电路教案第6章n

1、二、等效法 三、相量图的辅助解法 6.6 正弦稳态电路的功率 一、一端口电路的功率 二、最大功率传输条件 6.7 含耦合电感与理想变压器 电路的正弦稳态分析 一、回路法分析 二、一次侧、二次侧等效电路 三、T形去耦等效电路 6.8 三相电路 一、对称三相电源 二、YY电路分析 三、Y电路分析,6.1 正弦量 一、正弦量的三要素 二、正弦量的有效值 三、相位差 6.2 正弦量的相量表示 一、正弦量与相量 二、正弦量的相量运算 6.3 电路定律的相量形式 一、无源元件VAR的相量形式 二、KCL与KVL的相量形式 6.4 阻抗与导纳 一、阻抗与导纳 二、正弦稳态电路相量模型 6.5 正弦稳态电路的

2、相量分析法 一、方程法,第六章 正弦稳态电路分析,点击目录 ，进入相关章节,下一页,前一页,第 4-1 页,退出本章,本章研究正弦激励下的稳态响应，即正弦稳态分析。在线性电路中，正弦激励作用下的正弦稳态响应也是与电源具有相同频率的正弦量。,下一页,前一页,第 6-2 页,6.1、正弦量,一、正弦量的三要素,按正弦(余弦)规律变化的电压、电流称为正弦电压、电流，统称为正弦量(正弦波或正弦交流电)。这里采用cos函数表示正弦量。,瞬时值表达式： i(t)=Imcos(t + i ) , u(t)=Umcos( t + u ),以 t 为横坐标，正弦量的波形如图。,Um( Im) ：正弦量的最大值，

3、称为振幅； t + ：正弦量的瞬时相位角，简称相位，单位：弧度(rad)或度(o)。 当t = 0 时的相位 称初相位，简称初相；通常在- 主值内取值。 是正弦量相位变化的速率，称为角频率，单位：rad/s。,振幅、初相、角频率称为正弦量的三要素。已知它们即可确定正弦量。,回本章目录,下一页,前一页,第 6-3 页,说明（1）角频率(angular frequency) 反映正弦量变化快慢。 （2）初相位(initial phase angle) ：反映了正弦量的计时起点。,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,=0,=/2,=-/2,一般规定：| | 。,回本章目录,角频率、频率f 和周

4、期T之间的关系: 频率的单位：赫兹(Hz)。我国电力系统的正弦交流电，频率为50Hz，周期为0.02s。,6.1、正弦量,二、正弦量的有效值(effective value),下一页,前一页,第 6-4 页,周期电压、电流的瞬时值随时间变化，为了简明地衡量其大小，常采用有效值。,当一交流电和直流电分别通过两个相等的电阻时，若在交流电的一个周期T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电的数值为交流电的有效值。,故得交流电流i (t)的有效值,同样地，交流电压u (t)的有效值,又称方均根值(root-meen-square，rms),WDC=I 2RT,回本章目录,6.1、正弦量,正弦交流电的有

5、效值,下一页,前一页,第 6-5 页,对于正弦交流电，代入前面式子得：正弦电流 i(t)的有效值为,通常所说的正弦交流电的大小都是指有效值。如民用交流电压220V。交流仪表所指示的读数、电气设备的额定值等都是指有效值。但绝缘水平、耐压值指的是振幅。,记住！,u(t) = Ucos( t + u ) i(t) = Icos(t + i ),注意区分瞬时值、振幅、有效值的符号：i，Im，I,回本章目录,6.1、正弦量,下一页,前一页,第 6-6 页,三、相位差 (phase difference),两个同频率的正弦波之间的相位之差称为相位差。记为。 例如，设有相同频率的电压和电流 u(t)=Umc

6、os( t + u ) ， i(t) =Imcos(t + i ) = ( t + u ) - (t + i ) = u - i 相位差即为初相之差。 仍在- 主值范围内取值。 若= u - i 0， 称电压u(t)超前电流i(t) 角， 或i(t)落后u(t) 角。(u 比 i 先到达最大值)； 若= u - i 0， 称电压u(t)落后电流i(t) |角， 或i(t)超前后u(t) |角。,回本章目录,6.1、正弦量,几种特殊相位关系：,下一页,前一页,第 6-7 页, 若= u - i = ， 称电压u(t)与电流i(t) 反相。, 若= u - i = 0， 称电压u(t)与电流i(t

