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文档简介

1、应用数理学院应用数学学科部,(Advanced Mathematics),高等数学,第三节 几种特殊函数的 不定积分,一、有理函数的积分,二、三角函数有理式的积分,三、简单无理函数的积分,基本积分法:,换元积分法;,分部积分法.,初等函数,初等函数,例如,下列函数积分都不是初等函数,直接积分法;,在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域,有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.,有理函数的定义,两个多项式的商表示的函数,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,真分式;,假分式.,例,多项式的积分容易计算.,真分式的积分.,只讨论:,多项式,真分式,有理函数,多项式 + 真分式,分解,

2、若干部分分式之和,对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.,定理,部分分式(最简分式).,用此定理有理函数的积分就易计算了.,且由下面的例题可看出:,有理函数的积分是初等函数.,系数的确定,一般有三种方法:,(1) 等式两边同次幂系数相等;,(2) 赋值;,(3) 求导与赋值结合使用.,例 求,解,由多项式除法,有,说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.,假分式,例 求,解,比较系数,因式分解,代入特殊值来确定系数,取,取,取,例,求,解,二次质因式,任意有理真分式的不定积分都归纳为下列,其中A,B, a, p, q都为常数,并设,几种典型部

3、分分式的积分之和,n为大于1的正整数.,类型,解决方法,作代换去掉根号.,二、简单无理函数的积分,回代,例,解 令,原式=,解,令,分部积分,回代,例,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过,有限次四则运算,构成的函数.,一般记为,如,三、三角函数有理式的积分,和分部积分法讨论过一些.,对于三角函数有理式的积分,曾用换元法,是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数,回答是肯定的.,?,由三角学知识,可通过变换,事实上,由,半角变换(或称万能代换）,则,表示.,化为有理函数的积分.,u的有理函数,例 求,解,由万能代换,回代,例 求,解 法一,回代,法二,修改万能代换公式,令,说明,及,的有理式的积分时,更方便.,用代换,通常求含,例 求,解,原式=,这是有理函数的积分.,如按部分分式法很麻烦.,使分母为单项,作变换,分析,分母是100 次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,除一下,化为和差,的积分.,例 求,解,原式=,分项,凑微分,约去公因子,配方,例

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