盐城市南京市2020届高三年级数学第一次模拟考试解析版

1、1 南京市南京市、盐城市、盐城市 2020 届高三年级届高三年级第一次模拟考试第一次模拟考试 数数 学学 2020.01 注意事项：注意事项： 1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满 分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题纸内试题的答案写在答题 纸 上对应题目 的答案空格内考试结束后，交回答题卡 参考公式：参考公式： 柱体体积公式：vsh=，椎体体积公式 1 3 vsh=，其中s为底面积，h为高. 样本数据 123 , n x x xx的方差() 2 2 1 1 n i

2、 i sxx n = = ，其中 1 1 n i i xx n = = . 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合()0,a =+，全集ur=，则 ua =_. 【答案】(,0 【解析】集合的补集 【点评】考查集合的补集运算，该题属于基础题型。 2. 设复数2zi=+，其中i为虚数单位，则z z=_. 【答案】5 【解析】2zi=+，2zi=， ()() 2 224-5zziii=+=， 【点评】考查共轭复数的概念和复数的四则运算，属于基础题型。 3. 学

3、校准备从甲、乙、丙三位同学中随机选两位同学参加问卷调查，则甲被选中的概率为_. 【答案】 2 3 【解析】列举法：甲乙、甲丙、乙丙，甲被选中的概率为 2 3 【点评】考察古典概型，属于基础题。 2 4. 命题“,cossin1r +”的否定是_命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】其否定为“r ，cossin1+”，为真命题 【点评】考察命题的否定，属于基础题型。 5. 运行如图所示的伪代码，则输出的i的值为_. 【答案】6 【解析】0,0si=，0,1si=，1,2si=，3,3si=， 6,4si=，10,5si=，15,6si= 输出6i = 【点评】考查流程图知识点，属于基础

4、题型。 6. 已知样本7,8,9, , x y的平均数是9，且110 xy =，则此样本的方差是_. 【答案】2 【解析】由 789 9 5 110 xy xy + + = = ，解得10,11xy=或11,10 xy=，则方差 22222 2 (79)(89)(99)(109)(119) 2 5 s + = 【点评】考查平均数及方差的计算，属于基础题型。 7. 在平面直角坐标系xoy中，若抛物线 2 4yx=上的点p到其焦点的距离为3，则点p到点o的距离为 _. 【答案】2 3 【解析】设点p为 00 (,)xy，根据抛物线的性质得 0 2 3 2 x +=，即(2,2 2)p，得 22 2

5、(2 2)2 3op =+= 【点评】考查抛物线的性质，属于基础题型。 8. 若数列 n a是公差不为 0 的等差数列， 125 ln,ln,lnaaa成等差数列，则 2 1 a a 的值为_. 【答案】3 【解析】由 1 lna， 2 lna， 5 lna成等差数列， 0 0 10 1 print s i while s ssi ii endwhile i + + 3 得 222 2152152151111 1 2lnlnlnlnln()(4 ) 2 aaaaaaaaaada adad=+=+=+=，因此 21 11 13 22 3 11 22 ddd aad aa dd + + = 【点评

6、】考查数列的基本量计算，属于基础题型。 9. 在三棱柱 111 abcabc中，点p是棱 1 cc上一点，记三棱柱 111 abcabc与四棱锥 11 pabb a的体积分 别为 1 v与 2 v，则 2 1 v v =_. 【答案】 3 2 【解析】设 abc saab ,=的高为h，三棱柱的高为b，则abhvahbv 3 1 , 2 1 21 =，所以 3 2 1 2 = v v 【点评】考察三棱柱以及棱锥的体积，需要换底。 10. 设函数( )sin()(0,0) 2 f xx =+的图像与y轴交点的纵坐标为 3 2 ，y轴右侧第一个最低点的 横坐标为 6 ，则的值为_. 【答案】7 【

7、解析】函数过 2 3 , 0，( ) 3 , 2 , 0, 2 3 sin, 2 3 0 = =f 由 k xkxx 2 6 5 ,2 23 , 1 3 sin+=+=+= + 令7, 66 7 , 1= xk 【点评】考察正弦定理的最值问题，可以回归基本法 11. 已知h是abc的垂心（三角形三条高所在直线的交点） ， 11 42 ahabac=+，则cosbac的值为 _. 【答案】 3 3 【解析】设ab上的高为ce，acabacabah 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 +=+=，令adab = 2 1 ，d为中点 4 acadah 2 1 2 1 +=，由三点共线定理可得，cd

