第三章-第02节-应变分析

1、第三章 金属塑性变形的力学基础,第二节 应变分析,第一讲 应变与小变形几何方程,应变的基本概念,小变形几何方程,应变连续方程,应变的基本概念,PP1 拉长变细,Q Q1 单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了,PP1 沿中心线压扁,Q Q1 由于摩擦的作用，压扁且歪斜了,R R1 成鼓形后有明显的角度偏转,应变的基本概念,PP1 剪斜了,Q Q1 平移到Q1 ，未变形,PP1 缩短且转动一角度,Q Q1转动一角度，但未变形,由以上实例可以得到以下概念：,2、变形,正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短,切变形（角变形）：单元体发生畸变,3、同一质点的不同方位，有不同的变形值,4、物体变形时，单

2、元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变 形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。,1、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。,应变的基本概念,应变的基本概念,1、名义应变及其分量,设单元体PABCP1A1B1C1,PA:rx r1= rx+r,线变形(r)：单元体棱边的伸长或缩短 线应变（正应变）：单位长度上的线变形,棱边PA的线应变：,棱边PA在x方向的线应变：,应变的基本概念,1、名义应变及其分量,相对切应变（工程切应变）：,单位长度上的偏移量或两棱边所夹直角的变化量,应变的基本概念,1、名义应变及其分量,角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示线元的偏转方向

3、。如xy表示x方向的线元向y方向偏转的角度。,统称为应变分量。,应变的基本概念,1、名义应变及其分量,应变的基本概念,2、对数应变及其分量,变形体由l0ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。,应用微分的概念,自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也 称真实应变。,应变的基本概念,2、对数应变及其分量,对数应变的优点：,1、表示变形的真实情况；,2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。,应变的基本概念,2、对数应变及其分量,对数应变的优点：,1、表示变形的真实情况；,2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。,3、具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。,质点 MM1

4、 靠弹性或塑性变形实现。,位移：变形体内任一点变形前 后的直线距离(MM1),位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为 该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。,位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设， 位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶 偏导数。,或,小变形几何方程,1、位移与应变,变形体内无限接近两点的位移分量间的关系,M 点相对于M点的位移增量,小变形几何方程,1、位移与应变,若无限接近的两点的连线MM平行于某一坐标轴，例如MMx轴，则,若已知变形物体内一点M的位移分量，则与其邻近一点M的位移分以可以用M点的位移分量及其增量来表示。,

5、小变形几何方程,1、位移与应变,小变形几何方程,2、小变形几何方程,小变形几何方程,2、小变形几何方程,小变形几何方程,2、小变形几何方程,(3-66),(3-66a),小变形几何方程,2、小变形几何方程,例一：矩形柱体在无摩擦的光滑平板间压缩。,设：u,v,w线性分布,压下量H:,当z=0时，w=0, z=H时，w= -H,所以：,小变形几何方程,3、例题,由体积不变条件：,设压下量为H时，长宽方向伸长2L,展开，略去高阶微量,设：u=cx+d,当x=0时，u=0, 得 d=0,当x=L/2时，,同理：,小变形几何方程,小变形几何方程,应变连续方程又叫应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程

6、为了保证物体变形后连续，六个应变分量之间应满足的关系,对y求两次偏导,对x求两次偏导,应变连续方程,同理,每个坐标平面内，应变分量之间应满足的关系,两个线应变分量一经确定，则切应变分量随之被确定,应变连续方程,不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系,在三维空间内三个切线应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定,（3-68）,应该指出：如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量自然满足连续方程。但如果先用其他方法求得应变分量，则只有当它们满足应变连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。,应变连续方程,设,试问上述应变场在什么情况下成立？,其中a、b为常数，,例 题,例 题 解 答,

7、应变连续方程,第三章 金属塑性变形的力学基础,第二节 应变分析,知识回顾,第二讲 点的应变状态分析,体积不变条件,应变状态分析,应变增量,一点应变状态,点的应变状态,设任意点a(x,y,z)的应变分量：,设线元ab=r,r在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz,方向余弦：,长度：,a)线应变,变形后,长度：,在三个轴上的投影：,dx+u, dy+v, dz+w,点的应变状态,略去r, u, v, w的平方项,两边同除以r2,点的应变状态,点的应变状态,b)切应变(线元变形后的偏转角）,引NMa1b1.在NMb1中，,点的应变状态,如果有刚体转动，,纯剪变形引起的位移增量,刚性转动引起的位移增量

8、,去除刚性转动,所以,结论：若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知，则该点任意方向应变可求。,点的应变状态,点的应变状态,塑性变形时的体积不变条件,设单元体初始边长为 dx,dy,dz,变形前的体积,变形后边长,变形后的体积,展开，略去高阶微量,体积变化率,在弹性变形中，可正可负，在塑性变形中，认为体积不变为零。,体积不变条件为,塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。,塑性变形时的体积不变条件,对数应变表示的体积不变条件:,例:一块长、宽、厚为120mm36mm 0.5mm的平板，拉伸后在长度方向均匀伸长至144mm，若宽度不变时，求