7、) 同相。, 若= u - i = /2， 称电压u(t)与电流i(t) 正交。,注意：= p/2：u 超前 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2； i 落后 u p/2, 不说 i 超前u 3p/2。主值范围| 。,回本章目录,6.1、正弦量,为求正弦稳态响应，1893年斯台麦兹首先把复数理论用于电路，从而为分析电路的正弦稳态响应提供了有力的工具。运用复数分析电路的方法称为相量法(phasor method)。,下一页,前一页,第 6-8 页,6.2 正弦量的相量表示,复数的有关知识复习,虚数单位 j =,1. 复数的表示,直角坐标：A = a + jb,极坐标：A = |A|ej =

8、 |A|,两种表示法之间的关系：,回本章目录,2. 复数的运算,下一页,前一页,第 6-9 页,(1) 加减运算直角坐标,若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(2) 乘除运算极坐标,若 A1=|A1| / 1 ，若A2=|A2| / 2,则,回本章目录,6.2 正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 6-10 页,j2 = -1 , j3 = -j , j4 = 1 , 1/j = -j,e j90= j , e -j90= -j , e j180= -1,回本章目录,(3) 几种常用关系：,6.2 正弦量的相量表示,为什么要引入相量？,下一

9、页,前一页,第 6-11 页,两个正弦量,i1+i2 i3,无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相和有效值(或振幅)就行了。于是想到复数，复数也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。,角频率： 有效值： 初相位：,i1,i2,i3,回本章目录,求i3 = i1+i2,6.2 正弦量的相量表示,一、正弦量与相量,下一页,前一页,第 6-12 页,1、正弦量的相量表示,造一个复函数,没有物理意义,若对A(t)取实部：,是一个正弦量，有物理意义。,对于任意一个正弦量都

10、可以找到唯一的与其对应的复指数函数：,A(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。,A(t)还可以写成,回本章目录,称 为正弦量 i(t) 对应的相量。,6.2 正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 6-13 页,加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改称“相量”。相量是一个特殊的复数，它能表征一个正弦量。复数的一切运算均适用于相量。,正弦量对应相量的含义,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,(有效值)相量与振幅相量的关系是：,相量图(相量画在复平面上),回本章目录,6.2 正弦量的相量表示

11、,例1.,下一页,前一页,第 4-14 页,已知,试用相量表示 i ， u 。,解：,例2.,试写出电流的瞬时值表达式。,解：,回本章目录,6.2 正弦量的相量表示,2、相量的几何意义,下一页,前一页,第 6-15 页,我们用相量和一个正弦量对应看看它的几何意义：,ej t 为一模为1、幅角为 t 的相量。随t的增加，模不变，而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0T时，相量旋转一周回到初始位置， t 从02。,回本章目录,见P150图4.2-2,6.2 正弦量的相量表示,二、 正弦量的相量运算,下一页,前一页,第 4-16 页,1、 同频率正弦量相加减,故同频的正弦量相加减运算就变成对

12、应的相量相加减运算。,这实际上是一种变换思想。,可得其相量关系为：,u(t),回本章目录,6.2 正弦量的相量表示,例已知,下一页,前一页,第 6-17 页,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,首尾相接,回本章目录,6.2 正弦量的相量表示,2、正弦量的微分、积分运算,下一页,前一页,第 6-18 页,微分运算:,积分运算:,时域微分:,时域积分:,回本章目录,6.2 正弦量的相量表示,3. 相量法的应用,下一页,前一页,第 6-19 页,例：求解正弦稳态电路的稳态解(微分方程的特解)i(t)，已知,一阶常系数 线性微分方程,解:,回

13、本章目录,取相量,6.2 正弦量的相量表示,4、小结,下一页,前一页,第 6-20 页, 相量法只适用于同频率正弦激励的线性时不变稳态电路。,回本章目录,6.2 正弦量的相量表示,一、 无源元件VAR的相量形式,下一页,前一页,第 6-21 页,1、 电阻,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系：UR= RI,相位关系 u= i (uR，i同相),回本章目录,6.3 电路定律的相量形式,波形图及相量图,下一页,前一页,第 6-22 页,瞬时功率：,瞬时功率以2交变。但始终大于零， 表明电阻始终是吸收（消耗）功率。,回本章目录,6.3 电路定律的相量形式,2、电感,下一页,前一页,第 6-

