晶格振动与晶体的热学性质

1、3.1 一维原子链的振动 3.2 简正坐标和格波量子 3.3 三维明显可知的振动模式 3.4 离子晶体的光学模与电磁波的耦合 3.5 声子模的实验测定,第三章 晶格振动与晶体的热学性质,3.6 晶体比热容 3.7 热膨胀和固体的方程,1回 顾：,组成晶体的原子被认为是固定在格点位置(平衡位置)静止不动 的！,2认 识：,有限温度(t0k)下，组成晶体的原子或离子围绕平衡位置作微小振动,格点,序言,3 晶格振动的作用与学习意义：, 晶格振动使晶体势场偏离严格的周期性；, 对bloch电子有散射作用，从而影响与电子有关的 运输性质：电导，霍尔效应，磁阻，温差电效应；, 晶体的比热，热膨胀和热导等热

2、学性质直接依赖于 晶格振动；, 晶体的光吸收和光发射等光学性质与晶格振动有关, 电子-电子间通过晶格振动可出现不同于库仑力的 相互作用，形成所谓库柏对，产生超导性。,晶格动力学 是固体物理学中最基础、最重要的部分之一！,4.连续媒质中的弹性波(预备知识),连续媒质中弹性波的波动方程：,其中,为拉普拉斯算符，在笛卡儿直角坐标系中,方程解的形式：,为波矢量，方向为波的传播方向； 为波的角频率或圆频率.,色散关系：,4.1 描写波的几个物理量,1.周期和频率,周期：质点完成一次全振动的时间，用t表示,频率：单位时间内完成全振动的次数，为周期的倒数，,所以：,角频率的意义就是 秒内完成全振动的次数.,

3、2.波矢和波长,等相面（波阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直.,平面波：等相面为平面的波.,波长：同一时刻相位相差 的两点之间的长度，用 表示.,波矢与波长的关系：,3.相速度和群速度,沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：,群速度：振幅传播的速度.大小为：,晶体中传播的格波，色散关系 不是简单的线性关系，群速度和相速度不再相等. 当 不是常数时,3.1.1 简谐近似,在平衡位置附近,当振动很微小时，,很小，上式只保留到,项，则原子间的相互作用力可表示为：,其中,对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动.所以称这个近

4、似为简谐近似,3.1.2 一维单原子链的振动,模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m.,3.1一维单原子链的振动,试探解:,求色散关系:,随着 q的增长，数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。,截止频率,一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播 的弹性波，高于 频率的弹性波被强烈衰减。,在布里渊区边界处：,群速度为零，这是因为此时近邻原子散射的子波与入射波位相相差，由 b原子反射的子波到达近邻 a原子处时恰好和 a 原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述 条件，所以当 时，散射子波之间发生相长干涉， 结果反射达到最大值，并与

5、入射波相结合，形成驻波，群速度为零。这和x射线衍射的bragg 条件是一致的，也同样显示了布里渊区边界的特征。它们都是由于入射波的波动性和晶格的周期性所产生的结果。,入射波,反 射 波,相邻原子振动相位相反，波既不向右传播，也不向左传播，形成驻波,(2)驻波特征,所以：,而此时,能量不向外边传播 驻波,原因：入时波和反射波的迭加,（3）周期性：周期为一个倒格子矢量,所以把q限制在第一布区,解释：q与q+ 分别对应不同的波长， 为什么它们都描写同一运动状态呢？,可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全不同.唯一不同的就是两格点之间的运动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质.,所以为了使x

6、q（q）的关系成为单值，限制q在第一布区，对一维来说q的取值,（4）第一布区里的分立波矢数晶体原胞数. 晶体内独立状态数（振动频率数）晶体自由度数,证：使用周期性边界条件（图形）,第一布区的长度：,第一布区分立波矢数：,第二个结论显然是成立的.,（5）状态密度 连续介质,格波,格波有截止频率。,1-d分立晶格和连续模型的区别：,范霍夫奇点,实际晶体的态密度： 晶体的态密度函数原则上可以从理论上通过上述公式 计算，先求出每支色散曲线相应的态密度： 每个原胞有n个原子的晶体的总的态密度函数是：,右图是金属 al 的晶格振动态密度合成图，总态密度是两支横波和一支纵波的叠加。,cu晶体的总振动态密度函