9、平板的最终尺寸。 根据变形条件可求得长、宽、厚方向上的主应变（用对数应变表示)为：,由体积不变条件,得,所以,即,所以，平板的最终尺寸为 144mm36mm 0.417mm,塑性变形时的体积不变条件,点的应变状态与应力状态相比较,点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似，而且其性质和特性也相似。因此，在研究应变状态理论时，一些公式不需再推导，直接由与应力张量相似性得到，只要将应变张量中的线应变分量和切应变分量分别与应力张量中的正应力分量和切应力分量相对应即可。,1、主应变、应变张量不变量、主切应变和最大切应变、主应变简图,（1）主应变 过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向(也称应变主轴)

10、，该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。用1, 2, 3表示,在主轴坐标系统中，应变张量为,（2）应变张量不变量,应变状态特征方程,应变张量不变量,点的应变状态与应力状态相比较,（3）主切应变和最大切应变,若123,则,点的应变状态与应力状态相比较,(4)主应变简图 用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简称为主应变简图或主应变图。,a)压缩类变形,b)剪切类变形(平面变形),c)伸长类变形,特征应变为负应变，另外两个应变为正应变。,一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。,特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。,点的应变状态与应力状态相比较,2、八面体应

11、变,八面体线应变,八面体切应变,3、应变偏张量和应变球张量,点的应变状态与应力状态相比较,4、等效应变,取八面体切应变绝对值的,倍所得之参量称为等效应变，也称广义,应变或应变强度。,比较,等效应变的特点,1)是一个不变量； 2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的 线应变。,点的应变状态与应力状态相比较,1、位移增量和应变增量,位移增量:物体在变形过程中，在一个极短的时间dt内，其质点产生极小的位移变化量称为位移增量,记为dui,全量应变和应变增量的概念,全量应变:在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变,应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变,速度分量：,或,位移增量

12、分量：,应变增量和应变速率张量,应变增量和应变速率张量,2、速度分量和速度场,速度分量：质点在单位时间内的位移称位移速度，位移速度在三个坐标轴上的投影称位移速度分量，简称速度分量。,位移速度是坐标的连续函数，又是时间的函数，,或,应变增量：,代入几何方程,即,一点的应变增量也是二阶对称张量，称应变增量张量,注意：dij中的d不是微分符号， dij不表示ij的微分。,应变增量和应变速率张量,3、应变速率张量,应变速率：单位时间内的应变称为应变速率,将,代入,两边同除以时间dt,或,注意： 是应变增量dij对时间dt的微商，不是ij对时间的导数。,应变速率表示变形程度的变化快慢，它不但取决于成形工

13、具的运动速度，而且与变形体的形状尺寸及边界条件有关，所以不能仅仅用工具或质点的运动速度来衡量物体内质点的变形速度。,应变增量和应变速率张量,绝对变形量 锻造和轧制时 压下： 展宽： 管材拉拔时 减径： 减壁：,1、特殊工艺，特殊的方向 2、不能表示变形程度,工程应用,工程应用,相对变形量 相对压缩率: 相对伸长率: 相对展宽率:,工程应用,比值变形量 锻 造 比： 延伸系数：,本章小结,对数应变 体积不变条件 主应变简图 与应力的对比 小变形几何方程,工程实例分析,工程实例分析,工程实例分析,工程实例分析,工程实例分析,工程实例分析,工程实例分析,第三章 金属塑性变形的力学基础,第二节 应变分

14、析,第三讲 简单应变状态,平面应变,轴对称应力,轴对称应变,平面应变,概念 如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或平面应变。发生变形的平面称塑性流平面。,特点,、z 为主方向，各分量与z无关，对z的偏导数为零,、塑性变形时体积不变,平面应变,几何方程,平面应变,应力特点,1)由于平面变形时，物体内与z轴垂直的平面始终不会倾斜扭曲，所以z平面上没有切应力分量，为应力主方向。,为平均应力，是不变量,平面应变,应力特点,),平面变形的应力状态是纯切应力状态叠加一球应力状态。,平面应变,应力特点,3)平面变形时，由于z是不变量，而且其它应

15、力分量 都与z轴无关，所以应力平衡微分方程和平面应力状态 下的应力平衡微分方程是一样的，即,平面应变,平面应力和平面应变状态的共同点,3) 各应力分量与z无关，对z的偏导数为零，平衡微分方程相同。,轴对称应力,圆柱坐标系下的应力,塑性成形中，经常遇到旋转体，用圆柱坐标更为方便。,任意点坐标： 应力张量：,轴对称应力,圆柱坐标系下的应力平衡微分方程：,轴对称应力,当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则旋转体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。处于轴对称应力状态时，旋转体的每个子午面(通过旋转体轴线的平面，即面)都始终保持平面，而且子午面之间夹角保持不变。,1)过轴线子午面（ 面）不扭曲（保

16、持平面）， =z=0, 为主应力，只有四个独立应力分量；,轴对称应力,2)各应力分量与坐标无关，对的偏导数为零。,轴对称应力,轴对称的应力,均匀轴对称（如圆柱体的平砧间均匀锻粗、圆柱体坯料的均匀挤压和拉拔等） =, 只有三个独立应力分量。,轴对称应变,圆柱坐标系时的几何方程,轴对称应变,轴对称应变,向位移分量v=0，各分量与无关， 为主方向，,轴对称应变,特殊轴对称问题,对于有些轴对称问题，例如均匀变形时的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔及平砧间圆柱体镦粗等，其径向位移分量u与坐标成线性关系，于是：,应变小结,对数应变 体积不变条件 主应变简图 平面应变状态 与应力的对比 小变形几何方程,在某受力物体内应力场为：,例题,已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为如