14、23 页,（1）时域形式：,（2）相量形式：,相量模型,正交,回本章目录,6.3 电路定律的相量形式,（3） 感抗和感纳,下一页,前一页,第 6-24 页,感抗的物理意义：, 表示限制电流的能力；UL = XL I = L I, 感抗和频率成正比；,电感VAR相量形式:,XL = L称为感抗，单位为 (欧姆) BL = 1/ XL = 1/( L) ，称为感纳，单位为 S (同电导),回本章目录,6.3 电路定律的相量形式,（4）功率：,下一页,前一页,第 6-25 页,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有负， 一周期内刚好互相抵消。,回本章目录,6.3 电路定律的相量形式,3、电容,下一页,前

15、一页,第 6-26 页,（1）时域形式：,（2）相量形式：,相量模型,有效值关系： IC = w CU,相位关系： i= u+90 (i C超前 u 90),回本章目录,6.3 电路定律的相量形式,（3）容抗与容纳：,下一页,前一页,第 6-27 页,令XC = 1/(C)， 称为容抗，单位为 (欧姆) B C = C， 称为容纳，单位为 S,容抗与频率成反比, 0， XC 直流开路(隔直) ，XC 0 高频短路(旁路作用),（4）功率：,瞬时功率以2交变，有正有 负，一周期内刚好互相抵消。,电容VAR的相量形式:,回本章目录,6.3 电路定律的相量形式,下一页,前一页,第 6-28 页,回本

16、章目录,归纳： VAR相量形式 相量模型 相量图,电阻,电感,电容,6.3 电路定律的相量形式,二、 KCL与KVL的相量形式,下一页,前一页,第 6-29 页,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,回本章目录,6.3 电路定律的相量形式,下一页,前一页,第 6-30 页,回本章目录,例 1: 已知:i= 2 cos5t A，求电压u = ?,解: 将元件用其相量模型表示，电流、电压用相量表示可得到电路的

17、相量模型。,由于=5rad/s，故 j L = j52.4 = j12 - j/(C) = - j/(5 0.025) = - j8 ,由VAR：,由KVL：,u(t) = 16cos(5t + 45) V,6.3 电路定律的相量形式,下一页,前一页,第 6-31 页,回本章目录,例 2: 已知:I1= 4A，I2 = 3A，求I = ?,解法一: 设参考相量,I = 5 A,解法二:画相量图,6.3 电路定律的相量形式,一、阻抗与导纳,下一页,前一页,第 6-32 页,正弦激励下稳态,单位：,阻抗模,阻抗角,1、阻抗,R电阻(阻抗的实部)；X电抗(阻抗的虚部)；,回本章目录,6.4 阻抗与导

18、纳,2、导纳,下一页,前一页,第 6-33 页,对同一二端电路:,单位：S,3. R、L、C 元件的阻抗和导纳,（1）R：,（2）L：,（3）C：,G电导(导纳的实部)；B电纳(导纳的虚部)；,|Y| = I/U 导纳的模； Y导纳角。,回本章目录,6.4 阻抗与导纳,4、阻抗与导纳的性质,下一页,前一页,第 6-34 页,其性质取决于Z和Y的虚部。,Z = R + jX,电抗X, 0，电路（或阻抗）呈感性；,= 0，电路（或阻抗）呈阻性；, 0，电路（或阻抗）呈容性；,Y= G + jB,电纳B, 0，电路（或导纳）呈容性；,= 0，电路（或导纳）呈阻性；, 0，电路（或导纳）呈感性；,回本

19、章目录,6.4 阻抗与导纳,5、阻抗和导纳的关系,下一页,前一页,第 6-35 页,一般情况 G 1/R B 1/X。若Z为感性，X 0，则B 0，即仍为感性。,由Y变为Z，对偶即可。,回本章目录,6.4 阻抗与导纳,1、RLC串联电路,下一页,前一页,第 6-36 页,用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。,由KVL的相量形式：,相量模型,电压、电流用相量；元件用阻抗或导纳。,回本章目录,6.4 阻抗与导纳,二、正弦稳态电路相量模型,具体分析一下 R、L、C 串联电路：,下一页,前一页,第 6-37 页,Z=R+ j wL-1/(wC) =|Z|Z,wL 1/(w C)，X0， Z 0，电路