7、数谱 见黄昆书p133,可以明显看出铜晶体的态密度函数，低频部分呈抛物线形状，这和色散曲线低 q 部分接近弹性波线性关系是一致的。,求解格波步骤：,（4）由久期方程求色散关系,（1）列运动方程,（2）取试探解,（3）代入原方程， 得到久期方程,（5）加周期边界条件,（6）求状态密度,3.2.3一维双原子链的振动,设mm,代入得到：,整理得：,二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零:,解得：,2支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为：,讨论：,（1） ，声频支退化为弹性波,（2） ，声学波描写原胞质心运动，光学波描写原胞中各原子之间得相对运动，并且质心保持不动.,a.声频支,同向运动,

8、波长很长，相邻原子的位相差很小.表示质心的运动,质心不动,b.光频支：,相邻原子反向运动,光学支振动的说明： 如果原胞内为两个带相反电荷的离子（如离子晶体），那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。 实际晶体的长光学波的 对应远红外的光波，因此离子晶体的长光学波的共振能够 引起远红外光在 附近的强烈吸收，正是基于此 性质， 支被称作光学支。,（3）晶格中振动的波矢数晶体的原胞数 晶格振动的频率数晶体的自由度数,证：加周期性边界条件,n为原胞数,第一布区：,波矢数：

9、,波矢数为原胞数，每个原胞中有两个原子，对每个q对应两个频率，显然第二条规律也是满足的.这两条规律对三维也是适用的.,(1)方便于求解原子运动方程. 除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.,2)与实验结果吻合得较好 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证. 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界

10、条件是目前较好的一个边界条件., 设想在有限晶体之外还有无穷多个完全相同的晶体，互相平行的堆积充满整个空间，组成一个无限晶体，保证了有限晶体的平移对称性 在各个相同晶体块内相应原子的运动情况应当完全相同；, 一维晶格：将许多完全相同的原子链首尾连接成无穷长链 第 n+1 个原子就是第 1 个原子，第 n+2 个原子就是第 2 个原子 也可以把它看作是n个原子构成的圆环！保证了从晶体内任一点出发平移 na 后必将返回原处！ 边界条件：un = un+n,3.2 简正坐标和格波量子,3.2.1 简正坐标,一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：,晶体势能：,晶体动能：,其中表示位移对时间的一次导数

11、，也就是速度.,格点位移,系统的总的哈密顿量为：,h为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结论.为此引进简正坐标q.,单个谐振子的哈密顿量,逆变换：,证明利用了正则坐标q的正交关系，参见p63,系统总能量：,由量子力学，一个谐振子的能量与 的关系为：,3.2 简正坐标和格波量子,设n个质点组成质点系，由于每个质点有3个自由度，在描述整个质点系的微振动时必须要用3n个独立坐标 。如果各质点的质量为 ，则 质点系的动能可表示为 质点系的势能可以在平衡位置附近展开为泰勒级数，即为,3.2.1 简正坐标,式中 表示某一质点 在某一方向上的位移；下角标0表示质点处于平衡位置时所具有的值。如果取平衡位

12、置 为势能的原点 ，同时考虑到质点处于平衡位置 时，质点所受的力为零，即有 对于微振动的情形，所有的都很小，以致可以略去二阶以上的高次项，得到 为了使上述的动能和势能的表达式具有简单的形式，我们可以利用线性代数的理论，选择适当的线性变换 ( 1 ) 将动能和势能的表达式进行简化。,选择式变换中的系数 ，使之满足正交条件： 将式(1)代入式动能表达式中得： 所以有 同样，利用线性变换式（1）也可以将式势能化为：,式中 为以 为元素所组成的矩阵的本征值；而 则为与之对应的本征矢组成的矩阵的元素。,(证明见p63中),以一维布拉维格子为例证明： 晶格中的格波可以展为各种独立振动模式的线性迭加，即把

