解一元二次方程

1、.,解一元二次方程,.,复习回顾： 1、一元二次方程的形式 2、二次项、二次项系数 3、一次项、一次项系数 4、常数项 5、一元二次方程的解法,.,形如ax+bx+c=0(其中a,b,c是常数，a0)叫做一元二次方程,为什么a 0呢?,称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,.,例1 下列方程哪些是一元二次方程?,(2)2x25xy6y0,(5)x22x31x2,(1)7x26x0,解: (1)、 (4),.,例2 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：,3x25x10,x2 x80,或7x2 0 x40,3,

2、5,1,1,1,8,7,0,4,3,5,1,1,1,8,7,0,4,或7x2 40,7,0, 4,7x2 40,例题分析,.,你学过一元二次方程的哪些解法?,说一说,因式分解法,开平方法,配方法,公式法,你能说出每一种解法的特点吗?,.,用开方法解一元二次方程,.,依据：平方根的意义，即,如果 x2=a , 那么x =,这种方法称为直接开平方法。,开平方法,方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a0),.,例1、x24=0,解：原方程可变形为, x1=-2 ,x2=2,X2 = 4,.,例2、（3x -2） - 49=0,解：移项，得：（3x-2）=49 两边开平方，得：3x

3、-2=7 所以：x= 所以x1=3， x2= -,.,归纳：直接开平方法的特点：,形如x2=a (a0),.,x2+6x-7=0,.,用配方法解一元二次方程,.,什么是配方法？ 平方根的意义？ 完全平方公式？,.,配方法,我们通过配成完全平方式 ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法,平方根的意义:,完全平方式:式子 a22ab+b2 叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2.,如果x2 = a, 那么x=,用配方法解一元二次方程的方法的助手:,.,1.化1:把二次项系数化为1;,2.移项:把常数项移到方程的右边;,3.配方:方程两边同加一次项系数

4、 一半的平方;,4.变形:化成,5.开平方，求解,“配方法”解方程的基本步骤,一除、二移、三配、四化、五解.,.,例1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0,.,例2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0,.,用公式法解一元二次方程,.,用配方法解一般形式的一元二次方程,移项，得,配方，得,即,(a0),.,即,即,因为a0,所以4 0,式子,此时，方程有两个不等的实数根,.,即,即,因为a0,所以4 0,式子,此时，方程有两个相等的实数根,0,.,即,因为a0,所以4 0,式子,而x取任何实数都不可能使 ， 因此方程无实数根,.,一元二次方程的求根公式,(a0),当0时，方程,的实

5、根可写为,用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。,.,一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.,当 0 时，方程有两个不同的根 当 =0 时，方程有两个相同的根 当 0 时，方程无实数根,.,3、代入求根公式 : X= (a0, b2-4ac0),1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,求根公式 : X=,4、写出方程的解： x1=?, x2=?,(a0, b2-4ac0),.,公式法,例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0,1.变形:化已知方程为一般形式

6、;,3.计算: b2-4ac的值;,4.代入:把有关数值代入公式计算;,5.定根:写出原方程的根.,2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;,.,例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3 b2-4ac=52-42(-3)=49, x = = =,即 x1= - 3 x2=,求根公式 : X=,(a0, b2-4ac0),.,a= ，b= ，c = . b2-4ac= = . x= = = . 即 x1= , x2= .,例3：用公式法解方程x2+4x=2,1,4,-2,42-41(-2),24,求根公式 : X=,(a0, b2-4ac0),解：移项，得 x2

7、+4x-2=0,这里的a、b、c的值是什么？,.,练习: 用公式法解下列方程： 1、x2 +2x =5 2、 6t2 -5 =13t,.,例4,解：,.,例 用公式法解方程： x2 x - =0,解：方程两边同乘以 3 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. b2-4ac=(-3) 2-42(-2)=25.,x=,即 x1=2, x2= -,例 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x,解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0,a=1，b=-2 ，c=3,b2-4ac=(-2 )2-413=0,x=,x1 = x2 =,=,=,=,=,.,例 3 解方程：（x-2)(1

8、-3x)=6,这里 a=3, b= -7, c= 8.,b2 - 4ac=(-7)2 - 438=49 - 96= - 47 0,原方程没有实数根.,解：去括号：x-2-3x2+6x=6,化简为一般式：-3x2+7x-8=0,3x2-7x+8=0,.,我最棒 ,用公式法解下列方程,1). 2x2x60； 2). x24x2； 3). 5x2 - 4x 12 = 0 ; 4). 4x2+4x+10 =1-8x ； 5). x26x10 ； 6). 2x2x6 ； 7). 4x2- 3x - 1=x - 2； 8). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1); 9). 9x2+6x+1 =0 ； 1

9、0). 16x2+8x=3 ；,参考答案：,.,参考答案:,我最棒 ,解题大师规范正确!,解下列方程: (1). x2-2x80； (2). 9x26x8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;,.,用因式分解法 解一元二次方程,.,解下列二次方程 1、（x-3) (x-1)=0 2、 (x+6) (x-2)=0 3、 x (x+5)=0 4、 (x+2) (1-x)=0 5、 (4-x) (x+7)=0 6、 X (9-x)=0,.,1、x24=0,解：原方程可变形为,(x+2)(x2)=0,X+2=0 或 x2=0, x1=-2 ,x2=2,X24= (x+2)(x2),AB=0A=

10、0或,.,x+2=0或3x5=0, x1=-2 , x2=,提公因式法,.,用因式分解法解一元二次方程的步骤,1o方程右边化为 。 2o将方程左边分解成两个 的乘积。 3o至少 因式为零，得到两个一元一次方程。 4o两个 就是原方程的解。,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,.,解题框架图,解：原方程可变形为： =0 ( )( )=0 =0或 =0 x1= , x2=,一次因式A,一次因式A,一次因式B,一次因式B,A解,A解,.,用十字相乘法 解一元二次方程,., x2 + 7x+12,例1、把下列各式分解因式,=(x+3)(x+4),3x + 4 x = 7x,., x2 3x-4,例

11、1、把下列各式分解因式,=(x+1)(x-4),x - 4 x = -3x,., 2x2 +x - 3,例1、把下列各式分解因式,=(x-1)(2x+3),-2x + 3 x = x,.,解下列方程 1、x23x10=0,解：原方程可变形为 (x5)(x+2)=0 x5=0或x+2=0 x1=5 ,x2=-2,.,解下列方程 2、(x+3)(x1)=5,解：原方程可变形为 x2+2x8=0 (x2)(x+4)=0 x2=0或x+4=0 x1=2 ,x2=-4,.,思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？ 2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解,.,想一想：,关于一元二次方程,，当,a