ch9.1 定积分概念

1、1,第九章 定积分,1 定积分的概念,2 牛顿-莱布尼茨公式,3 可积条件,4 定积分的性质,5 微积分学基本定理 定积分的计算（续）,2,1 定积分的概念,不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题。求不定积分是求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的。,一、问题提出,3,1. 曲边梯形的面积,曲边梯形：,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,4,思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。,一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,

2、（九个小矩形）,用矩形面积近似曲边梯形面积：,5,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,6,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,7,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,8,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,9,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,10,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,11,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,12,观察下列演示过程，注意当分

3、割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,14,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,15,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,16,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,17,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,18,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,19,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,20,观察下列演示过程，

4、注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,21,22,解决步骤 :,1) 分割,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 近似,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,分割T,23,3) 求和,4) 取极限,令,则曲边梯形面积,T的模或细度,24,2. 变力作功,若F为变力:,常力F所作的功为:,(1)分割：把,任意分为n个小段:,(2)近似：在,上任取一点,物体从,移到,时,作的功,(3)求和：物体从,移到,时,作的功近似为:,(4)取极限：当无限细分时,上述

5、和式的极限就是所求的功，即,25,总结：上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力作功的力学问题，它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近。不同的问题，有相同的数学结构（数学模型）！在科学技术中还有许多同样类型的数学问题，解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割，近似，求和，取极限”。这就是产生定积分概念的背景。,26,就随之而确定；,可用来反映a,b被分割的细密程度.,具有同一细度,分割T 一旦给出，,因此,的分割T却有无限多个.,二、定积分的定义,定义1,设闭区间a, b内有n-1个点，,依次为,它们把a, b分成n个小区间i=xi-1, xi, i=1, 2, ，n.,

6、这些分点或这些闭子区间构成对a,b的一个分割，,记为,小区间xi的长度为xi=xi - xi-1,并记,称为分割 T 的模.,注：,由于,另外，,但是，,27,对于a, b的一个分割,又与所选取的点集 有关.,任取点,定义2,设 f 是定义在a, b上的一个函数.,i=1, 2 , n,并作和式,称此和式为函数 f 在a, b上的一个积分和，,也称黎曼和.,注：,显然，,积分和既与分割T有关，,28,J是一个确定的实数.,使得对 a, b的任何分割T，,，只要,以及在其上任意选取的点集,，总存在某一正数,若对任给的正数,数J 称为 f 在 a, b上的定积分或黎曼积分，,a, b分别称为这个定

7、积分的下限和上限.,定义3,设 f 是定义在a, b的一个函数，,，就有,则称函数 f 在区间a, b上可积或黎曼可积；,记作,其中，,f 称为被积函数，,x称为积分变量，,a, b称为积分区间，,29,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,30,以上定义是定积分抽象概念的完整叙述.下面是与定积分概念有关的几点补充注释.,注1,把定积分定义的,说法和函数极限的,说法相对照，,便会发现两者有相似的陈述方式，,因此我们也常用极限符号来表达定积分，,即把它写作,定积分定义中的两个任意性:,(1) 分割T 的任意性;,(2),的任意性.,每一个 并不唯一对应积分和

8、的一个值，这使得积分和 的极限要比通常的函数极限复杂得多.,31,积分和的极限,与普通函数极限,的区别：,(1),积分和,不是T 的函数,而,是,的函数;,(2),与,的定义结构基本相同.,使得对,上的任意,分割T及任意,当,时,恒有,当,时,恒有,32,时必定同时有,一般不能用,因为,来代替,时未必有,但,注2,则该函数在所论区间上是不可积的.,唯一重要的是分割的细度,注3,极限,的存在与分割T 的形式无关，,与,的选择也无关；,当,足够小时，,总能使积分和与某一确定的数J无限接近.,若能构造出两个不同方式的积分和，,使它们的极限不相同，,33,例1,讨论狄利克雷函数,为有理数,为无理数,在

9、区间,上的可积性.,解:,设,为区间,上的分割.,在区间,上的关于分割T的积分和为,由实数的性质,在每一,上,既有有理数,也有无理数.,当,取有理数时,当,取无理数时,所以该函数在区间,上不可积.,34,Dirichlet函数不Riemann可积。,注：D(x)的下方图形 可看成由0,1中每个 有理点长出的单位线 段组成。,上积分,下积分,35,则对每个特殊分割T以 及点集,一般地，,f 在a, b上不可积,以及,虽然,但,注4,反之，,若 f 在a, b上可积，,的特殊选择，,所得的积分和当,时，,必以,为极限.,36,在a, b上形成的曲边梯形 面积为,稍后(定理9.3)就会 知道连续函数是可积的，,质点从a位移到b所作的功为,注5,可积性是函数的又一分析性质.,于是本节开头两个实例都可用 定积分记号表示：,1）连续曲线,2）在连续变力F（x）作用下，,37,注6,定积分的几何意义,设,为,上连续函数.,(1