20、为感性，电压超前电流；,wL1/(w C) ，X0， Z 0，电路为容性，电压落后电流；,wL=1/w C ，X=0， Z =0，电路为电阻性，电压与电流同相。,画相量图：选电流为参考相量(wL 1/w C ),三角形UR 、UX= UL- UC 、U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即,回本章目录,6.4 阻抗与导纳,例.,下一页,前一页,第 6-38 页,已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,求 i, uR , uL , uC .,解：,其相量模型为,回本章目录,6.4 阻抗与导纳,下一页,前一页,第 6-39 页,则,UL=8.42 U=5，分电压可能大于总电压。,相量图

21、,回本章目录,6.4 阻抗与导纳,2、RLC并联电路,下一页,前一页,第 6-40 页,由KCL：,回本章目录,6.4 阻抗与导纳,下一页,前一页,第 6-41 页,Y = G+ j wC - 1/(wL)= |Y| Y,w C 1/(wL) ，B 0， Y 0，电路为容性，i 超前u；,w C 1/(wL) ，B 0， Y 0，电路为感性，i 落后u；,wC = 1 /(wL) ，B = 0， Y =0，电路为电阻性，i与u同相。,画相量图：选电压为参考相量( 设wC 1/ ( wL) ,Y 0 ),RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象,回本章目录,6.4 阻抗与导纳,下一页,前一

22、页,第 6-42 页,回本章目录,例 如图电路，已知IS =5A，理想电流表A1、A2的读数分别为3A和8A，求电流表A3的读数。,解 根据前面推导的关系,故可解得 I3= 4A或12A,6.4 阻抗与导纳,电阻电路与正弦稳态电路相量法分析比较：,下一页,前一页,第 6-43 页,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,回本章目录,可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦稳态电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态电路的相量分析中。,例1.,下一页,前一页,第 6-44 页,回本章目录,列写电路的回路电流方程和节点电压方程,解：,回路法:,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,一

23、、方程法,节点法:,下一页,前一页,第 6-45 页,回本章目录,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,1、阻抗串并联的计算,下一页,前一页,第 6-46 页,回本章目录,同直流电路类似：,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,二、等效法,例1：,下一页,前一页,第 6-47 页,回本章目录,已知 Z1=10+j6.28, Z2=20-j31.9 , Z3=15+j15.7 。,求 Zab。,解：,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,例 2: 已知:,下一页,前一页,第 6-48 页,回本章目录,求:各支路电流。,解：画出电路的相量模型,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,下一页,前一页,第 6-49 页

24、,回本章目录,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,下一页,前一页,第 6-50 页,回本章目录,瞬时值表达式为：,解毕！,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,例3.,下一页,前一页,第 6-51 页,回本章目录,法一：电源变换,解：,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,法二：戴维南等效变换,下一页,前一页,第 6-52 页,回本章目录,例4.,用叠加定理计算电流,求开路电压：,求等效电阻：,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,下一页,前一页,第 6-53 页,回本章目录,解：,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,例5.,下一页,前一页,第 6-54 页,回本章目录,已知：Z=10+j50W , Z1=4

25、00+j1000W。,解：,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,例6.,下一页,前一页,第 6-55 页,回本章目录,已知：U=115V , U1=55.4V , U2=80V , R1=32W , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。,画相量图进行定性分析。,解：,两式相减，得,解得 UR2 = 33.9V，UL =72.45V, I=U1/R1 = 1.73A,6.5 正弦稳态电路的相量分析法,三、相量图的辅助解法,例7.,下一页,前一页,第 6-56 页,回本章目录,移相桥电路。当R2由0时，,解：,当R2=0，q =180；当R2 ，q =0。,6.5 正弦稳态电路的相量分析

26、法,一、一端口电路的功率,下一页,前一页,第 6-57 页,回本章目录,6. 6 正弦稳态电路的功率,1、瞬时功率 (instantaneous power),第二种分解方法。,第一种分解方法；,设无源一端口正弦稳态电路端口 u, i 关联,第一种分解方法：,下一页,前一页,第 6-58 页,回本章目录,第二种分解方法：, p有时为正, 有时为负； p 0, 电路吸收功率 p 0，电路发出功率；,消耗功率。,交换功率。,6. 6 正弦稳态电路的功率,2. 平均功率 (average power)P：,下一页,前一页,第 6-59 页,回本章目录,瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周

