大学物理A 第九章 静电场

1、大学物理A(二),本期的三大部分内容: 1、电磁学：包括第九、十、十一和十二章 2、光学：第十四章 3、量子物理：第十六章,数理学院物理系,第九章 静电场,静电场相对于观察者静止的电荷产生的电场; 特点场强不随时间变化。 稳恒电场电荷在运动，但电荷分布不随时间改变，空间的电场不随时间改变; 两个物理量： 场强、电势； 一个实验规律：库仑定律； 两个定理： 高斯定理、环流（路）定理,二、电荷守恒定律： 在一个孤立系统内发生的过程中，正负电荷的代数和保持不变。,电荷的量子化效应：Q=Ne,一、电荷,电荷的种类：正电荷、负电荷,电荷的性质：同号相斥、异号相吸,电量Q：电荷的多少 单位：库仑 符号：C

2、,9-1 电荷的量子化 电荷守恒定律,库仑 (C.A.Coulomb 1736 1806）,法国物理学家，1785年通过扭秤实验创立库仑定律, 使电磁学的研究从定性进入定量阶段。电荷的单位库仑以他的姓氏命名.,9-2 库仑定律,真空中两个静止的点电荷之间的作用力（静电力），与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线，满足同性相斥异性相吸规律。,库仑定律,hat,库仑定律数学表达式包含同性相斥，异性相吸这一结果。,数学表达式,离散状态,作用于某点电荷上的总静电力，等于其它点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。,静电力的叠加原理,（合力）,电场,

3、研究方法：,能法引入电势 V,力法引入场强,对外表现：,a.对电荷（带电体）施加作用力 b.电场力对运动电荷作功,一、场强的定义,电场,电荷,电荷,9-3 电场强度（场强）,点电荷系,二、场强叠加原理,连续带电体,矢量求和在什么条件下可转变为代数求和？,1. 点电荷的电场（计算场强的基础）,三、场强的计算,发出电场线,汇聚电场线,设真空中有n个点电荷q1, q2, qn，则P点场强,场强在坐标轴上的投影（满足正交分解与合成）,2. 点电荷系的电场,多个矢量叠加,例1电偶极子,如图已知：q、-q、 rl， 电偶极矩,求：A点及B点的场强,解：A点 设+q和-q 的场强 分别为 和,定义：两个相距

4、很近的等量异号点电荷组成的系统,对B点：,3. 连续带电体的电场,体分布,线分布,面分布,带电元随不同的电荷分布应表达为,体电荷分布,面电荷分布,线电荷分布,连续带电体的电场,解：,带电元：dq=dx,三个变量，要统一 到一个变量上。,例、真空中有均匀带电直线，长为L，总电量为Q。 线外有一点P，离开直线的垂直距离为a，P点和直线两端连线的夹角分别为1和2 。求P点的场强。,？,当直线长度,无限长均匀带电直线的场强,讨论,例题：求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q , L, a,方向：x轴正向。,例题： 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。已知： q 、a （半径）、 x,当dq位

5、置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。,由对称性得轴上任一点的电场方向沿轴线,讨论,（2）当x=0,即在圆环中心处，,（3）当 时，,这时可以把带电圆环看作一个点电荷，这正反映了点电荷概念的相对性,总结出解题步骤：,2. 构造带电元,6. 选择积分变量，计算结果,1. 建立坐标系,4.确定 的方向,3.确定 的大小,5. 将 投影到坐标轴上,1.求均匀带电半圆环圆心处的 ，已知 R、,带电元dq产生的场,根据对称性,课堂练习：,取带电元dq则,由对称性,方向：沿Y轴负向,2.求一均匀带电细圆弧圆心处的场强，已知 ,R,例、 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。 已知：q、 R、 x

6、求：Ep,解：细圆环所带电量为,由上题结论知：,讨论,1. 当Rx,（无限大均匀带电平面的场强）,2. 当 Rx,例5 两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度为，计算场强分布。,两板之间：,两板之外： E= 0,解：由场强叠加原理,四带电体在外电场中所受的力,课堂讨论：如图已知q、d、S,求两板间的作用力,解：力的矢量和,力矩,力矩总是使电矩 转向 的方向，以达到稳定状态,可见： 力矩最大； 力矩最小。,方向：均为垂直纸面向里,在电场中画一组曲线，曲线上每一点的电场方向沿着该点切线，这一组曲线称为电场线。,垂直通过单位面积的电场线数目称为电场线密度。规定电场中某点的场强的大小等于该点的电场线密

7、度,一、电场的图示法电场线,9-4 电通量 高斯定理,大小：,：沿切线,=电场线密度,电场线性质：,2、任何两条电场线不相交。,1、不闭合，不中断，起于正电荷、止于负电荷；,总结：,点电荷的电场线,正电荷,负电荷,+,一对等量异号电荷的电场线,一对等量正点电荷的电场线,+,+,一对异号不等量点电荷的电场线,2q,q,+,带电平行板电容器的电场,+,+,+,+,+,+,+,+,+,通过电场中某一面的电场线数称为通过该面的电通量, 用e表示。,均匀电场 S与电场强度方向垂直,均匀电场，S 法线方向与电场强度方向成角,二、电场强度通量（电通量）,电场不均匀，S为任意曲面,S为任意闭合曲面,规定：法线

8、的正方向为指向 闭合曲面的外侧, 即外法线。,求均匀电场中一半球面的电通量。,课堂练习,在真空中，通过的任一闭合曲面S的静电场强度的通量e ,等于该闭合曲面内所包围的电荷电量的代数和除以0 而与闭合曲面外的电荷无关。,三、高斯定理,高斯定理的正确性说明,(1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内,与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。说明点电荷q能发出（或会聚） q/0条电场线。,讨论：,(c)若封闭面不是球面，积分值不变。,电量为q的正电荷有q/0条电场线由它发出伸向无穷远,电量为q的负电荷有q/0条电场线终止于它,(b)若q不位于球面中心，积分值

