高中数学必修一知识点总结

1、辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）1 高中数学必修一知识点总结高中数学必修一知识点总结 辽宁家教协会内部辽宁家教协会内部资料资料禁止翻印禁止翻印 姓名：姓名： 编号：编号： 学校：学校： 年级：年级： 科目：科目： 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）2 第一章第一章集合集合 一、集合的概念：一、集合的概念： 我们看到的、听到的、闻到的、触摸到、想到的各种各样的事物或一些 抽象的符号，都可以看作对象对象。 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个

2、整体是 由这些对象的全体构成的集合集合（或集集） 。构成集合的每个对象叫做这个集合 的元素元素（或成员成员） 。 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集空集，记作: 通常用大写字母 a,b,c,表示集合；用小写字母a,b,c，表示元素。 (1)集合中元素与集合的关系集合中元素与集合的关系：属于；不属于。 若a是集合a的元素，记作aa；若b不是集合a的元素，记作ba. (2)(2)(2)(2)集合中元素的三个特性：集合中元素的三个特性：确定性、互异性与无序性； 确定性确定性：设a是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是a的 元素，或者不是a的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性

3、互异性： 一个给定集合中的元素， 指属于这个集合的互不相同的个体 （对 象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列 顺序无关； (3)根据含有元素个数可将集合分为有限集有限集和无限集无限集 (4)常用数集及其记法： 非负整数集非负整数集（或自然数集自然数集） ，记作 n n n n；正整数集正整数集，记作 n n n n* * * *或或 n n n n+ + + +； 整数集整数集，记作z z；有理数集有理数集，记作 q q； 实数集实数集，记作 r r r r 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学

4、命题教研组（姚老师）3 二、集合的表示方法：二、集合的表示方法： 表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 1.列举法列举法：把集合中的元素都列举出来，写在大括号内； 适用：有限集，元素不太多；元素较多，但排列又呈现一定规律。 2.描述法描述法： 一般地，在集合 i 中，属于集合 a 的任意一个元素x都具有性质p(x), 而不属于集合 a 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合 a 的一个特特 征性质征性质。 集合 a 可以用它的特征性质p(x)描述为xi|p(x),这种表示集合的方法 叫做特征性质描述法特征性质描述法，简称描述法描述法。 具体方法：在大括

5、号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或 变化)范围， 再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示 法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 3. 3. 3. 3.图示法：图示法：一般用韦恩图表示。 三、集合间的关系 1. 1. 1. 1.包含关系：包含关系： 一般地， 集合a的任何一个元素都是集合b的元素， 那么集合a叫做集 合b的子集子集，记作：ab或 ba,读作： “a a a a 包含于包含于 b”或“b包含包含a” 。 如果集合 p 中存在着不是集合 q 的元素， 那么集合

6、 p p p p 不包含于不包含于 q q q q， 或 q q q q 不包含不包含 p p p p，分别记作: 规定：空集是任意一个集合的子集。 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）4 如果集合 a 是集合 b 的子集，并且 b 中至少有一个元素不属于 a，那 么集合 a 叫做集合 b 的真子集真子集，记作：ab 或 ba 读作： “a a a a 真包含真包含于于 b b b b” ，或“b b b b 真包含真包含 a a a a” 性质：(1)任意一个集合 a 都是它本身的子集，即 aa； (2)空集是任意一个集合的子

7、集，即a； (3)若ab，bc,则ac；若ab,bc,则ac； (4)若集合a是 n 个元素的集合，则集合a有 2n个子集（其中 2n1 个真子集） ； 注：子集与真子集的区别与联系：集合 a 的真子集一定是其子集，而集 合 a 的子集不一定是其真子集；若集合 a 有 n 个元素，则其子集个数为 2n， 真子集个数为 2n-1,非空真子集个数为 2n-2. 2. 2. 2. 2.集合相等：集合相等： 一般地,集合a的每一个元素都是集合b的元素,反过来,集合b的每一个 元素也都是集合 a 的元素,那么我们就说集合集合 a a a a 等于集合等于集合 b b b b,记作：a=b 注解：构成两个

8、集合的元素完全一样。若ab且ba，则称a等于b，记 作a=b；若ab且ab，则称a是b的真子集，记作ab； 3. 3. 3. 3.集合关系与特征性质间的关系。集合关系与特征性质间的关系。 一般地,设 a=x|p(x),b=x|q(x),如果 ab,则xaxb, 于是 x 具有性质p(x)x具有性质q(x)， 即p(x)q(x)则 a 一定是 b 的子集。 如果p(x)q(x)则 a=b；反之如果 a=b 则p(x)q(x)。 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）5 四、四、集合的基本运算集合的基本运算 集合的基本运算包括交集、

