椭圆的定义及性质(课堂PPT)

1、1,思考：,问题： 一架救援机从A地出发进行救援任务，之后必须回到B地加油，已知飞机一次最多能飞行500公里，而AB两地相距200公里，问这架飞机能够救援到的区域是怎样的？,2,|PA|+|PB|=500 |AB|=200,3,定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离2c叫做椭圆的焦距,椭圆的定义和标准方程,4,求方程的过程:,解(1)建系：以F1F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(-c,0),F2(c,o) (2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图

2、：根据已知有：,|PF1|+|PF2| =2a,这个椭圆的一个标准方程为：,( ab0, a2=b2+c2),5,求方程的过程:,解(1)建系：以F1F2所在的直线为y轴，以线段F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(0 , -c),F2(0,c ) (2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：,|PF1|+|PF2| =2a,这个椭圆的标准方程为：,( ab0,a2=b2+c2),6,椭圆的标准方程,7,椭圆的几何性质:( ),1.范围: |x|a |y|b 椭圆位于直线x=a 和直线y=b所围成的矩形区域内 2.对称性： 关于x轴和y轴对称， 也关于原点

3、中心对称,A1,8,椭圆的几何性质:( ),A1,A2,A1,B2,B1,3.顶点和长短轴： 长轴：A1A2 短轴：B1B2 顶点： A1(-a ,0) A2(a,0) B1(0,-b) B2(0 ,b) 4.离心率：,9,椭圆的第二定义:已知点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线 的距离的比为常数 (ac0)，求点M的轨迹方程,(这个方程是椭圆的一个标准方程，称这个定点F是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的一条准线，比值叫这个椭圆的离心率),10,结论：椭圆有两条和它的 两个焦点相对应的准线,F1,11,结论：椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线,与F2对应的准线方程：,与F1对应的

4、准线方程：,12,例1：求椭圆4x2+y2=2的准线方程,椭圆的焦点在y轴上， 且a2=2, b2=0.5,c2=1.5 椭圆的两条准线方程为,解：由已知有椭圆的标准方程为,13,ex1: 椭圆的一个焦点到相应准 线的距离为 ，离心率为 ，则椭圆的短轴长为多少？,14,eg1:椭圆9x2+25y2-225=0上一点到左准线的距离为2.5,则P到右焦点的距离是( ),(A) 8 (B) (c) 7.5 (D) 7,椭圆的性质的应用：,15,eg2:椭圆 的右焦点为F，设点A ,P是椭圆上一动点，求使 取得最小值时的P的坐标，并求出这个最小值,16,问题：平面内到两个定点F1，F2的距离的差是定值

5、|PF1|-|PF2|=2a的点P的轨迹是什么？,(1)若这个定值为0，它表示什么？ (2)若这个定值=|F1F2|，它表示什么？ (3)若这个定值|F1F2|，它表示什么？ (4)若这个定值非零且|F1F2|,它表示什么？,17,当差值为0时，即|PF1|=|PF2|时：,P,轨迹是线段F1F2的中垂线,18,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时:或|PF2|-|PF1|=|F1F2|时:,轨迹是分别以F1和F2为端点的两条射线,（可不可能）？,P?,19,当|PF1|-|PF2|的绝对值|F1F2|,不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边,20,理想化的问题： 一个出租汽车司机想从

6、A地点送一个乘客到达目的地后，然后返回B点的家，已知A、B两点的距离为20公里假设司机送客和返回家都是直线行驶，假设汽车每行驶一公里耗费一元，乘客每乘坐一公里付费二元，请问这个司机怎样考虑接受乘客的目的地，他才可能至少能收益15元？,（假设不考虑职业道德）,21,分析：为了把问题简单化，我们先研究 司机刚好只收益15元的情形,2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15,（注意: |PA|-|PB|=15|AB|=20）,22,你会替司机出个主意了吗？,（要求: |PA|-|PB|=15且|AB|=20）,|PA|-|PB|15时呢？,23,定义：平面内与两个定点F1、F2的距

