现代设计方法-优化设计-数学基础

1、现代设计方法优化设计部分，黄正东2013年1月，本章主要内容优化设计概要优化设计的数学基础一维搜索优化方法无约束优化方法优化设计几个问题， 优化设计概述优化设计的数学基础一维搜索优化方法无约束优化方法无约束优化方法优化设计几个问题函数泰勒展开目标函数无约束极值条件目标函数凸性约束问题的极值条件：(模型性质和最佳解的表示)优化设计的数学基础，优化设计本质：求极值。 为了便于多变量问题的数学分析和解决，多采用线性函数和二次函数来代替简化目标函数。 (1)一次函数f(X )泰勒展开： f(X )在包含x(0)的某个开区间内可以导电到(n 1 )阶，只要开区间(a，b )足够小，该函数在(a，b )内

2、的x(0)点的二次泰勒展开式为：函数的泰勒展开，(2)。 (3)多元函数f(x1，x2) xn的泰勒展开：的目标函数f(x )位于点x(0)处，由所有一次偏导数构成的矩阵向量(一次导数矩阵向量或梯度)，的目标函数f(x )位于点x(0)处，所有二H(x )，nn次对称矩阵，f(x(2) )，f(x(1) )，函数Hessian矩阵，例如，优化设计的第一功通过判断极值的存在性，如果不存在极值，优化设计就没有意义。 (1)无约束目标函数极值的存在性目标函数在一元函数f(x) f(x )在点x(0)处具有极值的满足条件为：时具有极小值时，有极大值。 目标函数没有制约的极值条件、一元函数的极值点、极小

3、值点、极大值点、极值点不存在，目标函数的多变量函数f(x1，x2，xn) f(X )在点x 此外，目标函数的极值点通常对于附近的局部区域的每个点，目标函数在整个可能的区域可能存在多个极值点，并且当优化设计时目标函数应该努力找到多个极值点中的最小值点，即全局最佳的点或整体最佳的点凸性：单峰性、目标函数凸性、只有一个极值点，这是全球最大的优点。 目标函数的凸性，凸集：假设n维欧元空间Rn中有集合d。 即，d内的任意两点X(1)、X(2)间的连接直线属于集合d时，d是n维欧元空间内的凸集，否则是非凸集。 如果表现X(1)，X(2)间的连接直线，凸集合的数学式是：x2，x1，X(2)，X(1)，x2，

4、x1，X(2)，X(1)，凸集合，非凸集合，凸集合的几何学特征：其任意两点线上的所有点都在该几何学特征内。 凸函数：凸函数的公式为：f(x )、x2、x1、x、f(x2)、f(x1)、 判定函数f(x )为凸函数的满足条件：方法1 :如果函数f(x )在d上具有一次连续导数，则任意两点x(1)、x(2)、f(x )为凸函数的满足条件为：方法2 :如果函数f(x )在d上具有二次连续导数，则f(x )为如果哪里都是正定的，凸计划对于非线性计划f(X )和gu(x )都是凸函数的话，这种计划问题就被称为凸计划。 目标函数是否有制约极值，主要取决于制约条件对极值和极值点的影响。 同一目标函数的最佳值

5、和优点可能不同，因为约束限制了设计变量的可能值的范围。判断存在有制约最佳问题的制约极值点存在的条件，判断找到的极值点是全局最好的点还是局部最好的点。 约束问题的极值条件，a .无约束的优点是可执行域的内点，此时，目标函数的最佳优点是约束问题的最佳点和无约束的最佳点的相互关系：b .无约束的最佳点是可执行区域外，约束问题的最佳点是约束边界上的点， 这点是约束边界和目标函数的等值线(面)的接点，可以针对方程式约束问题、方程式约束的极值条件，建立拉格朗日函数。 这意味着方程式制约问题在点X*取极值所需的条件下，在方程式制约问题的极值点，目标函数的负梯度等于制约函数的该点梯度的线性组合。 关于不等式约束问题，不等式约束的极值条件是通过导入m个缓和变量，把不等式约束变成等式约束，可以同样建立拉格朗日函数，这两点可以统一用一个条件表示：K-T(Kuhn-Tucker )条件：K-T条件的点是K-T 在常见的非线性规划问题中，K-T点未必是约束极值点，但不一定是全局最佳优点。 一般来说，使用多初始点的极值点是否全部接近同一点(可视为最佳点)的近似方法来判别。 但是，在目标函数是凸函