实数指数幂及其运算

1、,同底数幂相乘，底数不变，指数 ，即 同底数幂相除，底数不变，指数 ，即 幂的乘方，底数不变，指数 ，即 积的乘方，等于各因式幂的积，即：,(1)幂的概念:,(2)幂的运算法则:,相加,相减,相乘,思考：,在运算法则中，若去掉mn会怎样？,？,整数指数,规定：,将正整数指数幂推广到整数指数幂,m=n,mn,？,练习:,22=4 (-2)2=4,分数指数,探求n次方根的概念,回顾初中知识,根式是如何定义的？有那些规定？,如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a的平方根.,如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根.,2,-2叫4的平方根.,2叫8的立方根.,-2叫-8的立方根.,23=8,

2、(-2)3=-8,24=16 (-2)4=16,2,-2叫16的4次方根;,2叫32的5次方根;,2叫a的n次方根;,x叫a的n次方根.,xn =a,2n = a,25=32,归纳总结,通过类比方法，可得n次方根的定义.,1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n1,且nN*.,24=16 (-2)4=16,16的4次方根是2.,(-2)5=-32,-32的5次方根是-2.,2是128的7次方根.,27=128,即 如果一个数的n次方等于a (n1，且 nN*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.,概念理解,【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.,(1)25

3、的平方根是_;,(2)27的三次方根是_;,(3)-32的五次方根是_;,(4)16的四次方根是_;,(5)a6的三次方根是_;,(6)0的七次方根是_.,点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n次方等于a.,5,3,-2,2,0,a2,23=8 (-2)3=-8 (-2)5=-32 27=128,8的3次方根是2.,-8的3次方根是-2.,-32的5次方根是-2.,128的7次方根是2.,奇次方根,1.正数的奇次方根是一个正数,2.负数的奇次方根是一个负数.,n次方根的性质,72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81,49的2次方根是7，-7.,81的4次方根是3，-3.

4、,偶次方根,2.负数的偶次方根没有意义,1.正数的偶次方根有两个且互为相反数,26=64 (-2)6=64,64的6次方根是2，-2.,正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零.,n次方根的性质,(1) 奇次方根有以下性质：,(2)偶次方根有以下性质：,正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.,根指数,根式,根式的概念,被开方数,由xn = a 可知，x叫做a的n次方根.,9,-8,归纳总结1,当n是奇数时, 对任意aR都有意义.它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根.,当n是偶数时, 只有当a0有意义,当a0时无意义.,表示a在实数范围

5、内的一个,n次方根,另一个是,归纳总结2,式子 对任意a R都有意义.,结论:an开奇次方根,则有,结论:an开偶次方根,则有,公式1.,n次方根的运算性质,适用范围:,当n为大于1的奇数时, aR.,当n为大于1的偶数时, a0.,公式2.,适用范围:n为大于1的奇数, aR.,公式3.,适用范围:n为大于1的偶数, aR.,= -8;,=10;,例1.求下列各式的值,数学运用, ,【1】下列各式中, 不正确的序号是( ).,练一练,解:,练一练,【2】求下列各式的值.,我们给出正数的正分数指数幂的定义：,(a0,m,nN*,且n1),注意：底数a0这个条件不可少. 若无此条件会引起混乱，例

6、如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果： =-1； =1. 这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.,用语言叙述：正数的 次幂(m,nN*,且n1)等于这个正数的m次幂的n次算术根.,分数指数,负分数指数幂的意义,回忆负整数指数幂的意义： an= ( a0,nN*).,正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，就是： (a0,m,nN*,且n1).,规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.,注意：负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数,负号只是出现在指数上.,有理指数幂的运算性质,我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数. 上述关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s，均有下面的性质：, aras=ar+s (a0,r,sQ)； (ar)s=ars (a0,r,sQ)； (ab)r=ar br (a0,b0,rQ).,说明：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 即当指数的范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然是下述的3条.,练习,思考1:上面，我们将指数的取值范围由整数推广 到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理 指数幂都适用.那么，当指数是无理数时呢？,