7、离的差的绝对值等于常数2a(|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距2c。(oac),双曲线的定义,？：如果定义中没有“绝对值”这三个字，还是双曲线吗？,24,双曲线的标准方程的求法：,为了体现双曲线的对称美，和我们研究数学的由简单到复杂的思维规律，我们也选择对称的建系方式，称如下建系所得的双曲线方程为双曲线的标准方程：,25,解:第(1)步：如图：以F1F2所在直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系,则点F1和点F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0),26,第(2)步：设点P(x,y)双曲线上的任意一点，则有:

8、,|PF1|-|PF2|=2a,27,(3)由|PF1|-|PF2|=2a和两点间的距离公式得：,28,这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？,29,焦点在x轴上的双曲线 的标准方程是：,同理：焦点在y轴上的双曲线的标准方程是：,注：a2=c2 - b2,结论：,30,例1 已知两个定点的坐标分别是F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程,31,例2 已知一个动圆过点A(2,0),并且和一个定圆(x+2)2+y2=4相切,求这个动圆的圆心的轨迹方程,32,双曲线的标准方程中的几个参量：,例3.判断下列方程是否表示双曲线

9、，若是，求出三个量a,b,c的值。 ,再请你指出各自的顶点和焦点坐标,33,证明：设m,n0,则有：,和 有公共的焦点，它们的实轴长和虚轴长正好对换 和 有公共的渐进线，它们的实轴和虚轴正好对换。我们称它们为共轭双曲线,34,例4：请判断以下方程表示什么样的曲线？并指出它们的焦点在哪个坐标轴上。,35,双曲线的渐近线方程练习：,例5.求出下列双曲线的渐近线的方程。 ,36,与双曲线的渐近线有关的结论：,(1)求双曲线 的渐近线方 程时，只需将上式右边的1换成0即可 (2)双曲线 表示任意以 为渐近线的双曲线系 (k0),37,双曲线的渐近线方程：,38,例：双曲线的中心在原点，对称轴是两坐标轴

10、，有一条渐近线方程为2x+3y=0,并且过定点(2 ,2)求这个双曲线的方程,.(2,2),39,解法一：如图,双曲线的两条渐近线把坐标平面分成四部分，点(2,2)刚好在上部分，故有这条双曲线的焦点在y轴上，设它的标准方程为,40,由双曲线的标准方程为知它的渐近线方程为：,41,又已知点(2，2)在双曲线上，则有：,故所求的双曲线的方程为：,42,解2：据题意：双曲线的渐近线方程为：,即,不妨设所求的双曲线的方程为：,将点(2,2)的坐标代入上式：,故所求的双曲线的方程为：,43,证明：双曲线 上任一点到它的两渐近线的距离之积为定值，并求这个定值。,证明：由已知，它的渐近线方程为,它们的标准方

11、程为 bxay=0,设(x0,y0)是双曲线上的任意一点，则有：,44,.,.,. p,示意：如图，过点P向两条渐近线引垂线交两条渐近线于点M、N，则有：,M,N,45,问题：|PM|+|PN|有最值吗？何时有，是多少？,.,.,. p,M,N,46,已知双曲线 右支上一点P到它的右焦点的距离为10，则P到双曲线的左准线的距离是多少？,47,回顾:椭圆的焦点半经公式及求法：,(2)设P(x,y)是椭圆 上的 任意一点，则|PF1|和|PF2|的值为aey,(1)设P(x,y)是椭圆 上的 任意一点，则|PF1|和|PF2|的值为aex,48,分析：如图，过点P向两准线引垂线交两准线于点M、N，