13、展为 式中 称为波矢的振动模式的正则坐标（又称简正坐标），它表示了格波的振幅。引入正则坐标后，一维简单晶格的势能可表示为,其中 ，正是一维布喇菲格子的色散关系。再把它代入上式，得到 由于原子的位移是实数，因此有 ，则晶格振动的势能最后可化为 同样，利用这种变换关系，一维简单晶格的动能用正则坐标可表示为,得到上式最后一步利用了,采用正则坐标后，晶格振动的总能量，亦即哈密顿量可写成标准式（法式）为 式中 。显然上式中的右边每项 代表一个谐振子的能量，包含有2项，所以一维布喇菲格子的总能量是每个独立谐振子能量之和。 根据量子力学的结果，一个谐振子的能量本征值为 式中 。所以一维布喇菲格子晶格振动的总

14、能量可表示为,一维复式格子的情形,与一维布喇菲晶格相似， 这里对求和表示对声学支及光学支两种模式的格波求和。作坐标变换得到 比较上面两式，可知,这里已把波矢为q第j支格波（声学支或光学支格波）的角频率写成 。而 即表示波矢为q，第j支格波的包含有时间因子的振幅，也就是正则坐标。采用正则坐标 后，一维复式格子晶体的哈密顿量可写成 式中 。 同讨论一维布喇菲格子的情形一样，可以得到一维复式格子晶格振动的本征能量为 式中 可取一系列正整数。,三维复式格子的情形,对于三维复式格子，可以将其看作是由原子组成的质点系。设晶体的基矢为 ，沿基矢方向各有 个原胞。因此，整个晶体共有 个原胞。每个原胞中设有n个

15、原子，令 表示原胞中心位矢为 的原胞内，第s个原子离开平衡位置在 方向的位移，将系统的势能v在平衡位置附近用泰勒级数展开，有 如取平衡位置的势能作为能量原点，即 。在简谐近似下，可以将,二次以上的项略去，则势能可写为 式中 。而 为了进一步简化，引进动力学矩阵元及变换,因此，势能可以改写成 式中符号 及 分别表示 及 。 同样，系统的动能为 式中 为第s个原子的质量。因为所考虑的系统具有3nn个自由度，从而可适当地选取描写系统的正则坐标，以使上面两式所表示的对坐标求得的和具有3nn个独立简谐振子的哈密顿量的形式。,利用倒格子空间来讨论晶格振动，把倒格矢 理解为格波波矢 。在三维晶格的情况下，系

16、统的能量为 式中 是格波的角频率。由此可见，每一格波（简正模）的能量总是以量子 为单位不连续地改变。由于其难题表达式和量子谐振子的能量形式完全一样，因此可以说：一个晶格振动系统在能量状态上等效于一个具有个独立的量子谐振子的系统，也就是说，在简谐近似（微振动）的条件下，晶格振动可以用一系列独立的谐振子来描述。,三、周期性边界条件,设n1、n2和n3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：n n1 n2 n3,周期性边界条件：,令,h1 , h2 , h3整数,在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：,vnva晶体体积,在 空间中，波矢 的分布密度：,简约区中波矢 的取值

17、总数 晶体的原胞数,简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值 对应于三个声学波（1个纵波，2个横波）,晶格振动格波的总数3n晶体的自由度数,复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个q的取值 对应于3个声学波和3(s-1)个光学波,晶格振动格波的总数33(s-1)n=3sn=晶体的自由度数,3.3.3 格波的模式密度,在q空间中，处在d两等频面之间的振动模式数,由于,两等频面间的体积,例：求一维单原子链晶格振动的模式密度,围出体积内波矢代表点的数目,于是得格模式密度：,一维单原子链晶格振动的色散关系：,3.3.2 声子（phonon),声子晶格振动的能量量子(准粒子),能量,动量,引入声