8、h,三点共线，所以ed,为同一点。 () 22 2 1 2 1 2 2 1 2 1 acadacadadacacadbcah+= += 而 2 adacad=，所以 3 3 cos,3,3 22 = ac ad bacacadacad 【点评】考察垂心以及三点共线定理，求解数量积的时候需要用到垂影。 12. 若无穷数列cos() ()nr是等差数列，则其前 10 项的和为_. 【答案】10 【解析】()cosn为周期函数，又为等差数列，所以只能为常数列，即2k=，() 10 cos1,10ns= 【点评】偏难，需要了解等差数列的特点以及与余弦函数之间的关系，比较灵活。 13. 已知集合 ( ,

9、 )16px y x xy y=+=，集合 12 ( , )qx y kxbykxb=+，若pq，则 12 2 1 bb k + 的最 小值为_. 【答案】4 【解析】根据题意，画出集合p表示的图像，第一象限为圆，第二象限为双曲线，第三象限无图像，第四 象限为双曲线，集合q表示的图像为两直线间的所有点，所求式表示两直线间的距离，则此距离的最小值 为四分之一圆的切线与与双曲线渐近线之间的距离，正好为四分之一圆的半径4 第一象限： 22 16xy+= 切线方程：4 2yx= + 第二象限： 22 16xy+= 渐近线方程：yx= 第四象限： 22 16xy= 渐近线方程：yx= 【点评】本题主要考

10、察数形结合的思想，综合了圆锥曲线方程，圆的方程，线性规划与直线间距离的知 识，总体计算量较小，难度适中。 5 14. 若对任意实数(,1x ，都有 2 1 21 x e xax + 成立，则实数a的值为_. 【答案】 1 2 【解析】令( ) 2 21 x e f x xax = + ，则( ) () () () 2 2 211 21 x exax fx xax + = + 1当0a =时，( )11 2 e f=，不合题意； 2当0a 时，( )f x在(,1上单调递增，又( )01f= ( )( )101ff=，不合题意 3当0a 时，( )f x在(),21a+上单调递增，在()21,1

11、a +上单调递减 又( )10 22 e f a = () 21 210 22 a e fa a + += + 1a 由题意需有() 21 211 22 a e fa a + += + ，令()211,1ta=+ ，则10 t et 令( )1 t tet= ，则( )1 t te= ( )t在()1,0上单调递减，在()0,1上单调递增 ( )t在0t =处取得极小值也是最小值( )00= ( )0t，故当且仅当0t =，即 1 2 a = 时满足题意 综上所述，实数a的值为 1 2 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查数形结合思想，难度较大。 二、二、解答解答题：本大题共题：本大题共 6

12、小题，共小题，共 90 分分解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案请把答案 填写在答题卡相应位置上填写在答题卡相应位置上 15.（本小题满分 14 分） 已知abc满足sin 2cos 6 bb += ， （1）若 6 cos 3 c =，3ac =，求ab 6 （2）若 0, 3 a ，() 4 cos 5 ba=，求sin a. 【解析】 （1）sin2cos 6 bb += ， 31 sincos2cos 22 bbb+=， 33 sincos0 22 bb=， 13 3sincos0 22 bb = ，3sin0 3 b =

13、 ，()0,b， 2 , 333 b ，0 3 b =， 3 b =， 6 cos 3 c =，()0,c，sin0c ， 2 3 sin1cos 3 cc=，由正弦定理 sinsin bc bc =， 3 sin 3 32 sin3 2 c cb b = （2）由（1）得 3 b =，0, 3 a ，0 3 ab ，()sin0ab，()() 4 coscos 5 baab=， ()() 2 3 sin1cos 5 abab= = ,()sinsinaabb=+ ()() 3 1434 33 sincoscossin 5 25210 abbabb =+= += 【点评】本题主要考察了正弦定理

14、在三角形中的应用和三角函数角的变换，属于中等难度. 16. （本小题满分 14 分） 如图，长方体 1111 abcdabc d，已知底面abcd是正方形，点p是侧棱 1 cc上的一点. （1）若 1/ / ac平面pbd，求 1 pc pc 的值； （2）求证： 1 bdap. 【解析】 （1）连结ac交bd于点o，连结op， 1/ ac平面pbd. 1 ac 平面 1 acc 面 1 acc面pbdpo= 1/ acpo 在 1 acc中， 1/ acpo， o是正方形abcd对角线的交点， 7 aoco=， 1 c pcp=， 1 1 pc pc = （2）由（1） ，正方形abcd中，