27、期内的平均值。,= u- i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。,cos ：功率因数。,平均功率P的单位：W（瓦）,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-60 页,回本章目录,一般地 , 有 0cos1,X0, 0 , 感性,X0, 0 , 容性,例： cos =0.5 (感性)， 则 =60o (电压超前电流60o)。,平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别, 主要由于电压、电流存在相位差。,6. 6 正弦稳态电路的功率,3、无功功率 (reactive p

28、ower) Q,下一页,前一页,第 6-61 页,回本章目录,4、视在功率S,反映电气设备的容量。,表示交换功率的最大值，单位：var (乏)。,Q 的大小反映电路N与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C决定。,6. 6 正弦稳态电路的功率,5、 R、L、C元件的有功功率和无功功率,下一页,前一页,第 6-62 页,回本章目录,PR = UIcos = UIcos0 = UI = I2R =U2/R QR = UIsin= UIsin0 = 0,对电阻，u, i 同相，故Q = 0，即电阻只吸收(消耗)功率，不发出功率。,PL= UIcos =UIcos90 =0 QL = UIsin=U

29、Isin90 = UI,对电感，u 超前 i 90, 故PL= 0，即电感不消耗功率。,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-63 页,回本章目录,PC = UIcos =UIcos(-90) = 0 QC =UIsin = UIsin (-90) = -UI,对电容，i 超前 u 90, 故PC = 0，即电容不消耗功率。,6. 6 正弦稳态电路的功率,已知：电动机 PD=1000W，其功率因数cosD=0.8(感性），U=220V，f =50Hz，C =30F。 求负载电路的功率因数。,例1.,下一页,前一页,第 6-64 页,回本章目录,解：,6. 6 正弦稳态电路的功率

30、,例2. 三表法测线圈参数。,下一页,前一页,第 6-65 页,回本章目录,已知f = 50Hz，且测得U = 50V，I=1A，P=30W。求L。,解：,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-66 页,回本章目录,（1）、 复功率与相量的关系,为了计算上的方便，引入复功率的概念。定义为,由于P = UIcos，Q = UIsin, =u-i,6、复功率,6. 6 正弦稳态电路的功率,（2）、有功功率，无功功率，视在功率的关系：,下一页,前一页,第 6-67 页,回本章目录,有功功率: P = UIcos 单位：W,无功功率: Q = UIsin 单位：var,视在功率: S

31、= UI 单位：VA,功率三角形,阻抗三角形,6. 6 正弦稳态电路的功率,（3）、功率与阻抗、导纳的关系,下一页,前一页,第 6-68 页,回本章目录,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-69 页,回本章目录,（4）、复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即,此结论可用特勒根定理证明。,6. 6 正弦稳态电路的功率,复功率守恒，不等于视在功率守恒,下一页,前一页,第 6-70 页,回本章目录,一般情况下：,6. 6 正弦稳态电路的功率,例1.已知如图电路，求各支路的复功率。,下一页,前一页,第 6-71 页,回本章目录,解一：,6. 6 正弦

32、稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-72 页,回本章目录,解二：,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-73 页,回本章目录,例2. 如图电路，已知U = 100V，I = 100mA，电路吸收的功率P = 6W，XL1 = 1.25k， XC = 0.76k。电路呈感性，求r和XL。,解.,由于电路呈感性，故= 53.13,Z1 = Z jXL1 = 600 + j800 j1250 = 600 j450,由于,r = 81 ， XL = 450 ,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-74 页,回本章目录,例3.,如图电路，已知i (t) = 100 c

33、os(103t + 30o)mA，电路吸收的功率P = 10W，功率因数为 ， 求电阻R和电压u (t)。,解. I = 100 mA= 0.1A，P = I2R，故,又P = UI cos，故, = 45o ，故u = + I = 45o + 30o = 75o,u (t) = 200cos(103t + 75o) V,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-75 页,回本章目录,7、多频电路的响应和平均功率,电路分析中，常会遇到几个不同频率的电源作用于电路的情况，这时，求电压、电流时可利用叠加定理。平均功率也可叠加计算。,例:如图电路，L = 1H，C = 1F，R= 1，u