12、根据双曲线的第二定义：,49,同理：,50,同理： 当焦点在y轴上时：,|PF1|=a+ey,|PF2|=a-ey,51,如下图提示：你能推出焦点在x轴上的双曲线的焦半经公式吗？,52,若它的焦点在x轴上，则有|PF1|、|PF2|为exa,若它的焦点在y轴上呢？,则有|PF1|、|PF2|为eya,53,双曲线中三角形PF1F2中的边和角,正弦定理、余弦定理、和三角形面积公式在图中的体现及相互间的联系。,54,55,(1)余弦定理：,56,(2)正弦定理：,57,(3)三角形的面积公式：,58,实例1： 点P是双曲线 上的一点，F1、 F2是焦点， ,求 的面积,59,圆锥曲线的统一定义,平

13、面内到定点的距离和到定直线的距离的比是定值e的点的轨迹是： (1)当01 时表示一个双曲线 (3)当 e=1 时表示什么呢？ 平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹叫抛物线 至此，椭圆、双曲线、抛物线的定义就统一起来了，这三种曲线统称为圆锥曲线。,60,平面内到定点的距离和它到定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线,抛物线的标准方程：,以后我们约定这个定点到定直线的距离为P,K,讨论： 怎样建立坐标系所得方程简单？,61,建系方式一：,以后我们约定这个定点到定直线的距离为P,讨论： 怎样建立坐标系所得方程简单？,O,x,y,如图：以过焦点且垂直于准线的直线为x轴，以线段KF的垂直平分线为y

14、轴，建立直角坐标系。则F点的坐标为 准线的方程为,62,设点M(x,y)是所求的曲线上的任意一点，过点M作MD垂直直线L交L于点D，则有根据定义有：|MD|=|MF|,.M(x,y),D,它叫抛物线的一种标准方程,它的焦点坐标和准线方程是？,63,抛物线的标准方程有四种：,请分别画出它们的草图，并指出它们的焦点坐标、 准线方程,你还记得上式中P的几何含义吗？,64,焦点的坐标为：,准线的方程为,65,焦点的坐标为：,准线的方程为,66,焦点的坐标为：,准线的方程为,67,焦点的坐标为：,准线的方程为,68,例1:(1)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求它的标准方程,69,(2)已知抛物

15、线的标准方程为 y=x2,求它的焦点坐标和准线方程,70,例2：探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口的直经为60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置。,.F,O,x,y,A,B,71,抛物线的几何性质：,(1)范围：(一)(二)(三)(四) (2)对称轴及顶点(一)(二)(三)(四) (3)离心率 抛物线的离心率恒为1,72,抛物线的焦半径公式:,(一)(二)(三)(四),设M(x,y)是以下抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，则焦半经EF的长度为：,当抛物线的方程为y2=2px时,则|MF|=,当抛物线的方程为y2=-2px时,则|MF|=,当抛物线的方程为x2=2

16、py时,则|MF|=,当抛物线的方程为x2=-2py时,则|MF|=,73,例3：过抛物线y2=2px的焦点F任意作一条直线交抛物线于A、B两点，求证：以A、B为直经的圆和这个抛物线的准线相切。,A,B,M,74,过抛物线y2=2px的焦点F的弦长公式：设直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，则有,.F,O,x,y,A,B,75,特殊情形：当=90，即AB和对称轴垂直时：,|AB|=2|AF|=2p,此时称线段AB为抛物线的通经,76,设直线AB的斜率为k(k0),则直线的点斜式方程为,联立方程：,77,78,还有新的方法：,设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2),两式相减得：,

17、79,80,例4：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是x1、x2,纵坐标分别是y1、y2,求证:,分析：当直线的斜率不存在时， 当直线的斜率存在时。,81,例5：PQ是过抛物线的焦点的一条弦，通过点P和抛物线的顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴,分析：,不妨设抛物线的标准方程为y2=2px,设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为,下面只需证：ym=y2,(x2,y2),而且易知点M的横坐标为,82,设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程 为,83,又因为点P、O、M在一条直线上，则有：,ym=y2,即MP垂直于这条抛物线的对称轴,84,测试：,(1)求过点A(-2, -4)的抛物线的标准方程,(2)过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6,求|AB|的长。,85,直线和抛物线的交点的个数：,请你讨论