9、并集和补集.在解题时要注意 venn 图及补集思 想的应用。 1. 1. 1. 1.交集交集 一般地，对于两个给定的集合 a,b 由属于 a 又属于 b 的所有元素构成 的集合，叫做 a 与 b 的交集交集。记作 ab，读作“a 交 b” lo=a,b;ab 可用图中阴影部分表示 意义：ab=x|xa 且xb 运算性质： abba；aaa；a； 如果 ab，则 aba；aba，abb； 2. 2. 2. 2.并集并集 一般地，对于两个给定的集合 a,b 由两个集合所有的元素构成的集合， 叫做 a 与 b 的并集并集。记作 ab。读作“a 并 b” 。 意义：ab=x|xa 或xb 运算性质:

10、abba；aaa；aa； abbab.aba，abb； 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）6 3. 3. 3. 3.补集：补集： 在研究集合与集合间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合 的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用 u 表示。 如果给定集合 a 是全集 u 的一个子集，由 u 中不属于 a 的所有元素构 成的集合，叫做 a 在 u 中的补集，记作：cua 意义：ab=x|xu 或xa 注意注意： 全集是一个相对概念， 一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集， 是我们为研究集合关系临时选定的一个集合. 集

11、合集合 a a a a 与其补集的区别与联系与其补集的区别与联系: : : :两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一 起,就是全集. 交集、并集、补集的关系： acua；acuaa； cu(ab)(cua)(cub)；cu(ab)(cua)(cub) 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）7 第二章第二章 函数函数 第一部分、函数的基本第一部分、函数的基本概念概念 1. 1. 1. 1.映射映射: : : :设 a、b 是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合 a 的任 何一个元素,在集合b中都有唯一的元素和它对应,这

12、样的对应叫做从集 合 a 到集合 b 的映射,记作f： ab.(包括集合 a,b 及 a 到 b 的对应法则) 注:(1)对于集合a中的不同元素，在集合b中有不同的象（单射） (2)集合b中的每一个元素都是集合a中的每一个元素的象（满射） (满射即集合b中的每一个元素都有原象。) 对映射概念的认识 (1)f: ab 与f: ba 是不同的,即 a 与 b 上有序的.或者说： 映射是有方向的. (2)集合 a,b 可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. (3)集合 a 中每一个输入值,在集合 b 中必定存在唯一输出值.输出值的集合 是集合b的子集.即集合b中可能有元素在集合a中找不到对应的输

13、入值. 即：即：( ( ( (i i i i) ) ) )不允许集合不允许集合 a a 中有空余元素；中有空余元素；(ii)(ii)(ii)(ii)允许集合允许集合 b b 中有剩留元素；中有剩留元素； (iii)(iii)(iii)(iii)允许多对一，不允许一对多允许多对一，不允许一对多. . 2 2. .函数函数：设 a、b 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集 合 a 中的任意一个数x,在集合 b 中都有唯一确定的数f(x)和它对 应。称f: ab 为从集合 a 到集合b的一个函数,记作：y=f(x),xa (1)函数的定义域、值域： 在函数y=f(x),xa 中，x

14、 x x x叫做自变量自变量,x的取值范围 a 叫做函数的定义定义 域域；与x的值相对应的y y y y值叫做函数值函数值,函数值f(x)|xa的集合 b 叫做函 数的值域值域. 注意:(i)函数符号y=f(x)与f(x)的含义是一样的; 都表示y是x的函数,其中 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）8 x是自变量,f(x)是函数值,连接的纽带是法则f。f是单值对应。 (ii)定义中的集合 a，b 都是非空的数集,而不能是其他集合； (2)一个函数的构成要素函数的构成要素：定义域、值域和对应关系 (3)相等函数相等函数：两函数定

15、义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。 注:两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。 如函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数； y=sinx与y=cosx， 其定义域为r， 值域都为-1,1， 显然不是相等函数。 因此判断判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系 (4)函数的表示方法函数的表示方法：表示函数的常用解析法、图象法和列表法。 (5)分段函数分段函数: :若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几 个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义

