范德蒙德行列式――简单明了

1、1.6 行列式按行(列)展开,一、余子式与代数余子式,引例, 考察三阶行列式,在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即,例如,记 Aij = (1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.,引理: 如果一个阶行列式D的第 i 行元素除 aij 外都为零, 那么, 行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij的乘积, 即 D = aij Aij .,行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.,= aij Aij

2、.,证: 当 aij 位于第一行第一列时,又由于 A11=(1)1+1M11=M11,再证一般情形,此时,由上节例3, 即教材中的例10得: D = a11M11 .,从而 D = a11A11, 即结论成立.,把D的第 i 行依次与第 i 1行,第 i 2行, , 第1行交换, 得,把D的第 j 列依次与第 j 1列, 第 j 2列, , 第1列交换, 得,=(1)i+j aij M11,显然, M11恰好是aij在D中的余子式Mij, 即M11=Mij,因此, D = (1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理结论成立.,定理3: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应

3、的代数余子式乘积之和, 即 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n); D = a1iA1i + a2iA2i + + aniAni ( i =1, 2, , n).,证:,二、行列式按行(列)展开法则,D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n).,由引理得:,引理的结论常用如下表达式:,( i =1, 2, , n),解: 按第一行展开, 得,例1: 计算行列式,如果按第二行展开, 得,例2: 计算行列式,解: D,例3: 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证: 用数学归纳法,所

4、以, 当 n=2 时, (1)式成立.,假设对 n-1 阶范德蒙德行列式, (1)式成立.,对 n 阶范德蒙德行列式, 作如下变换, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得,按第一列展开, 并把每列的公因子( xi x1 )提出, 就,有:,n1阶范德蒙德行列式,则根据归纳假设得证:,例4: 计算行列式,解:,推论: 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ; a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j .,证: 把行列式D = det(aij) 按第 j 行展开, 得,把 ajk 换成 aik (k=1, 2, , n ), 当 i j 时, 可得,第 j 行,第 i 行,同理 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j,所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j,关于代数余子式的重要性质,其中,1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,2.,思考题,求第一行各元素的代数