材料力学第二章 轴向拉伸和压缩

1、第二章 轴向拉伸和压缩,本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质,一、工程实际中的轴向拉压杆,2-1 概述,工程上有一些直杆，在外力作用下，主要在轴线方向产生伸长或缩短变形。这类构件称为拉（压）杆。,一、工程实际中的轴向拉压杆,2-1 概述,工程上有一些直杆，在外力作用下，主要在轴线方向产生伸长或缩短变形。这类构件称为拉（压）杆。,外力特点：外力的合力作用线与杆轴线重合. 变形特点：杆沿轴线方向产生伸长或缩短，同时横向产生 缩短或伸长.,二、外力特点与变形特点,2-2 轴力及轴力图,一、轴力计算,求ab杆m-m截面上的内力,取左段杆,截面法,

2、1、截开,左段梁与右段梁求出的,等值、共线，但反向。,符合作用力与反作用力定律.,轴力,2、代替,3、平衡,同样取右段杆，可得：,轴力正负号的规定：,轴力的方向与横截面的外法线方向一致，使杆拉伸为正，反之使得杆压缩为负.,二、轴力图,当杆上受到多个外力作用时，不同截面上的轴力则不同，为了反映不同截面上的轴力，找到危险截面上的轴力，即最大的轴力，通常绘制轴力图来表示轴力沿杆轴线的变化规律。,轴力方程,正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.,2-2 轴力及轴力图,等值杆受力如图所示，试作其轴力图,1、分段求轴力,例题1,2、绘制内力图,等值杆受力如图所示，试作其轴力图,1、分段求轴力,例题1,2、

3、绘制内力图,四要素：,图名、单位、 正负号、数值,2-2 横截面上的正应力,通过作轴力图可以找到拉压杆横截面上最大的轴力，即可能存在的危险截面。,内力相同，2-2截面危险,混泥土梁，底部先破坏,上段内力小，截面小,下段内力大，截面大,哪一段更危险？,1 横截面上各点处产生何种应力（正应力或切应力） 2 应力在横截面上的分布规律 3 各点处应力的数值（计算公式）,因此在求出横截面上的内力后，进行强度计算还需要解决三个方面的问题：,2-2 横截面上的正应力,找变形规律,应力分布规律,研究思路：,试验观察,一、几何方面,综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式,变形现象：,1、纵向线仍保持

4、为直线，且与仍轴线平行， 各纵向线间距离缩短。,2、横向线仍保持为直线，且与仍轴线正交， 各横向线间距离增大。,变形现象,平面假设,变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，各相邻的横截面之间只产生相对的平移。,2-2 横截面上的正应力,找变形规律,应力分布规律,研究思路：,试验观察,一、几何方面,综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式,变形现象,平面假设,变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，各相邻的横截面之间只产生相对的平移。,变形规律,纵向线,原长相同,变形相同,横截面上各点的纵向线应变相等,即：,拉压杆变形几何方程.,反映了截面上各点变形

5、之间的几何关系.,2-2 横截面上的正应力,找变形规律,应力分布规律,研究思路：,试验观察,一、几何方面,综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式,变形现象,平面假设,变形规律,拉压杆变形几何方程.,二、物理方面,变形几何关系,材料的连续性、均匀性假设,横截面上的正应力均匀分布.,即：,找变形规律,应力分布规律,研究思路：,试验观察,一、几何方面,综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式,二、物理方面,横截面上的正应力均匀分布.,横截面上各点的纵向线应变相等,三、静力学方面,此式即为拉压杆横截面上正应力计算公式.,正负号规定：,拉应力为正，压应力为负。,2-2 横截面上的正

