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文档简介

1、第二讲 区域,主讲人：王东明,2010年.秋学期,1.平面点集的有关概念,(1) 邻域：平面上以 z0为中心, 以d (任意的正数)为半径的开圆: |z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域。,去心邻域：由不等式 0|z-z0|d 所确定的点集称为 z0 的去心邻域。,开集：设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在 z0 的一个邻域, 该邻域内的所 有点都属于G, 则称 z0为G的内点.,（2）开集与闭集,闭集：平面上不属于G的点的全体称为G的余集， 记作 ,开集的余集称为闭集。,边界：设D为复平面内的一个区域, 若在点z0的任 一邻域内既有G的点,又有 的点，则称z0 是G的边界

2、点. G的所有边界点组成G的边界。,如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集, 孤立点: z0 属于G, 若在 z0的某一邻域内除 z0 外 不含G的点，则称 z0为G的一个孤立点。 孤立点一定是G的边界点。,有界集：若存在一个以 z = 0为中心的圆盘包含G， 则称G为有界集，否则称G为无界集。,例题:,（3）区域,平面点集D满足下列两个条件，则称之为区域： 1) D是一个开集; 2) D是连通的。 (即：D中任何两点都可以用完全属于D 的 一条折线连接起来),区域D和它的边界构成闭区域或闭域，记作：,故：区域就是连通开集,例题：,表示方法： a、参数方程：z(t)=x(t)+iy(t)

3、 b、动点 z 所满足的关系式,光滑曲线：如果在闭区间a,b上Re z(t)和 Im z(t)都是连续的，且它们的 导函数恒不为零，则称此曲线 为一条光滑曲线。 类似地，可以定义分段光滑曲线。,(4) 平面曲线,简单曲线：设C: z = z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点 对于满足 at1b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2 但 z(t1) = z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C 的重点. 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或 若当(Jardan)曲线,若当曲线定理:,任一简单闭曲线把平面分成两个区域，它们都以该曲线为边界，其

4、中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另外一个为无界区域，称为外部。,简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的.,如果对区域 D内的任一条简单闭曲线的内部总属于D, 则称D为单连通区域。 一个区域若不是单连通区域, 就称为多(复)连通区域.,(5) 连通区域,2、无穷远点:, 我们规定它的实部、虚部、辐角无意义， 模等于：,(1)特殊的“复数”无穷大，记为：,无穷远点的邻域: 无穷远点的去心邻域:,(2) 它和有限复数的基本运算为：,下列运算无意义：,除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.,对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于Z点, 则球面上除N点

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