18、子的概念以后，把声子当作有能量、动量的玻色粒子可以很简便地说明许多问题。例如，按玻色统计分布求出平均声子数后可以导出比热公式；考虑原子间非简谐的相互作用时，可以引入声子-声子相互作用的概念；晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而增加电阻，这可以看作是电子受到声子的碰撞，可用声子-电子相互作用来描述；晶体的光学性质也与晶格振动密切相关，光在晶体中的散射可以看作是由于光子与声子的相互作用乃至强烈的耦合所产生的。必须指出的是，声子并不是真实的粒子，它可以产生和湮灭；有相互作用时声子数并不守恒；声子动量的守恒律不同于真实粒子；声子不能脱离固体而存在，因为它所反映的是原子的集体运动，

19、不属于某个原子而属于整个晶体所有等等。所以说声子是一种假想的粒子，它只是格波（简正模）激发态的量子基本的激发单元，在量子场论中称为元激发。总之，建立了声子的概念对于理解和处理固体中的很多问题带来了很大的方便，实践证明，这样的概念是正确的。,3. 声子的性质,(1) 声子的粒子性,光子-电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量。 声子-声子携带格波的能量和动量。若格波频率为，波矢q为，则声子的能量为 ，动量为q。 声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量和动量q的粒子一样。,声子是玻色(bose)子，满足玻色分布,喻住房高层人少，底层人多,可以将格波与物

20、质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化，得出的结论也正确。如，电子、光子、声子等。,准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振动状态，所以不是真正的动量； 系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具有能量为ei的状态用出现的几率来表示。,(2) 声子的准粒子性,(3) 声子概念的意义, 晶体中的原子在平衡位置附近的微振动具有波的形式（称为格波）。 由于原子间的相互作用力，在晶体中产生格波，原子间的作用力符合虎克定律时，格波为简谐波。格波间不发生相互作用，独立存在。 晶体中所有格波都可用倒格子空间中的第一布里渊区内的波矢来描述。 声学

21、波与光学波的区别。前者是相邻原子的振动方向相同，波长很长时，格波为晶胞中心在振动，可以看作连续介质的弹性波；后者是相邻原子的振动方向相反，波长很长时，晶胞中心不动，晶胞中的原子作相对振动。 由于边界条件，使格波发生分立，若晶体中含有个n原胞，每个原胞含有n个原子，则共有3nn个格波，其中3支是声学波，3(n-1)支是光学波，每支包含n个格波。,小 结, 晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的量子单元称作声子，声子具有能量，与光子的区别是不具有真正的动量，这是由格波的特性决定的。 晶格振动的色散关系可以进行测定。,1950年同其夫人艾夫合作，首次提出多声子无幅射跃迁理论“黄里斯理论”。 1951年

22、，首次提出描述晶体中光学位移、宏观电场与电极化三者关系的“黄方程”，1963年拉曼散射实验所证实。,3.4 离子晶体光学模与电磁波的耦合,黄昆(19192005),世界著名物理学家、我国固体物理学和半导体物理学的奠基人、中国科学院院士、2001年度国家最高科学技术奖获得者.。,四十年代，提出固体中杂质缺陷导致光漫散射的理论，六十年证实并得到应用，被称为“黄漫散射”。,1954年，born（1882-1970）和黄昆合作的晶格动力论一部有世界影响的经典科学专著。 波恩在给爱因斯坦的一封信中写道：“我现在正在同一个中国的合作者黄昆博士完成一本晶格的量子力学的书。书稿内容已完全超越了我的理解，我能懂

23、得年轻的黄昆以我们两人的名义所写的东西，就很高兴”。,3.4.1 黄昆方程,长波极限下的声学波和光学波反映不同支格波的特点,即长声学波描述原胞质心的运动,长光学波描述原胞中不同原子间的相对运动.但波长较短时,不同支格波的上述特点变得不明显.我们还将看到,对晶体性质影响最大的格波往往是长声学波和长光学波.,如果 表示正离子m的位移， 表示质量为m 的负离子的位移.有正负离子相对位移所引起的宏观电场强度设为 ，这时作用在离子上的除了准弹性恢复力外，还有电场的作用.但是作用在某离子上的电场不能包括该离子本身所产生的电场.从宏观场强 中减去该离子本身所产生的场强，这叫有效场强 .得到：,这组方程是黄昆