34、S1(t) = 10cos(t) V， uS2(t) = 10cos(2t) V，求电流i(t)和电阻R吸收的平均功率PR。,解:电感的阻抗为jL，电容的阻抗为-j/(C)。 为多少？ 注意：相量法只适用于单频率电源作用下的稳态电路。,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-76 页,回本章目录,利用叠加定理： uS1(t) 单独作用时，画出相量模型。,故 i2(t) = 11cos(2t + 33.7) A。,故 i1(t) = 10cos(t-90) A,i(t) = i1(t) + i2(t) = 10cos(t - 90) + 11cos(2t + 33.7) A,uS2

35、(t) 单独作用时，画出相量模型。,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-77 页,回本章目录,瞬时功率 pR(t) = Ri1(t) + i2 (t) 2 = Ri12(t) + Ri22(t) +2 R i1 (t) i2 (t) = p1(t) + p2(t) + 2 R i1 (t) i2 (t),由于i1(t) 的周期为T1 =2， i2(t) 的周期为T2 =2/2 = ， 故i(t) = i1(t) + i2(t)仍然为周期函数， 周期为T=最小公倍数(T1 , T2 ) = 2， 从而瞬时功率pR(t) 也是周期信号。,p1(t) 和 p2(t)是uS1和uS2

36、分别单独作用时电阻吸收的瞬时功率。 显然，pR(t) p1(t) +p2(t),下面求平均功率。,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-78 页,回本章目录,结论：多个不同频率(各频率之比为有理数)的正弦波产生的总平均功率等于不同频率正弦量分别单独作用时所产生的平均功率之和。,在一个周期T内，平均功率为,当i1(t) 与i2(t)频率之比为有理数，且不相等时，有,故 PR= P1 + P2 = I12R + I22R,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-79 页,回本章目录,例:有一电阻R = 10，若其端电压为（1）u(t) = u1(t) + u2(t)

37、= 10cos(2t) + 20 cos(2t + 30) V（2）u(t) = u1(t) + u2(t) + u3(t) = 10+ 20cos(2t) + 30 cos(3t) V分别求以上两种情况下电阻R吸收的平均功率。,解 (1) 由于u(t) 中的两项频率相同，用相量法求总电压。,u(t) = u1(t) + u2(t) = 29.1cos(2t+20.1) V,(2) 由于u(t)中的各项频率不同，且各角频率的比为有理数，故可用叠加法计算平均功率。,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-80 页,回本章目录,二、最大功率传输条件,讨论正弦稳态电路中负载ZL获得最大

38、功率Pmax的条件。,ZS= RS + jXS， ZL= RL + jXL,(1) ZL= RL + jXL可任意改变,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-81 页,回本章目录,(a) 先讨论RL不变，仅XL改变时，P的极值,显然，当XS + XL=0，即XL = -XS时，P获得极值,(b) 再讨论RL改变时，P的最大值,当RL= RS时，P获得最大值,综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：,称共轭匹配。,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-82 页,回本章目录,此时获得最大功率的条件 |ZL| = |ZS| 。,最大功率为,证明如下：,(2

39、) 若ZL= RL + jXL =|ZL| / ， |ZL|可变，不变，如ZL= RL 时,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-83 页,回本章目录,此时Pmax即如(2)中所示。,证毕！,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 6-84 页,回本章目录,例 在下列情况下，如何选择负载ZL才能使负载吸收的功率最大？,(1) ZL = RL +jXL (2) ZL = RL,解 戴维南等效。,(1) ZL = Zeq* = 4 j3，,(2) ZL = RL = | Zeq | = 5 ,6. 6 正弦稳态电路的功率,下一页,前一页,第 4-85 页,回本章目录,6.

40、7 耦合电感元件,一、耦合线圈,i1(t),11,21,22,12,i2(t),耦合电感(互感)是实际互感线圈的理想化模型。,图中两个靠近的线圈，线圈1有N1匝，线圈2有N2匝。,当线圈1中通电流 i1时，在自身中激发磁通11，称自磁通；其中有一部分也通过线圈2，称为互磁通。,在线圈密绕的情况下，穿过各自线圈中每匝的磁通相同，故与两线圈交链的磁链有,11 =N1 11 =L1 i1 21 =N2 21 =M21 i1 11 线圈1的自磁链， L1 线圈1的自感； 21 线圈1电流i1对线圈2的互磁链， M21 线圈1电流i1对线圈2的互感。,同样，线圈2中通电流i2时，有 22 =N2 22