6、应力,横截面为正方形的立柱分上下两段，受力如图所示，已知f=50kn，试求最大的工作应力。,1、作立柱轴力图,例题2,2、分段计算正应力,上段内力小，截面小,下段内力大，截面大.,哪一段更危险？,危险截面在下段.,2-3 拉压杆的变形.胡克定律,一、轴向变形.胡克定律,实验证明：当杆所受的外力不超过某一限度时，杆的伸长（缩短）与杆所受的外力、原长成正比，而与横截面面积成反比.,轴向伸长,轴向线应变,即：,引进比例系数：e,此关系是英国科学家胡克于1678年提出的，称为胡克定律.,e ：弹性模量，其值随材料不同而异，由实验测定。它反映材料抵抗变形的能力。,ea ：杆的抗拉（压）刚度，它表示杆抵抗

7、变形的能力。,2-3 拉压杆的变形.胡克定律,一、轴向变形.胡克定律,轴向伸长,轴向线应变,e ：弹性模量, ea ：杆的抗拉（压）刚度.,胡克定律,正应力与线应变的关系：,胡克定律的另一形式.,该式表明：材料在弹性范围内，一点的正应力和线应变成正比，即为线性关系。,2-3 拉压杆的变形.胡克定律,一、轴向变形.胡克定律,胡克定律,轴向线应变,二、横向线应变、泊松比,实验证明：材料在弹性范围内，横向线应变与纵向线应变比值的绝对值为常数。,横向线应变,即：,横向变形系数,由法国的数学家泊松（s.d.poisson）提出，故又称为泊松比，由实验测定。,轴向线应变与横向线应变符号始终相反.,1、轴力

8、图,例题3,2、分段计算轴向变形,如图所示阶梯形直杆，已知ab段横截面面积a1=800mm2，bc段横截面面积a2=240mm2，弹性模量e=200gpa，求杆的总伸长量。,伸长,缩短,3、计算总的轴向变形,缩短,1、求杆内力,例题4,2、计算各杆轴向变形,已知钢杆ab截面直径d1=34mm，e1=210gpa。木杆bc截面边长a=170mm，弹性模量e2=10gpa，f=40 kn。求节点b的位移。,伸长,缩短,1、求杆内力,例题4,2、计算各杆轴向变形,已知钢杆ab截面直径d1=34mm，e1=210gpa。木杆bc截面边长a=170mm，弹性模量e2=10gpa，f=40 kn。求节点b

9、的位移。,伸长,缩短,3、由变形的几何条件确定b点的位移,分别以a为圆心，ab1为半径，c为圆心，cb1为半径画弧，相较于b点，,小变形条件，可以用切线代替弧线。,例题4,2、计算各杆轴向变形,已知钢杆ab截面直径d1=34mm，e1=210gpa。木杆bc截面边长a=170mm，弹性模量e2=10gpa，f=40 kn。求节点b的位移。,伸长,缩短,3、由变形的几何条件确定b点的位移,例题5,图示结构中abc杆可视为刚性杆，bd杆的横截面面积a400mm2，材料的弹性模量e2.0105mpa。试求b点的竖直位移。,图69所示结构中abc杆可视为刚性杆，bd杆的横截面面积a400mm2，材料的

10、弹性模量e2.0105mpa。试求b点的竖直位移,。,1、求杆内力,2、计算bd杆轴向变形,3、由变形的几何条件确定b点的位移,2-4 拉压杆强度计算,一、等截面直杆轴向拉压时的强度条件,强度条件,称为材料轴向拉压时的许用应力（容许应力），由实验确定.,二、三种类型的强度计算,1、强度校核,成立，满足强度要求；反之，不满足强度要求.,？,2、设计截面,3、求许可荷载,不超过5%工程上也认为安全.,例题6,图示平面闸门，用两根钢索吊起。已知闸门的启门力共为60kn，钢索材料的许用拉应力=160 mpa，试求钢索所需的直径。,。,1、求钢索内力,2、设计截面,)m2,例题7,图示结构ac杆的截面面

