矢量分析2014-1.ppt

1、1,矢量分析 哈密顿算子 场论,2,场论的教学内容包括：方向导数、梯度、散度、旋度（要求掌握这4种计算）、哈密顿算子的基本概念与简单推导。,3,第一节 矢性函数,自由矢量 二矢量相等的条件是它们的模和方 向都相同(即与起点无关),1. 基本概念,矢量 一个有大小和方向的物理量称为矢量,常矢 模和方向都不会改变的矢量,标量 一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量,变矢 模和方向或其中之一会改变的矢量,4,矢量的表示方式,矢量的大小或模 A,单位矢量,矢量几何表示：有向线段,矢量数学表示：A，B,5,x,z,y,矢量用坐标分量表示,6,（1）矢量的加减法,两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边

2、的平行四边形的对角线,矢量的加法符合交换律和结合律,交换律 结合律,矢量的代数运算,7,（2）标量乘矢量,（3）矢量的标积（点积）,矢量的标积符合交换律,8,9,（4）矢量的矢积（叉积）,矢量的矢积的举例：力矩,10,（5）矢量的混合运算,11,设有数性变量t和变矢A，如果对于t在某个范围G内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量t的矢性函数，记作,2 矢性函数的定义,并称G为函数A的定义域。,12,矢性函数用坐标分量表示,13,3. 矢端曲线 定义,当t变化时，矢量A(t)的终点M绘出的曲线l，叫做矢性函数A(t)的矢端曲线（矢性函数A(t)的图形）。 A=A(t) o

3、r A= A(t) iA(t)j+ A(t)k为此曲线的矢量方程。,14,矢性函数A(t)的起点取坐标原点， A(t) 实际上成为其终点M(x,y,z)的矢径。,矢径 起点在坐标原点o，终点为M的 矢量 叫做点M的矢径，用r表示,A(t)的三个坐标相应于其终点M的三个坐标,就是曲线l的参数方程,r,x,z,y,l,M,15,例：已知圆柱螺旋线的参数方程为x=acos; y=asin; z=b矢量方程为r=acosi+asinj+bk,3. 矢性函数的极限和连续性(自学),16,第二节 矢性函数的导数和微分,1. 矢性函数的导数,导矢的几何意义 导矢不为零时，在点M处的切线上，其方向恒指向对应t

4、值增大的方向,17,2. 矢性函数的微分,的几何意义 为一个切向的单位矢量,3. 矢性函数的导数公式,18,场,场的概念,在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。,标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标 的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标 量场。如温度场,电位场,高度场等。,矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.,19,场分布的形象描述：等值线（面）和场线（有向曲线族）,20,形象描绘场

5、分布的工具-场线,标量场-等值线(面).,其方程为,等值线,例：数量场,空间区域是以原点为中心， 半径为R的球形区域内。,通过M（0，0，R/2）的等值面,等值面为,或,21,矢量场-矢量线,其方程为,三维场,矢量线,设M（x,y,z）为矢量线上任一点，设其矢径为 则微分 场矢量为,矢量线：在矢量线上的每一点处，矢量线都与该点处的场矢量A相切。,矢量线微分方程,22,例：电场,其中， 为介电常数， 为M点的矢径，求电场强度E的矢量线。,解：矢量场函数,力线微分方程：,点电荷Q的电力线分布,23,哈密顿算子,具有矢量和微分双重性质,24,运算规则,25,标量场的方向导数和梯度,标量场的方向导数,

6、方向导数的定义,26,的极限存在，则称此极限为函数u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为,27,若函数u=u(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数u在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为,证明：M点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函数u在M0处可微，故,28,两边除以，可得,当趋于零时对上式取极限，可得,29,解,在M处,L的方向余弦为,30,定理2 若在有向曲线C上取定一点M0作为计算弧长s的起点，并以C的正向作为s增大的方向；M为C上的一点，在点M处沿C的正向作一与C相切的射线l，则在M处，当函

7、数u可微，曲线C光滑时，函数沿l方向的方向导数就等于函数对s的全导数，即有,证明略。详见课本P32.,31,32,定理3 若在点M处函数u可微，曲线C光滑，有,函数u在点M处沿曲线C（正向）的方向导数与函数u在点M处沿切线方向（指向C的正向一侧）的方向导数相等。,推论：,33,解,在M处,其方向余弦为,34,2. 标量场的梯度,标量场u(x, y, z)在l方向上的方向导数为,在直角坐标系中，令,35,矢量l是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢量。 由上式显然可见，当l与G的方向一致时，即cos(G, l)=1 时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为,36,在标量场u(M)中的一点M处，其方向为函数u(M)在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量G，称为标量场u(M)在M点处的梯度，用gradu(M)表示。在直角坐标系中， 梯度的表达式为,梯度用哈密顿微分算子的