24、于1951年讨论光学波得长波长近似时引进的，称为黄昆方程.,物理意义：,第一个方程代表振动方程.,第二个方程代表极化方程.,3.4.2 lst关系,设黄昆方程的解具有平面波形式，即：,其中 为波矢.位移 与波矢 相垂直的部分构成横波，记为 .位移与波矢平行的部分构成纵波,记为 .存在下列关系：,在所讨论的电介质中，没有自由电荷，电位移d无散，即：,又因为纵向的旋度为0，即：,得：,得：,代表横向振动方程,代表纵向振动方程,所以：,可化为：,代入,（2）对于光频电场，w0，,晶体静电介电常数,可化为：,晶体光频介电常数,得：,这就lst关系.,由于静电介电常数恒大于光频介电常数，所以长光学纵波的

25、频率恒大于长光学横波频率，这是由于长光学纵波伴随有宏观电场，增加了恢复力，从而提高了纵波的频率.,1.,结论：,3.4.3 电磁耦合磁量子,消去w得：,另外：,从而有：,得到：,联立：,利用lst关系，上式可表示为：,这个表达式表明： 是介电常数 的极点， 是介电常数 的零点.,3.4.4 激化激元,晶体的长光学横波振动总是伴随着交变电磁场，因而，应当将黄昆方程与麦克斯韦方程联立求解这个振动系统的振动模.,真空中的电磁波色散关系：,介质中的电磁波色散关系：,求解黄昆方程与电磁波方程的联立方程组就可得到：,从而可求得2支振动的色散关系,和,这种耦合称为极化激元.,由图可以看出：,一支耦合振动模,

26、时为纯to振动模，频率即为无耦合时的横光学波,频率.在中间的k值区域，,代表的振动模是电磁波,与横光学格波的混和模式，无法哪个模是格波，哪个模是电磁波.,是频率的禁区，这样的频率不能穿过晶体.,3.5 声子谱的实验测定,参考：黄昆 书 3.6 节, kittel 8 版 4.5 节 p.bruesch phonons: theory and experiments , 其中第2卷是测量方法。,一. 一般描述 二. 非弹性x-射线散射 三. raman 散射和brilouin 散射 四. 远红外和红外吸收光谱 五. 非弹性中子散射 六. 超声波方法,由于多种原因，我国晶格振动的实验观测相对落后，

27、各种固体教材中介绍该内容相对较少，应该予以弥补。,fcc pb 的振动谱,fcc cu 的振动谱,kohn anomaly: strong lattice-electron coupling induced phonon softening,金刚石的振动谱,naci 的色散曲线,mgb2: tc=39 k, simple hexagonal,同样方法也可以得到一维双原子链晶格振动的态密度， 它们共同的特点是：在布里渊区边界，,范霍夫奇点,晶格振动是影响固体很多性质的重要因素，而且只要 t0k，原子的热运动就是理解固体性质时不可忽视的因素。所以从实验上观测晶格振动的规律是固体微观结构研究的重要内

28、容，是固体物理实验方法的核心内容之一。（晶体结构测定；晶格振动谱测定；费米面测定；缺陷观测；等。）,晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映： 晶格振动色散关系： 态密度：,实验观测就围绕着这两条曲线的测定进行,包括各种因素对它们的影响以及声子的寿命等。主要通过辐射波和晶格振动的相互作用来完成。,3.5.1 一般描述,研究声子的实验方法,far- infrared and (fir) infrared spectroscope (ir) 远红外和红外光谱 raman spectroscope (r) 喇曼光谱 brillouin spectroscope (b) 布里渊散射谱 diffuse x-r