41、=L2 i2， 12 =N1 12 =M12 i2,下一页,前一页,第 4-87 页,回本章目录,工程上，为了描述两线圈的耦合程度，将两线圈互磁链与自磁链之比的几何均值定义为耦合系数k，即,将前面的有关式子代入，得：,11 =N1 11 =L1 i1， 21 =N2 21 =M21 i1 22 =N2 22 =L2 i2， 12 =N1 12 =M12 i2,对于线性电路，可以证明 M12 = M21 =M，其单位与自感相同，为亨(H)。,由于21 11 , 12 22 ， 故 0 k 1，M2 L1L2,当k = 0时，M = 0，两线圈互不影响，称无耦合； 当k = 1时， M2 = L1

42、L2 ，称为全耦合。,二、耦合电感的伏安关系 如图所示两耦合线圈，都通电流后，其自磁通与互磁通方向一致，称为磁通相助。 自磁通与互磁通方向相反，称为磁通相消。,下一页,前一页,第 4-89 页,回本章目录,各线圈中的总磁链包含自磁链和互磁链两部分。在磁通相助的情况下，两线圈的总磁链分别为 1 = 11 + 12 = L1 i1+ M i2 2 = 22 + 21 = L2 i2+ M i1,设两线圈电压、电流参考方向关联，则根据电磁感应定律，有,u1(t),u2(t),下一页,前一页,第 4-90 页,回本章目录,若改变线圈2的绕向，如图所示。则自磁通与互磁通方向相反，称为磁通相消。,这时，两

43、线圈的总磁链分别为 1 = 11 - 12 = L1 i1- M i2 2 = 22 - 21 = L2 i2- M i1,两线圈电压为,耦合电感上的电压等于自感电压与互感电压的代数和。 在线圈电压、电流参考方向关联的条件下，自感电压取“+”； 当磁通相助时，互感电压前取“+”； 当磁通相消时，互感电压前取“-”。,判断磁通相消还是相助，除与线圈上电流的方向有关外，还与两线圈的相对绕向有关。,实际中，耦合线圈密封，且电路图中不便画出。 为此，规定一种称为同名端的标志。 根据同名端和电流的参考方向可判定磁通相助还是相消。,下一页,前一页,第 4-92 页,回本章目录,判断磁通相消还是相助，除与线

44、圈上电流的方向有关外，还与两线圈的相对绕向有关。,同名端：当电流从两线圈各自的某端子同时流入(或同时流出)时，若两线圈产生的磁通相助，则称这两个端子是耦合电感的同名端，并标记号“”或“*”。,哪些是同名端？,若i1从a端流入， i2从c端流入，磁通相助；故a、c为同名端，用“”标出。电路模型如右图。,显然，b、d也是同名端。 a、d为异名端， b、c也是异名端。,下一页,前一页,第 4-93 页,回本章目录,综上所述，在端口电压、电流均取关联参考方向的前提下，其VAR为：,式中，当两电流同时从同名端流入时，互感电压项前取“+”；否则，两电流同时从异名端同时流入时，互感电压项前取“-”。,下一页

45、,前一页,第 4-94 页,回本章目录,例 写出下列互感的伏安关系：,图(a)关联，故有,解 (1)首先判断端口的电压、电流是否关联。,(2)判断电流是否同时流入同名端。图(a)是。取“+”。,解 (1)首先判断端口的电压、电流是否关联。,L1上电压、电流关联；而L2上电压、电流非关联，先将其变为关联，如图中指示。,(2) 电流同时流入异名端。故取“-”。,下一页,前一页,第 4-95 页,回本章目录,三、耦合电感的T形去耦等效电路,当两个耦合电感线圈有一端相连接时：,下一页,前一页,第 4-96 页,回本章目录,例 求ab端的等效电感。,下一页,前一页,第 4-97 页,回本章目录,一、理想

46、变压器,变压器是一种利用磁耦合原理实现能量或信号传输的多端电路器件，有着广泛应用。常用实际变压器分空心变压器和铁心变压器两类。本节重点讨论的理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想化抽象，可看成极限情况的互感。,理想变压器可看作是互感元件在满足3个理想条件产生的多端电路元件。全耦合，即k=1； 自感L1、L2 ，且L1/L2为常数； 无损耗 。,工程上，满足这3个条件是不可能的。理论上，满足这3个条件的互感将发生质变。产生一种与互感有着本质区别的一种新元件理想变压器。,1、理想条件,6.8 变压器,下一页,前一页,第 4-98 页,回本章目录,由于全耦合，故 k=1, M2 =

