的，不能用一种统一的图像去完整地描述量子现象，但波动性与量子性对于描述量子现象又是缺一不可的，必须把两者结合起来，才能提供对量子现象的完备描述，量子现象必须用这种既互斥又互补的方式来描述。,六、波尔的互补原理（1）,24,波尔的互补原理中