15、bdac， 在长方体 1111 abcdabc d中， 1 a a 平面abcd， bd 平面abcd 1 a abd， bdac， 1 a abd ac 平面 11 a acc 1 a a平面 11 a acc 1 a aaca= bd 平面 11 a acc 1 ap 平面 11 a acc 1 bdap 【点评】本题主要考查立体几何中直线与平面平行，直线与平面垂直的知识点第一问直接利用线面平行 的性质定理证明即可，第二问关键在于通过证明线面垂直来证明两直线垂直，需要用到直线于平面垂直的 性质，整体难度中等 17. （本小题满分 14 分） 如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块

16、铁皮做一个圆柱形油桶，具体做法是从o中裁剪 出两块全等的圆形铁皮p与 q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形abcd做圆柱的侧面（接缝忽略不计） ， ab为圆柱的一条母线，点ab、在o上。点p q、 在o的一条直径上， / /abpq，p、q分别与 直线bcad、相切，都与o内切。 （1）求圆形铁皮p半径的取值范围； 8 （2）请确定圆形铁皮p与 q半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值） 【解析】 （1）由题意，当 cd落在圆上时， ad=2pr ,ab=8-4r, (8-4r 2 )2+(pr)2=16,r = 16 4+p 2 2 16 0 4 r + （2） 2 2 2 max 2 ( )

17、(84 ), ( )1612 16 0,( )0 4 16 ( )() 4 vf rrr frrr rfr f xf = = + = + 【点评】本题主要考察函数定义域的求解，圆柱体积的求解和导数极值的简单运用。 18. （本小题满分 16 分） 设椭圆c： 22 22 1(0) xy ab ab += 的左右焦点分别为 12 ,f f，离心率是e，动点 00 (,)p xy在椭圆c上运动，当 2 pfx轴时， 00 1,xye= . （1）求椭圆c的方程； （2）延长 12 ,pf pf分别交椭圆c于点,a b（,a b不重合）.设 1122 ,affp bff p= ，求 + 的最小值.

18、【解析】 （1）由题意可知 c e a =， 2 pfx轴， 因为 0 1xc=,将 0 ( ,)c y代入椭圆方程得 2 ( ,) b p c a ，则 2 bc aa =,则 2222 1,2babc=+= 椭圆方程 2 2 1 2 x y+= （2）设点 00 (,)p xy, 11 ( ,)a x y, 22 (,)b xy,已知点 12 ( 1,0),(1,0)ff 由已知 11 affp=则有 10 10 1xx yy = = 代入 2 20 0 (1) ()1 2 x y + +=得到 0 13 22 x = 同理得到 22 bff p=,则 2200 (1,)(1,)xyxy=

19、, 9 则 20 20 1xx yy = + = ,则 0 31 22 x = 则有 11 6 +=,则有 1112 ()() 63 + 当且仅当时“ 1 3 =”时取等号 【点评】向量与椭圆结合，运用相关点法（点参法）找到定值，利用基本不等式求最值，计算量不大，在 往年南京模拟考试中涉及到。 19.（本小题满分 16 分） 定义：若无穷数列 n a满足 1nn aa + 是公比为q的等比数列，则称数列 n a为“( )m q数列”. 设数列 n b中 13 1,7bb=. （1）若 2 4b =，且数列 n b是“( )m q数列”，求数列 n b的通项公式； （2）设数列 n b的前n项和

20、为 n s，且 1 1 2 2 nn bsn + =+，请判断数列 n b是否为“( )m q数列”； （3）若数列 n b是“(2)m数列”，是否存在正整数,m n，使得 40394040 20192019 m n b b ？若存在，请求出所有 满足条件的正整数,m n；若不满足，请说明理由. 【解析】 （1） 123 2132 1, 4, 7 3, 3 bbb bbbb = = 又 1nn bb + 是( )m q数列 1 3 nn bb + = 数列 n b是以 1 为首项，3 为公差的等差数列. ()11 332 n bnn= += （2） 1 1 1 2 2 1 2(1) (2) 2

21、 nn nn bsn bsnn + =+ =+ 以上两式作差得： 1 1 2 2 nnn bbb + = 10 1 1 11 3( 44 1 4 =3 1 4 nn n n bb b b + + = ） 又 1 13 44 b = 数列 1 4 n b 是以 3 4 为首项，3 为公比的等比数列 11 131311 3, 33 444444 nnn nn bb =+=+ 1 1 21 1 333 442 3 nnn nn nn nn bb bb bb + + + + = = 数列 n b是( )m q数列. （3） 数列 n b是(2)m数列. 3221 2 ()bbbb= 解得 2 3b =

