解析几何第二章

1、解析几何，第2章轨迹和方程，曲线和方程：定义：如果在平面上确定框架后方程与曲线有关系：(1) (x，y)满足方程必须是曲线上某一点的坐标；(2)曲线上任何一点的坐标(x，y)满足这个方程；这个方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的图。曲线方程通常表示为：F(x，y)=0或y=f(x)，平面曲线方程，例1。求圆心在原点和半径为r的圆的方程，解：普通方程x2 y2=R2，被转换成普通方程xy=2 (x y2)，所以曲线是一个向量函数。当移动点按照一定的规律移动时，其对应的径向矢量也随着时间T(模数和方向的变化)而变化。这种径向矢量被称为可变矢量，它被记录为R(。如果变量t(atb)的每个值对应

2、于变量R的完整值(模数和方向)r(t)，则R是变量T的向量函数，表示为r=r(t) (atb)。向量函数的分量被表示，并且在平面上确定的帧是O；E1，e2，矢量函数可以表示为r(t)=x(t)e1 y(t)e2 (atb)。(1)，其中x (t)和y (t)是r(t)的分量，分别是变量t的函数。矢量参数方程，如果取(atb)的所有可能值，从(1)坐标参数方程出发，曲线的参数方程通常可以写成如下形式：这叫做曲线的坐标参数方程。终点，总是在一条曲线上；相反，这条曲线上的任何点总是对应于以它为终点的径向向量，并且这个径向向量可以完全由t到(1)的某个值t0(at0b)来确定，因此表达式(1)被称为曲

3、线的向量参数方程，其中t是参数。例3表示的径向向量r(t)。一个圆在直线上滚动而不滑动，并且在圆周上找到一个点p的轨迹。解决方法：取直角坐标系，让半径为A的圆在X轴上滚动，起点P正好在原点。滚动一段时间后，圆与直线之间的切点移动到点A，圆的中心移动到点C。此时，有、和因为，所以点P的矢量参数方程为： r=a(-sin)i a(1-cos例4众所周知，大圆的半径是A，小圆的半径是b。如果大圆不移动，小圆在大圆中滚动而不滑动，圆上某一点P的轨迹将移动。 参数方程为，例5将椭圆的普通方程转化为参数方程。方法1和方法2，让y=tx b，将其代入原始方程，并求解。在第二个公式中，取t=0，得到x=0。因

4、此，在方法2中，如果u=-t，则得到椭圆的另一个表达式。注意：在第二个解中，让y=tx b。此时，通过点(0，b)的y轴的斜率不存在，因此有必要补充点(0，-b)，或者在t时将其作为交点。在示例6中，方程y2(2a-x)=x3 (a0)是参数方程。解决方法：让y=tx，并将其代入参数方程。注1:有些曲线只能用参数方程表示，不能用普通方程表示，即不能用x和y的初等函数表示。例如，注2:当曲线的普通方程与参数方程互换时，我们必须注意两种形式方程的等价性，即考虑参数的取值范围。桶表面、台灯盖表面等。曲面在空间解析几何中被视为点的几何轨迹，曲面方程的定义：曲面的例子：曲面的方程，根据问题的含义，简化得

5、到方程和解，例2得到两个坐标平面的平分线和二面角的方程。解：因为平分线平面是与两个坐标平面等距的点的轨迹，平分线平面上的充要条件是解是，根据问题的含义，方程是，特别是，当球的中心在原点时，上、下半球的方程是：因此，球的一般方程可以从上面的方程获得：相反，通过一般方程(*)，通过当取可变区域中的所有值时，在径向末端绘制的轨迹通常是曲面。曲面的矢量参数方程定义为：如果取所有可能的值，由(2)表示的径向端点总是在曲面上；否则，这个曲面上的任何一点总是对应于以它为终点的径向，而这个径向可以完全由(2)的值来确定，那么(2)被称为曲面的向量参数方程，其中它是一个参数。曲面的坐标参数方程，而表达式(3)称

6、为曲面的坐标参数方程。因为径向向量的分量是0，所以曲面的参数方程经常被写入。在例1中，得到了以原点为中心、半径为r的球面的参数方程。P，Q，因此，这是圆心在原点和半径为r的球面的矢量参数方程。圆心在原点和半径为r的球面的坐标参数方程分别为(4)和(5)，其取值范围分别为和。在例2中，得到了以z轴为对称轴、半径为r的圆柱面的参数方程。解：如图所示，有，所以(6)，这是圆柱面的矢量参数方程。其坐标参数方程为，(6)、(7)，是一个参数，其取值范围为，和，球面坐标系和柱面坐标系，空间中的任何一点都可以视为球面上的一个点，但不同点所在的球面半径不一样。如果球面方程中的半径变成一个变量，半径和角度的变化

7、可以在空间中确定。在球面坐标系中，它代表一个半平面。在球面坐标系中，它表示锥面、柱面坐标系和空间曲线的一般方程。曲线上的所有点都满足方程，而不在曲线上的点不能同时满足两个方程。空间曲线C可以看作是空间中两个曲面的交点。特征：一般空间曲线方程，解：解：或写轴方程。该轴可视为两个平面的交点，例如，在示例2中，在坐标平面上找到半径为R且原点为中心的圆的方程。方程组代表什么样的曲线？解，对于圆柱面，对于平面，交点线是椭圆，例4方程，解，上半球，圆柱面，交点线如图所示。你指的是什么样的曲线？(viviani曲线Viviani)，空间曲线的参数方程，空间曲线的参数方程，示例53360如果空间点M在柱面x2 y2=a2上以角速度围绕Z轴旋转，并且同时以线速度V(其中V是常数)沿着平行于Z轴的正方向上升，则由点M形成的图形称为圆柱螺旋线。尝试建立其参数方程。解：将时间t作为参数，并且当t=0时，移动点位于x轴上的点A(a，0，0)处。在时间t之后，它从a移动到m (x，y，z)，m在xOy平面上的投影是m (x，y，0)。(1)移动点在柱面上以角速度绕z轴旋转，因此在时间t之后，aom=t，因此，x=| om |。Y=| om |螺旋线的参数方程为：x=acos y=asin z=b，当从0变为0时，z从b 0变为b 0 b，即m点的上升高度与om转角成正比。特别是，当=2时，m点的上升高