11、积为450mm2，bc杆的截面面积为250mm2。设两杆材料相同，许用拉应力=100mpa，试求许可荷载f。,。,1、确定各杆轴力和f的关系,2、求许可荷载f,（）,你作为一名设计师，如何优化设计？,例题8,求图示等截面直杆由自重引起的最大应力以及杆的轴向变形。设该杆横截面面积为a，材料的密度为，弹性模量为e。,。,1、确定轴向荷载分布集度,2、求x截面内力并作内力图,3、求最大的应力,4、求轴向变形,等值杆因自重引起的变形在数值上等于将杆重量的一半作用于杆端所产生的变形。,如何测量身高？,躺着？站着？,2-5 圣维南原理、应力集中的概念,一、圣维南原理,力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距

12、离不大于横向尺寸的范围内受到影响,4-4 圣维南原理、应力集中的概念,二、应力集中的概念,工程实际构件，往往需要在杆上开孔、开槽、车螺纹等，使得截面尺寸发生急剧变化，构件在外力作用下，通常也在这类截面处产生破坏.,实验表明，杆件在截面突变处的局部范围内，应力数值会急剧增大，而在稍远处又趋于均匀分布，这种由于杆件截面骤然变化（或几何外部局部不规则）而引起的局部应力骤增现象，称为应力集中.,理论应力集中因素：在工程实际中应力集中的程度用最大的局部应力与该截面上视作均匀分布的名义应力的比值表示。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,材料的力学性质：材料在外力作用下，在强度和变形方面表现出来的特性.

13、,材料的力学性质与试件的几何形状及尺寸有关，为了便于比较实验结果，通常采用标准试件.,一、材料的拉伸试验,试件的具体要求和测试条件，可参阅国家标准， 例如,gb/t228-2002金属材料 室温拉伸试验方法.,试件中间等截面段用来测变形， 称为工作段，其长度称为标距.,两种常用的标准试件：,圆形截面,矩形截面,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,试验设备简介,万能试验机,万能试验机、球型引伸仪、游标卡尺,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,一、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,低碳钢是工程上广泛使用的材料，且其拉伸试验反映的力学现象较为全面.,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,一、

14、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,低碳钢是工程上广泛使用的材料，且其拉伸试验反映的力学现象较为全面.,拉伸图,应力应变图,低碳钢拉伸试验可分为个四阶段：,阶段：oa线弹性阶段,阶段：ab屈服阶段,阶段：bc强化阶段,阶段：c点以后的破坏阶段,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,一、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,（1）拉伸各阶段特点,拉伸图,应力应变图,线弹性阶段()：,试件变形完全是弹性的，试验曲线为直线，伸长与外力成线性关系，材料服从胡克定律， 与 成线性关系.,a点：比例极限p,特征点应力,特征点应力：,b点：弹性极限e,oa直线斜率：,弹性模量,2-6 材料在拉伸和压缩时的

15、力学性质,一、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,（1）拉伸各阶段特点,拉伸图,应力应变图,屈服阶段()：又称流动阶段,应力不增加或产生波动，变形却明显增加，此种现象称为材料的屈服。卸载后变形不能完全恢复.,屈服高限，不稳定.,特征点应力：,c点：屈服低限,塑性变形,残余变形,滑移线,屈服极限s，又称流动极限,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,一、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,（1）拉伸各阶段特点,拉伸图,应力应变图,强化阶段()：,材料经屈服后，内部组织发生了改变，重新获得了抵抗外力的能力，要使试件继续变形，外力必须增加，此种现象，称为强化。试件主要发生塑性变形.,特征点应力：

16、,d点：强度极限b,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,一、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,（1）拉伸各阶段特点,拉伸图,应力应变图,破坏阶段()：,强化阶段以后，变形增加，但荷载读数下降，试件在某一薄弱区域变形急剧增大，横截面面积显著收缩，出现颈缩现象。拉伸图曲线下降，最后被拉断.,断口形状：,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,一、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,（1）拉伸各阶段特点,拉伸图,应力应变图,延伸率(伸长率)：,（2）塑性度量指标,断面收缩率：,试件断裂后，弹性变形随之消失，但塑性变形残留在试件中.,工程上将5%的材料称为塑性材料. 5%的材料为脆性材料.,2-

