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文档简介

1、,我们只讨论实向量。 向量一般用希腊字母 表示（有时采用黑体）。 行 向量： 列向量： 行向量、列向量统称为向量。,只有一行或一列的矩阵，也可称为向量。 如 的行向量为,A的列向量为 于是， 矩阵有m个n维行向量，同 时有n个m维列向量。,零向量（分量全为零）： n维单位坐标向量：,向量 与 相等 记作,二 n 维向量的线性运算 定义 设 则称 为向量 与 的和,定义 设 为实数，则称 为数 与向量 的乘积 当 时，记 称它为 的负向量,向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算。 运算律： 设 都是n维向量， 都是实数，则 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8),注

2、意：两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。,三 特征值与特征向量的概念 引例 在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中 我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y 恰巧是输入x的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。,例如，对系统 ，若输入 则 若输入 ，则,所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍 数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。,定义 设A是一个n阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n维向量x，使得 则称 是方阵A的特征值，非零向量x称 为A对应于特征值 的特征向量，或简称为A的特征向量。,四 特征值与特征向量的求法 可改写为 这实际上是一个n个未知数n个方程的齐次线性方程组，特征向量可看成是它的一个非零解。而此齐次线性方程组有非零解的充要条件是 ，即 （称为方阵A的特征方程）,上述方程的左端是 的n次多项式，记作 ，称为A的特征多项式。 从A的特征方程中解出的 值就是A的特征值。然后通过求解方程组 就可以求出A的特征向量。,例 求矩阵 的特征值和特征向量。,求特征值和特征向量的一般步骤： （1）由 求出所有特征值 （2）求解齐次线性方程组 （ 为特征值），则所得非零解x必为特征 向量（它是基础解系的线性组合，且为非零向量）,结论： 不同的特征值对应的特征向量

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