16、域的并集定义域等于各段函数的定义域的并集, ,其值域等于各段函其值域等于各段函 数的值域的并集数的值域的并集, ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。 (6)复合函数:设y=f(u)，,u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时,u=g(x)的值 在y=f(u)的定义域 df 内变化,因此变量x与y之间通过变量u形 成的一种函数关系,记为：y=f(u)=fg(x)称为复合函数(composite function),其中x称为自变量,u为中间变量， y为因变量(即函数)。 如：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2 则称fg(x)(或gf(x)为复合函数。 fg(x)=2(x

17、2+2)3=2x2+1;gf(x)=(2x3)2+2=4x212x+11 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）9 第第二二部分、函数的基本性质部分、函数的基本性质 一、一、函数定义域的求法：函数定义域的求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数ytan ,(,) 2 x xrkz =且xk + 余切函数y cot ,(,)x x rkz=且x k 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理) 函数 yarcsinx

18、的定义域是 1, 1，值域是, 2 2 ， 函数 yarccosx的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ， 函数 yarctanx的定义域是 r ，值域是, 2 2 ， 函数 yarccotx的定义域是 r ，值域是 (0, ) . 二、函数值域求法：二、函数值域求法： 1 1. .直接观察法直接观察法: :对于一些比较简单的函数， 如正比例,反比例,一次函数,指数函 数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。 2 2 2 2. . . .配方法配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； 3 3 3 3. . . .换元法换元法（无理函数，部分三角函数；形如 2( +b ( + y af

19、xf x c=） 的函数） 4 4 4 4. . . .分离常数法分离常数法 5 5 5 5. . . .变量反表示法（变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。） 6 6 6 6. . . .判别式法判别式法（ () 2 111 12 2 222 ,0 a xbx c ya a a xb x c + = + 形如不同时为 分式函数） 7 7 7 7. . . .函数的单调性法函数的单调性法： a.形如,yaxbcxd=+若 ac0 用单调性法，ac+=k x k xy，若 k x x 与不能相等，用单调性法， k x x 与能相等，用不 等式法（特别关注)0(+=k x

20、k xy的图象及性质） 8 8 8 8. . . .导数法导数法（高次函数） 9. . . .不等式法不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(+=k x k xy型函数，当 k x x 与不 能相等时必须用函数单调性） 10101010. . . .数形结合法数形结合法 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）10 三、函数单调性三、函数单调性 1 1 1 1. . . .定义：定义：(1)(1)(1)(1)单调函数的定义单调函数的定义 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 i，如果定义域 i 内某个区间 d 上任 意两个自变

21、量的值x1,x2,当x1x2时， 若f(x1)f(x2),则f(x)在 d 上是增函数增函数. 若f(x1)f(x2),则f(x)在 d 上是减函数减函数. (2)(2)(2)(2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 d 上是是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性单调性，区间 d 叫做f(x)的单调区间单调区间 补注：补注： (i)(i)对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点: (1)函数的单调性是对某一个区间而言的,例如,函数f(x)在区间(1,0)上是减 函数，在(0,1)上是减函数,但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数.如函数 f(

22、x)1 x. (2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具 有任意性，不能用特殊值代替 (3)由于定义都是充要性命题,因此由f(x)是增(减)函数,且f(x1)f(x2)x1x2),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可 以互推,如:yf(x)是定义在1,1上的增函数,你会解不等式f(1x)baxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在 上是增函数；上是增函数； 1212 ()( )()0 xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在 上是减函数上是减函数. . 2.判断函数单调性的常用方法：判断函

23、数单调性的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 ( ( ( (1 1 1 1) ) ) )定义法：定义法：证明函数f(x)在给定的区间d上的单调性的一般步骤： 1 任取x1，x2d，且x10)； (iii)f(x)g(x)为增函数(f(x)0，g(x)0)； (iv)f(x)为增函数(f(x)0)； 奇函数奇函数在对称的两个区间上有相同的相同的单调性单调性； 偶函数偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；相反的单调性； 互为反函数互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性相同的单调性； 4. 4. 4. 4.抽象函数的单调性：抽象函数的单调性：抽象函数要紧扣单调性的定义结合题中

24、所给的性质和 相应的条件，对任意的x1,x2在所给的区间内，比较f(x1)-f(x2)与 0 的大小，或 () () 1 2 f x f x 与 1 的大小。 5. 5. 5. 5.对号函数对号函数( )() ,0 a f xxa x =+ 的单调性：的单调性： （i）在 () ,0 a，( ) 0, a分别递减； 在( ) , a，( ) ,+a分别递增。 (ii) x0 时有最小值() min 2ff=aa； x0 时，一次函数是增函数；当 k0 开口向上；a a b 即a,b同号）时,对称轴在 y 轴左侧； 00 与 y 轴交于正半轴； c0 与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和