17、6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,一、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,（1）拉伸各阶段特点,拉伸图,应力应变图,卸载规律：卸载时荷载与伸长量之间遵循的直线关系.,（2）塑性度量指标,（3）冷作硬化,卸载规律,冷作硬化：强化阶段后卸载再加载，其比例极限提高，塑性变形降低的现象。,冷作时效：强化阶段后卸载间隔一段时间后再加载，其比例极限还能进一步提高的现象。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,一、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,四种材料的延伸率均较大，但均没有明显的屈服阶段.,（1）拉伸各阶段特点,（2）塑性度量指标,（3）冷作硬化,（4）其它金属材料在拉伸时的力学性能,对于没有明

18、显的屈服阶段.，通常以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力值作为其屈服极限，称为名义屈服极限或规定非比例延伸强度.,用p0.2表示.,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,一、材料的拉伸试验,1、低碳钢的拉伸试验,（1）-曲线上没有明显的直线段，但曲率较小.,2、铸铁的拉伸试验,应力应变图是一条微弯的曲线，其特点如下：,工程计算中通常用与曲线相近的割线代替此曲线，并认为材料服从胡克定律，由割线的斜率确定其弹性模量.,（2）拉断时变形很小，拉断时应变只有0.40.5%.,断口形状,断口截面与轴线垂直.,（3）没有屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段，不出现颈缩现象.,强度极限b，约为150200mp

19、a.,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,二、材料的压缩试验,1、低碳钢的压缩试验,为了避免压弯现象，压缩试件采用短试件.,低碳钢和铸铁压缩试件通常采用短圆柱体:,混凝土、石料、木材等常采用立方体试件.,低碳钢压缩、拉伸时s -e 曲线 比较,（1）在应力达到屈服之前，两曲线基本吻合，因此拉、压时其弹性模量e、比例极限p、屈服极限s基本相同。 （2）当应力超过屈服极限后，压缩试件将产生较大的塑性变形，面积增加，测不到抗压强度。,二、材料的压缩试验,1、低碳钢的压缩试验,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,铸铁压缩、拉伸时s -e 曲线 比较,（1）与铸铁拉伸试验曲线类似，没有明显的直线段，

20、近似符合胡克定律. （2）铸铁在压缩时，其强度极限b及延伸率相对于拉伸时均较大， =510%，宜作受压构件.,二、材料的压缩试验,1、低碳钢的压缩试验,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,2、铸铁的压缩试验,（3）均没有屈服阶段，最后沿与轴线大致成5055倾角的斜截面发生错动而破坏（剪断）.,断口形状,三、塑性材料和脆性材料比较,工程上的塑性材料和脆性材料通常是以材料在常温、静荷载相爱由拉伸试验测到的延伸率来划分。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,（1）塑性材料的抗拉强度较脆性材料高，通常用来制造受拉构件，而脆性材料的抗拉强度远小于其拉压强度，因此脆性材料通常制成受压构件，且其成本较低

21、。 （2）塑性材料较脆性材料受力后可产生较大的变形，塑性材料破坏需要消耗较大的功，故其抗冲击的能力较好。 （3）塑性材料对应力集中的敏感性较小，对于开孔、开槽构件通常采用塑性材料制造.,5%的材料称为塑性材料. 5%的材料为脆性材料.,低碳钢在低温下表现出脆性，冬天自来水管爆裂； 石料在三向等压情况下也表现出良好的塑性.,四、几种非金属材料的力学性能,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,1、混凝土,拉伸强度很小，结构计算时一般不加以考虑;,特点: 1、直线段很短，在变形不大时突然断裂； 2、压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关；,测定其压缩时的力学性能使用标准立方体试块。,端面润滑时,端面未润滑时,3、以