47、L1L2 ，并且 21 = 11 ， 12 = 22，,考虑到 11=N111 =L1i1，21=N221 = Mi1， 22=N222 = L2i2，12=N112 = Mi2， 故有,由全耦合得到！,2、基本特性,下一页,前一页,第 4-99 页,回本章目录,（1）变压特性：,如图互感的VAR为,n = N1/N2称为匝比（或变比）,可见，电压与匝数成正比。与电流无关。注意：上式要求两电压“+”均在同名端。若处于异名端(如图)，则,下一页,前一页,第 4-100 页,回本章目录,（2）变流特性：,互感的初级线圈的VAR为,对上式从-到t积分，并设i1(-)=i2(-)=0，得,考虑L1 ，

48、有,可见，电流与匝数成反比。与电压无关。注意：上式要求两电流同时流入同名端。若两电流同时流入异名端(如下图)，则,理想变压器上述给出的电压关系和电流关系统称为理想变压器的伏安关系。它只与一个参数匝比n有关。其关系是代数方程，表明理想变压器是瞬时元件。,下一页,前一页,第 4-101 页,回本章目录,VAR为,VAR为,理想变压器的电路模型如下：,对图(a)电路，可得其瞬时功率为,p(t) = u1i1 + u2i2 = n u2 (- 1/n) i2 + u2i2 = 0,该式表明：理想变压器既不消耗能量，也不储存能量，是一个无记忆即时元件。这一点与互感有着本质的不同。理想变压器本质是电压、电

49、流的线性变换器。,注意电路符号,w(t) = 0,6.8 变压器,下一页,前一页,第 4-102 页,回本章目录,（3）变阻特性：,如图理想变压器，其VAR为,若次级接负载电阻RL，则由初级端口看的输入阻抗,由于RL=,理想变压器的阻抗变换作用只改变阻抗的大小，且与同名端无关。,下一页,前一页,第 4-103 页,回本章目录,自己可以证明一下。,两种等效关系：,下一页,前一页,第 4-104 页,回本章目录,若将两个线圈绕在高导磁率铁磁材料上，则可使两线圈的耦合系数k接近1，当工作频率不太高时，线圈的损耗可忽略。理想情况下，这种全耦合、无耗的耦合线圈称为全耦合变压器。与理想变压器相比，只有L1

50、、L2为的条件不满足。,二、全耦合变压器,图中全耦合互感线圈，其VAR关系为，,前面已知，k=1时，,故,变压关系与理想变压器相同,下一页,前一页,第 4-105 页,回本章目录,对式(1)从-到t积分，并设i1(-)= i2(-)=0，得,式中，,是由于存在初级自感L1而出现的，称为励磁电流。,是次级电流i2在初级的反映，它与i2之间满足理想变压器的变流关系。,据此，可得到全耦合变压器的电路模型，如图。,可见，它是由理想变压器在其初级并联电感L1构成的。 L1常称为励磁电感。,下一页,前一页,第 4-106 页,回本章目录,三、实际铁心变压器模型,对于实际变压器，尽管采用导磁率较高的铁心（或

51、磁心），耦合得很紧，但耦合系数总小于1，而且不可避免地有损耗。,初级自感L1 = Lm1 + LS1,初级漏电感,次级漏电感,初级铜耗,次级铜耗,铁心损耗电导,励磁电感,下一页,前一页,第 6-107 页,回本章目录,一、回路法分析,互感VAR的相量形式为,解 列回路KVL方程得,耦合电感VAR，得,例1 如图电路，已知R1 = R2 = 10，L1 = 50.5H， L2 = 50H， M = 0.5H，C1 = C2 = 50pF，US = 10V， = 2107rad/s，初相为0，求,代入即可解得,也可以利用T形等效。,6. 9 含耦合电感与理想变压器电路的正弦稳态分析,下一页,前一页,第 6-108 页,回本章目录,解 变压器初级等效输入电阻为,Rin=n2RL = 225 = 20 如(b)图,根据KVL方程，有 ( 5 + Rin j25) =,例2 已知图(a)示正弦稳态电路中 = 100A，变比n =2，求电流 和负载RL消耗的平均功率PL。,RL消耗的平均功率就是Rin消耗的功率，即 PL = I12