29、ay scattering x 射线漫散射 inelastic neutron scattering (ins) 非弹性中子散射 ultrasonic methods (us) 超声技术 inelastic electron tunnelling spectroscope （iets) 非弹性电子隧道谱,其中最重要、最普遍的方法是：,电磁波,几种辐射波的能量关系如下：,电磁波：,电子或中子：,c 是光速, 是圆频率。,中子质量是电子质量的1836倍,声波：,辐射波照射晶体后，由于和晶格振动发生了能量交换，吸收或者激发出一个声子而改变能量和方向。测出辐射波的能量和方向的变化量，即可确定出一个声子

30、的能量和波矢。,这种过程也可能由几个声子同时参与，但多数情形和一个声子发生相互作用的几率要大的多，称为一级过程。,x 射线是在同振动着的晶格发生作用，因此除了衍射现象外，电磁波还会和晶格发生能量的交换，入射波吸收或者发射一个声子而发生能量和波矢的变化，这就是x射线的非弹性散射(漫散射)。 散射前后服从能量、动量守恒定律：,为区分清楚，这里电磁波频率 和波矢用 表示， 声子用 表示 。,电磁波散射前后频率和波矢变化的测量可以给出某一支声子的色散关系：,3.5.2 非弹性x射线散射,x-射线被声子散射的示意图,振动着的晶格起着一组间距等于的平面的作用，吸收q 声子和发射 q声子导致相同的动量守恒。

31、两个过程在检测器内可以同时观察到，不过他们的频率不同。,x-射线频率的频移等于所含声子的频率。正漂移相当于声子的吸收，负漂移是声子的发射。,由于 x 射线频率远大于声子频率：,我们可以认为：,2是散射角。n 是折射率。,处在 2方向的检测器测量到频率漂移后，根据此式即可确定该声子相对应的 q 值。转动检测器，改变散射角2，允许不同的声子进入图像，不断测量频率漂移，即可给出一系列的 q 和（q）值，把这些点连接起来，即是晶体的某支色散曲线。改变入射波进入晶体的方向，即可测出不同支的色散曲线。,x射线漫散射测出的al晶体的色散曲线,需要说明的几点： 角度通常不满足bragg条件，因此监测器中测不到

32、入射 频率 ，只检测到漂移后的频率，如前面图所示。违背 bragg条件的 x 射线散射类型称为漫散射。 2. 用x射线测量晶格振动的主要困难在于频率漂移难以确定， 因为 。不过 x 光源普遍，且入射光光源强度 大，特别是同步辐射光源的建立为晶格振动的研究带来很 多方便。 3. 我国在这方面开展的工作尚不多，应该引起重视。,电磁波波谱图,x射线,可见光：400760 nm,x 射线用于测量声子能量太高的缺点，可以通过改用能量低的多的可见光光源来实现。随着强度高、单色性好的激光可见光源的出现，大大提高了光散射的灵敏度。,入射光能量虽然降低了很多，但波矢也降低了，和晶体 第一布里渊区半宽度相比又太小

33、了：,因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区心的声子发生相互作用，涉及光学声子的称 raman 散射，涉及声学声子的称brilouin散射。,3.5.3 raman 散射和 brilouin 散射：,例如使用蓝绿光：,非反射方向！,上图中的没有发生频率变化的中心线不是被声子散射的，而是样品中静态杂质引起的瑞利散射。漂移小的显然是声学声子引起的布里渊散射，在长波阶段，声学声子的色散关系是：,代入式后，有：,为避免入射光的干扰，测量常常在是在垂直入射束的角度 下进行，即： 。注意到：,所以，布里渊散射的频率漂移亦很小，测量也比较困难。注意，布里渊散射测出的声速与通常测量的不同，这里的声波不是由

34、外部输入的，而是热激发的、固体中自然存在的。,raman 散射是和光学声子的相互作用，因而： 产生较大的漂移， raman 散射： brilouin 散射： 因为长光学声子的频率基本上与q无关，所以raman 漂移不明显的依赖于散射角。 极化激元虽然是20世纪50年代从理论上预言的，但直到60年代激光喇曼技术出现后才从实验上证实并测定出它的色散关系。,单晶硅 q0 的长光学模在不同温度下的一级喇曼光谱。明显看出发射声子的反应截面要高于吸收声子的反应截面,红移,3.5.4 远红外和红外吸收光谱：,电磁波能量进一步降低是红外和远红外光，其能量和晶格振动光学支处于同一量级，因此它们和晶格振动的相互作

