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文档简介

1、A,1,（柯西基本定理）若f(z)在单连通域 D 内解析，则,其中 C 为D 内的封闭曲线。,（复合闭路定理）若f(z)在多连通域D内解析，在边界上连续则,复习,A,2,一、 柯西积分公式,定理 .(柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则,A,3,证,由于f (z)在 z0连续, 任给 , 存在 , 当 |z-z0| 时, | f (z)-f (z0)| . 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |z-z0|=R全部在C的内部, 且R .,A,4,例1,解,A,5,例题2,解：,A,6,二、

2、 解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同.,A,7,定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:,其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.,证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即,因此就是要证,A,8,按柯西积分公式有,因此,A,9,现要证当Dz0时I0, 而,f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足 |Dz| d/2,因此,L是C的长度,这就证得了当 Dz0时, I0.,A,10,这就证得了,再利用同样的方法去求极限:,依此类推, 用数学归纳法可以证明:,高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,A,11,例4 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r 1.,解 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的.,A,12,例2 若n为自然数，试证

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