大学高数复习内容

1、复习主要内容,1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数和反三角函数. 2、分析复合函数的构成 3、无穷小量,4、无穷大量,5、无穷小量的性质：,(1)有限个无穷小量的和仍为无穷小量.,(3)有界量与无穷小量之积为无穷小量.,(2)有限个无穷小量的积仍为无穷小量.,6、无穷小量的比较,设,是同一极限过程的无穷小量，且 0,例 ( P17) 1 、3,x0时，sin7x2与x2是 阶的无穷小量.,同,7、两个重要极限,8、连续的定义 如果函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值,即,那么就称函数在点x0连续.,例 ( P26) 2,9、间断点及其分类 如果点x0不是函数f(x)的

2、连续点，则称点x0为的间断点.,(1) 可去间断点,(一) 第一类间断点,都存在的间断点称为第一类间断点.,(2) 跳跃间断点,(二)第二类间断点,称为第二类间断点。,常见的有无穷间断点和振荡间断点.,1、导数的定义,例 ( P36) 1 、 ( P55) 1,2、导数公式 P42-43,3、导数的意义,切线方程为,(1)几何意义,(2)物理意义,s=s(t)在点t0的导数是作变速直线运动的物体 在时刻t0的瞬时速度，即,例 求y=sinx在点 处的切线方程.,所求的切线方程为,例 从水平场地正在垂直上升的一个热气球被距离起 飞点500米远处的测距器所跟踪.在测距器的仰角为/4 的瞬间，仰角以

3、0.14弧度/分的速率增长.在该瞬间气球 的上升有多快？,已知,解 设气球高度为h，仰角为，,求,4、导数的应用问题 P49-50,两边对t求导,在该瞬间气球以速率140米/分上升,5、导数的计算,或,例 ( P43) 2 (4) (5),6、高阶导数,7、隐函数的求导,直接对方程两边对x求导. 求导过程会用到复合函数求导法则.,8、对数求导法,例 (P49) 2,9、微分,(1)点微分,(2)函数微分,10、微分的应用,( P51) 例2 ( P54) 1、2,例 ( P56) 12,1、罗尔定理,如果函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(a)= f(b), 则在(a,b)内

4、至少有一点,使得,如果函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少有一点,使得,2、拉格朗日中值定理,( P59) 1、 ( P60) 3、 ( P79) 1 (1) (5),3、洛比达法则,时，常见的等价无穷小量：,例 (P17) 3(4)、 (P64) 1(1) (3) 、2(2)(3),4、函数极值及最值,(1)极值: (第一充分条件) 设f(x)在点x0的某邻域内可导,(a)当x0 ,且当xx0时,有f(x)0， 则f(x)在x0处取得极大值.,(b)当xx0时,有f(x)0， 则f(x)在x0处取得极小值.,(2)闭区间a,b上的最值:,求极值的步骤:,(a)

5、写出函数f(x)的定义域,(b)求f (x)出驻点(f (x)=0的点)及不可导点；,(c)列表,驻点及不可导点分割定义域，根据第一充分条件判断.,(i)求(a,b)内的驻点和不可导点;,(ii)求区间端点、驻点及不可导点处的函数值； 比较大小,其中最大的和最小的就是所要求的最大值和最小值。,( P75) 例4，( P76) 2、3，( P81) 5,(3)实际应用题的最值:,建立目标函数;求驻点;下结论. (若目标函数的最值不能在区间端点取得, 且只有唯一驻点，则该驻点处的函数值就是所求的最值.),( P76) 2,解 桶的底面半径为r，高为h，体积为V,令,得唯一驻点,当底面直径为 , 高

6、为 时，容积最大.,1、原函数,不定积分,微分与积分的关系,(P85) 填空题. 例 (P98) 一 、二,2、不定积分的计算 积分公式P85、P91,凑微分法, 第二类换元法，分部积分法,例 (P94) 填空题,凑微分：,第二换元法：一般是用于去根号，令,分部积分法：,(P99) 三,1、定积分的几何意义,曲边梯形的面积,曲边梯形是由x=a、x=b、y=f(x)及x轴围成的.,(3) (P111)若f(x)在-a,a上连续且为奇函数，则,(1)当a=b时，,2、定积分的性质,例 (P129)15,3、积分上限函数及其导数,例(P109) 2,4、定积分的计算,换元法：换元必换限; 分部积分法,分部积分法,(P111) 1 (P113) 课堂练习,5、平面图形的面积,例(P122) 1,1、边际成本、边际收益、边际利润,2、成本函数、收益函数,MC表示产量为Q时, 再生产1个单位产品所花费的成本.,例(P79) 1、