35、用就可能变为对入射光的吸收。 红外吸收一般发生在极性晶体中，是横光学支（to）声子的吸收，它测出的是 纵向光学声子 一般不参加一级红外吸收过程，这是因为光的横波性，光只能和横光学声子发生耦合。 在研究晶体光学支振动上，红外吸收和喇曼散射光谱相互补充、相辅相成。,吸收发生在to声子处，307 cm-1 nacl晶体的吸收峰：162 cm-1,红外吸收和喇曼散射过程能量关系比较,光散射和红外吸收技术的最大优点是设备相对普遍，灵敏度较高。通过对晶格振动的研究，可以了解固体的微结构、相变、以及与杂质和缺陷有关的问题。 但光与晶格振动的耦合主要发生在布里渊区中心附近，因此红外吸收和喇曼散射光谱只能研究布

36、里渊区中心附近的光学振动模，而不能研究整个布里渊区内全部的振动模。后者要由非弹性中子散射来实现。,3.5.5 非弹性中子散射,所以0.1nm 的中子，能量约为82mev，即波长和原子间距相当的中子，其能量也和原子振动的能量相当，因此，使用中子束探测声子时，可以方便的在整个布里渊区内进行，是目前实验研究晶格振动最全面、最重要的手段，两位开辟中子散射技术的带头人因此获得了1994年的nobel物理学奖。 brockhouse ：非弹性中子散射在凝聚态物质中的应用 shull：弹性中子散射在凝聚态物质中的应用,注：0.1nm 的光子，能量约为12400ev,中子的能量波矢关系可以表示为：,虽然光子和

37、中子辐射都可以发生非弹性散射，用来测定声子的频率，但效果是不同的，以2 的波为例： 中子： 光子：,为了分辨散射前后能量的变化，使用中子束要比x光好得多。然而能获得高强度中子束的中子源很少,我国核反应堆中子源尚不能提供足够强度的中子束进行中子散射研究，因此一直处于落后状态，已经提出了建设散裂中子源的规划，在国内开展中子散射实验研究即将迎来高潮。,中子和声子相互作用关系式：,这种非弹性过程的测量一般通过中子三轴谱仪进行，使用单晶样品，在选定的主轴方向上，逐一测定出色散关系。目前绝大多数材料的色散关系都是由非弹性中子散射来完成的。 利用中子非弹性散射研究晶格振动近来获得许多重大进展：例如高温超导机

38、理的研究；软模相变的研究； 。,分别是中子散射束和入射束的波矢。 是中子的质量,频率在微波范围内的声波称之为超声波： 。 晶体中传播的超声波显示出一些有趣的与格波有关的现象。不但可以用来显示格波的特征，而且提供了作为电子器件应用的可能。,这个频率段相应的波长107 m，比晶体中原子间距大的多，因此在超声范围，可以应用连续波近似。,3.5.6 超声波方法：,关于三声子相互作用的超声实验：在典型实验中，换能器a发出一个10mhz的切变波，在圆盘中心和由换能器b发出的15mhz纵波相互作用，通过他们的相互作用产生一个25mhz的纵波，可以在换能器c上测到它。,用于固体动力学研究的各种辐射探针能量波矢

39、比较图：光子；中子；氦原子和超声波（vs=3000 m/s)。光学声子用金刚石数据，声学声子用agci数据，,3.6 晶格的比热容,固体物理学中的比热容一般指定容热容：,其中 为固体物理在温度t时的热力学平均能量.,主要由两分组成,其中 是晶格(离子)热运动的结果，称晶格比热容； 是电子热运动的结果，称为电子比热容。,3.6.1 经典理论的困难,经典理论:能量按自由度均分,(n个粒子, 3n个自由度),杜隆-珀替定律:,摩尔比热容:,是一个与材料性质和温度无关的常数.,实验结果:,3.5.2 晶格比热容的一般公式,由于量子化，使得每个振动平均热运动能量不在是 ，如果忽略零点能，而成为 得：,晶