25、条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧, 则00 时，开口向上；a0 时,抛物线开口向上,在x=h处取最小值ymin=k=f(h)=f( a b 2 ); 在区间(, a b 2 上是减函数,在 a b 2 , +)上是增函数. (3)当a0 为例) （a0 的情况） acb4 2 =0=00)的图像 ax2+bx+c=0的解有两个不相等实根x1,x2有一个根x0没有实数根 ax2+bx+c0的解()() 12 ,xx+u 0 xxr ax2+bx+c0的解( ) 12 ,xx+u rr ax2+bx+caaa0 0 0 0的前提下解题口诀: 小于取中间小于取中间, , , ,大于取两

26、边大于取两边. . . . (2)二次函数图像与 x 轴交点横坐标是对应一元二次方程的根， 也是相应一元 二次不等式解的端点； (3)关于不等式恒成立问题不等式恒成立问题，常见的解法有三种： (i)利用数形结合思想； （ii）利用分离变量，转化为函数最值求解； 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）18 （iii）与二次函数有关的问题用判别式解决。 ax2+bx+c0恒成立 0 0a ； ax2+bx+c0恒成立 0 0a ； ax2+bx+c0恒成立 0 0a ； ax2+bx+c0恒成立 0 0a 5、一元二次方程根的分布问题

27、： 根的分布图像充要条件 12 xxk 12 kxx 12 xkx( )0f k () 1212 ,x xk k ( ) ( ) 21 2 1 2 0 0 0 k a b k kf kf 12 ,x x只有一个 根在() 12 ,k k内 12 ( )()0f kf k； 或 12 11 ( )=0 22 kk f kk b a + ， 或 12 22 ()= 2 0 2 kkb f a kk + + 0 0 0 21 21 xx xx ； （ii）方程有两个不等的负根 0 0 0 21 21 xx xx （iii）方程有一个正根一个负根0(0)0(0)0acaff，且1n） (1)() n

28、m m nn m aaa=；(2) nm n m n m a a a 11 = 2、根式的性质 （1）()n n aa=. （2）当n为奇数时， nn aa=；当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a = ，则 (1) rsr s aaa + =. (2)( ) rsrs aa=.(3)()r rr aba b=. 注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂 的运算性质，对于无理数指数幂都适用. ( (二二) )对数：对数： 1.1.对数的定义对数的定义： 若ab=n,(a0且a1)则b b b b叫做叫做以以a a a a为为底底n n n n的对数

29、的对数， 记作：logan （a0且a1） 指数式与对数式的互化式：log (0,1,0) b a nban aan= . 2 2. .对数恒等式：对数恒等式：（a0且a1，n0） ( ) log 1 an an= ；( )2 log n a an=；( ) 1 3 log log a n n a = ； 3 3. .对数性质：对数性质： 负数和零没有对数； 1 的对数是零， 底的对数是 1,即log 1 0 a = ,log 1 a a= . 4 4. .对数运算法则：对数运算法则：( (若 a0，a1，m0，n0，则) (1)log ( )loglog aaa mnmn=+ ; (2)lo

30、g loglog aaa m mn n = ; (3)log log() n aa mnm nr= . (类似的n n n a n a log 1 log=。) 5 5. .换底公式：换底公式： log log log m a m n n a = (a0且a1,m0,且m1,0n)。 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组（姚老师）21 推论 loglog m n a a n bb m = (a0且a1,0mn,且1m,1n,0n). 6 6. .两个特殊对数两个特殊对数:(:(1 1) )常用对数：常用对数：以 10 为底的对数，记作：l

31、gn ( ( ( (2 2 2 2) ) ) )自然对数：自然对数：以 e=2.71828为底的对数，记作：lnn 7.7.常用公式：常用公式： bb a n an loglog=；b n m b a m an loglog=； 1loglog=ab ba ；ccb aba logloglog=。 （三）指数函数与对数函数（三）指数函数与对数函数 名称指数函数对数函数 一般 形式 y=ax(a0,a1)y=logax(a0,a1) 0a10a1 图象 定义 域 (,) +(,) +(0,)+(0,)+ 值域 (0,)+(0,)+(,) + 函数 值变 化情 况 当 0a1 时， 1(0) 1(0) 1(0) x x ax x = = 1 时， 1(0) 1(0) 1(0) x x ax x = = 当 0a1 时， 0(1) log0(1) 0(01) a x xx x = = 1 时， 0(1) log0(1) 0(01)