22、 1 121 () 22 nn nn bbbb = 由累加法可得：21 n n b= 1 1 2 2 211 22 2121 213 44 2121 1 n n nn n n n nn n b b b b mn + + + + =+ =+ =+ 原式等价于 403914040 2 2019212019 n + 即 2019 212019 2 n 10, 11nm= 【点评】19 题是数列新定义问题，三个小题都是考察数列通项公式的求法，第一小问考察等差数列通项公 式的求法，第二小问考察构造法求数列通项公式，第三题考察累加法求数列通项公式及数列与不等式综 合，属中档难度。 11 20. （本小题满

23、分 16 分） 若函数 ( )() xx f xeaemx mr = 为奇函数，且 0 xx=时( )f x有极小值 0 ()f x. （1）求实数a的值； （2）求实数m的取值范围； （3）若 0 2 ()f x e 恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】 （1）( )f x是奇函数， ( )()()()10 xxxxxx f xfxeaemxeaemxaee +=+=+= 1a= （2）( ) xx f xeemx = 设( )( ) xx g xfxeem =+ 因为( ) xx g xee=单调递增，又( )00 g =， 所以( )fx在(,0)单调递减，在(0,)+单调递增 故需(

24、 )min(0)20fxfm=，即2m . 当2m 时， 1 (ln)0fm m = 所以 0 (0,ln)xm，使 0 ()0fx= 即( )f x在 0 (0,)x单调递减，在 0 (,)x +单调递增，即函数有极小值() 0 f x 所以2m. （3）由（2）得： () 00 0 0 xx fxeem =+=， 00 xx mee=+ 00 000 ()(1)(1) xx f xx ex e=+ 令( )(1)(1) xx h xx ex e=+，(0,ln)xm 1 ( )()0 x x h xxe e =， ( )h x在(0,ln)m单调递减，又 2 (1)h e = ， 0 01

25、x 12 1 2me e + 【点评】本题考察了函数的奇偶性、极值问题以及恒成立问题。 第一小问比较简单，直接利用函数奇函数性质即可求得； 第二小问通过极值问题求参数范围，要注意零点存在性定理的应用； 最后一小问考察函数恒成立问题，通过构造函数求自变量取值范围从而去求参数的取值范围，有一定难 度。 南京市南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学附加题数学附加题 2020.01 注意事项： 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 3答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案 空格内考试结束后

26、，交回答题卡 21 【选做题】在 【选做题】在 a、b、c、d 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡指定区域分请在答卷卡指定区域 内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 a. 选修 4-2:矩阵与变换 已知圆c经矩阵 3 32 a 变换后得到圆 c 22 13xy+=，求实数a的值 【答案】2a = 【解析】设圆c上点为(), x y，变换后为() ,x y， 3 32 a y x = y x 3 32 axyx xyy += = ，(),x y在圆 c 上， 22 13xy+=

27、，()() 22 33213axyxy+=， 即圆c的方程为()() 222 96121313axaxyy+=， 2 913 612 a a += = ，解得2a =. 【点评】这个题考查了矩阵变换及圆的方程，属于简单题。 b. 选修 4-4:坐标系与参数方程 13 在极坐标系中，直线cos2 sinm+=被曲线4sin=截得的弦为ab，当ab是最长弦时，求实数m 的值。 【答案】4m = 【解析】由cos2 sinm+=得直线方程为2xym+= :4sinc=， 2 4 sin=，即 22 4xyy+= () 2 2 24xy+=，当直线过圆心时截得的弦ab最长 将()0.2代入直线方程得：

28、02 2m+ =，解得4m = 【点评】这个题考察了把极坐标化成直角坐标，及圆的弦长问题属于简单题. 22 （本小题满分 10 分） 如图， 11 ,aa bb是圆柱的两条母线， 11 abab、分别经过上下底面圆的圆心 1 ,oo cd、是下底面与ab垂直的 直径，2.cd = （1）若 1 3aa =，求异面直线 1 ac与 1 b d所成角的余弦值； （2）若二面角 11 acdb的大小为 3 ，求母线 1 aa的长. 【答案】 （1） 7 11 ； （2）3 【解析】 （1）由题意得圆半径=1r，连 1 oo,以od为x轴，ob为y轴， 1 oo为z轴，建立空间直角坐标系 oxyz，则() 11 (1,0,0),0,1,3 ,(0, 1,3),( 1,0,0)dbac 则()() 11 1,1, 3 ,= 1, 1, 3acb d= 11 = 1+1+911,1 1911acb d=+