《椭圆的简单几何性质一》

1、.,椭圆的简单几何性质(1),.,复习：,1.椭圆的定义:,到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程是：,3.椭圆中a,b,c的关系是:,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,.,二、椭圆 简单的几何性质,-axa, -byb 知 椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中,1、范围：,.,关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点对称,二、椭圆的对称性,.,2、对称性：,从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把

2、y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。,.,3、椭圆的顶点,令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,.,根据前面所学有关知识画出下列图形,（1）,（2）,A1,B1,A2,B2,B2,A2,B1,A1,.,4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量),离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,1离心率的取值范围：,2离心率对椭圆形状的影响：,0e1,1）e 越接近

3、 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆,3e与a,b的关系:,思考：当e0时，曲线是什么？当e1时曲 线又是 什么？,.,.,|x| a,|y| b,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. ab,|x| b,|y| a,同前,(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),同前,同前,同前,(0e1),(e越接近于1越扁),.,例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,

4、它的长轴长是： 。短轴长是： 。 焦距是： 。 离心率等于： 。 焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于： 。,10,6,8,60,解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程 明确a、b,2、确定焦点的位置和长轴的位置,.,例2 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程,分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置,椭圆的标准方程为： ；,椭圆的标准方程为： ；,解：（1）当 为长轴端点时， ， ，,（2）当 为短轴端点时， , ，,综上所述，椭圆的标准方程是 或,.,已知椭圆 的离心率 ，求 的值,由 ，得：,解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 ,当椭圆的

5、焦点在 轴上时， ， ，得 ,由 ，得 ，即 ,满足条件的 或 ,练习2：,.,例2求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦点将长轴分成：的两部分，且经过点,解： 方法一：设方程为mx2ny21（m0，n0，mn），将点的坐标方程，求出m1/9,n1/4。,方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 ，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为,注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： 定位； 定量,或,或,.,例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程

6、： （3）长轴长为6,中心O,焦点F,顶点A构成的角 OFA的余弦值为2/3.,解：由题知a=3 cosOFA=,c=2，b2=a2-c2=5,因此所求椭圆的标准方程为,.,与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离 心率为,例3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：,解：由已知得所求椭圆2c=2,a=5，b2=a2-c2=20,故所求椭圆的标准方程为：,若将题设中的“焦距”改为“焦点”，结结论又如何？,.,例4、已知F1是椭圆的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。,解：设椭圆的方程为：,又KOP=KAB,因此b=

7、c,.,例7. 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2 为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439 km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384 km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371 km.求卫星的轨道方程（精确到1 km）。,x,y,A,B,.,.,F1,F2,解：,建系如图，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点,可设椭圆方程为：,则,O,.,.,解得,故卫星的轨道方程是,.,练习,1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 。 2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 。 3、若椭圆的 的

8、两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 。,4、已知椭圆 的离心率为1/2， 则m= .,1/3,4或5/4,1/2,.,练习： 1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. 一焦点坐标为（3，0）一顶点坐标为（0，5） 两顶点坐标为（0，6），且经过点（5，4） 焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。,2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。,.,3、（ 高考）椭圆 的焦点F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中

9、点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 （ ） A、7倍B、5倍C、4倍D、3倍 4、我们把离心率等于黄金比 的椭圆称为优美椭圆，设 是优美椭圆，F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则ABF= A、60B、75C、90D、120,.,例6. 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于别一个焦点F2上。由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知BC垂直于F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm.试建立适当

10、的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）,.,例5 电影放映灯泡的反射面是旋转椭圆面的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点。已知 建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程。,课本例题,.,小结：,本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解

11、析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。,.,例5：设M为椭圆 上的 一点,F1 ,F2为椭圆的焦点,如果MF1F2 =75， MF2F1 =15，求椭圆的离心率。,.,1、用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）先定位：确定焦点的位置 （2）再定形：求a,b的值。 2、求椭圆的离心率 （1）求出a,b,c，再求其离心率 （2）得a,c的齐次方程，化为e的方程求,小结,.,作业,1、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 焦点与短轴两端点