40、体的总能量为,设表示角频率在 之间的格波数,式中： 是最大的角频率 ， 为晶体中的原子数,而晶体的比热容称为：,晶体比热容成为,3.5.2 爱因斯坦模型,爱因斯坦假设: 晶体中各原子的振动均是相互独立的.且振动频率相同(或者说,晶体中各原子均以一种频率振动),讨论：(1)高温,摩尔比热容,符合杜隆-柏替定律，说明晶体的比热容的量子理论是成功的。,3.6.4 德拜模型,假设：把晶格视为各向同性的连续介质.即把格波视为弹性波，且纵波与横波的传播速率相等，且均为 。,(2) 低温时，,当温度趋近于零时，指数秕幂指数更快的趋近于零，实验给出按t3趋近于零，虽然理论也给出了趋近于零的结果，但比实验给要快

41、。,(3)分析其原因：低温时难以激发起象爱因斯坦温度所对应原那么高频率的振动，而且还是单一频率。这为德拜模型的建立指明了方向。(低温时激发的声子的频率低，波长比较长，可心处理成弹性介质),状态密度：单位频率间隔内的状态数目.用表示.,状态用角频率表示，而角频率往往是波矢量的函数色散关系,为单位波矢间隔内的状态数.对于弹性波，一个波矢对应一个状态，则它可 由q空间中的波矢大小为q的球体内的分立波矢数n求出:,所以：,代入得：,上式中的3是考虑到晶体中格波有3支，一支纵波，两支横波，且波速一样。因晶体是的原子数有nn个，晶体的自由度数就有3nn个。所以有：,其中d为格波的上限频率，也是所有格波中的

42、最高振动频率。,上限频率,n为粒子数密度。,令德拜温度:,最大波矢量,系统总能量：,因此：,讨论：,（1）低温,说明在低温下只有长波声子被激发，而且只有长声学波.因为只有长声学波才能视晶体为弹性介质.,（2）高温,杜隆珀替定律,上限波矢:,低温被激发的声子：,这一性质刚好与电子相反，在第四章我们会注意到首先被激发的电子是波矢比较大的即费米面附近的电子.,3.7.1 固体的物态方程,有 df=du-d(ts)=pdvsdt,物态方程： f(p, v, t)=0,自由能的定义： f=uts,热力学第一定律： du=tdspdv,3.7热膨胀和固体的物态方程,由统计物理可知，f2=kbtlnz,晶格

43、自由能 f = f1+f2,f1=u(v)只与晶体的体积有关，而与温度（或晶格 振动）无关， u(v)实际上是t=0时晶体的内能,f2与晶格振动有关，即与温度有关,z：晶格振动的配分函数,对于频率为j的格波，其配分函数为,晶格自由能为：,系统的总配分函数：,其中,是表征频率随体积变化的量，设与j无关,晶格状态方程：, grneisen const.,与晶格振动的非简谐性有关,3.7.2 热膨胀,，对晶格动力学无影响，取令：,则：,按玻尔兹曼统计，平均位移是：,线胀系数:,在近似下，线脉系数与温度无关，在更高级近似下，线胀系数与温度有关.,morse 势,保留到3次：,保留到4次：,3.8 晶体热传导,晶格振动理论是一种简谐近似，即在晶体的势能中只考虑与原子位移平方有关的简谐项.按这种理论，各种格波是独立的，某一格波处于某一能级不会衰减，这样晶格振动的热平衡就无法实现.在实际晶体中，势能的非谐振项虽很小，但总存在，由于非谐振项的作用，简谐振子不在是独立的，相互间要发生作用，即声子间发生能量交换.这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于相互作用，这种频率的声子将会转换成另一种频率的声子，即一种频率声子要湮灭，另一种声子要产生，经过一定的时间后，