9、不变。,(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外，面内无电荷。,因为从一边进入面内的电场线必然在面的另一边穿出，因为电场线不会在无电荷的地方中断。,(3) 场源电荷为点电荷系(或电荷连续分布的带电体)， 高斯面为任意闭合曲面,推广,3、高斯定理的理解,(a) 是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷（面内外电荷）共同产生的矢量和，而穿过曲面的通量由曲面内的电荷决定。,因为曲面外的电荷（如 q4 ）对闭合曲面提供的通量有正有负才导致q4对整个闭合曲面贡献的通量为零，但对总电场有贡献。,(b) 对连续带电体，高斯定理为,表明电场线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。,静电场是有

10、源场,表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的尾。,课堂讨论,q,1立方体边长 a，求,位于一顶点,q,移动两电荷对场强及通量的影响,2如图讨论,1. 利用高斯定理求某些曲面电通量 2. 当场源分布具有高度对称性时求场强分布,四、高斯定理的应用,(2)作高斯面，计算电通量及,高斯面要求： a.曲面必须通过待求场强的点，要简单容易计算面积； b.面上或某部分曲面上各点的场强大小相等； c.面上或某部分曲面上各点的法线与该处的方向一致或垂直或是成恒定角度，以便于计算。,电荷分布为球对称，即距球心距离为 r 处各点的场强大小相等，方向沿各自的径向。例如：均匀带电球面和均匀带电球体

11、等。 电荷分布为轴对称性且无限长，即与带电直线距离相等的同轴圆柱面上各点场强大小相等，方向均沿径向。 例如：无限长均匀带电直线、无限长均匀带电圆柱面（或圆柱体）和均匀带电无限大平面 。,常见类型：,(3) 应用高斯定理求解出E的大小。 (4) 说明 E 的方向。,解: 对称性分析,作高斯面球面,电通量,电量,用高斯定理求解,例1. 均匀带电球面的电场。已知R、 q0,R,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,q,均匀带电球面内部电场为零，其外部电场相当于将球面电荷集中在球心的点电荷产生的。,解： rR,场强,例2. 均匀带电球体的电场。已知q，R,R,rR,电量,高斯定理

12、,场强,电通量,均匀带电球体电场强度分布曲线,均匀带电球体内部各点电场与距球心距离成正比，其外部电场相当于将球体电荷集中在球心的一个点电荷产生的。,解:,具有面对称性,高斯面: 圆柱面。上下底面关于平板对称。根据对称性，S1, S2上场强大小相等。,例3. 均匀带电无限大平面的电场，已知,解：场具有轴对称性 高斯面：圆柱面,例4. 均匀带电圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度带电量为 ,(1) r R,(2) r R,练习：求均匀带电无限长圆柱体的场强分布，已知R，,电荷体密度,:圆柱体单位长度上的电荷,9-5静电场的环路定理 电势能,一静电场力做功,习惯上，,先假定电场由点电荷产生。,有向线元,

13、如果试探电荷运动一周，功为多少？,推广,(与路径无关),结论 试探电荷在静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关.,在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分恒为零。（静电场强的环流恒为零）。 静电场的环路定理,静电场的两个基本性质：有源且处处无旋,二、静电场的环路定理,静电场的环路定理表明：静电场的电场线不是闭合的。（可以用反证法证明）,电场由空间带电体电荷产生,b点电势能,则ab电场力的功,Ea 属于q0及 系统共同所有 。 简称电荷在电场中某点的电势能,注意,保守力的功=相应势能增量的负值,所以, 静电力的功=静电势能增量的负值,原则上参考点可以任意选取,三

14、、电势能,9-6 电势 电势差,一、电势,定义电势差,电场中任意两点 的电势之差（电压）,a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移到b时，电场力所做的功。,显然，电势能和电势都是标量（为什么？）。,将电荷q从ab电场力的功,注意,1、电势是相对量，电势零点的选择原则上是任意的。 2、两点间的电势差与电势零点选择无关，是绝对的。 3、电势零点的选择问题。,初末两点电势差,二、点电荷电场中的电势分布,如图 P点的场强为,由电势定义得,讨论,对称性,大小,以q为球心的同一球面上的点电势相等,根据电场叠加原理场中任一点的,若场源为q1 、q2 qn的点电荷系,场强,电势,各点电荷单独存在时在该点电势

15、的代数和,三、电势叠加原理,由电势叠加原理，P的电势为,连续带电体的电势,由电势叠加原理,点电荷系的电势,根据已知的场强分布，按定义式计算,由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算,电势计算的两种方法：,例题：,例：求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：R、q,解:方法一 微元法,方法二 定义法,由电场强度的分布,例: 求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q,解:,由高斯定理求出场强分布,由定义,均匀带电球面内部（包括球面）电势处处相等，外部区域电势相当于电荷集中在球心的点电荷的电势。,例: 求等量异号的同心带电球面的电势差；各球面电势如何？ 已知+q 、 -q、RA 、RB,解: 由高斯定理,由电势差定义,利用电势叠加原理也可以得出结果。,求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所做的功,例 在静电场中，下列说法中正确的是 （A）带正电荷的导体其电势一定是正值 （B）等势面上各点的场强一定相等 （C）场强为零处电势也一定为零 （D）场强相等处电势不一定相等,例 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处为电势零点，则 M点的电势为,一、等势面：静电场中，电势相等的点所组成的曲面。,规定：相