信号与系统第二章.ppt

1、第二章 连续时间系统的时域分析,1. 经典时域分析方法:,求解微分方程,2.卷积法:,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,求解齐次微分方程得到零输入响应,利用卷积积分可求出零状态响应,系统响应求解方法:,2.1 经典时域分析方法,微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成:,齐次解的形式:,(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn,(2) 特征根是等实根s1=s2=sn,(3) 特征根是成对共轭复根,常用激励信号对应的特解形式,例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y(0)=2, 输入信号f(t)=e-t (t)，求系统

2、的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解 (1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t),特征方程为,2) 求非齐次方程 的特解,解得 A=5/2，B= -11/6,由输入f (t)的形式，设方程的特解为yp(t),yp(t)=Ce-t,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,3) 求方程的全解,概念：关于0与0初始值,在系统分析中，在t=0+时刻，激励f(t)已经接入，此时y(j)(0+) (j=0,1,n-1)包含输入信号的作用，它不能描述系统的历史信息。 在t=0-时刻，激励f(t)尚未接入，此时y(j)(0-) (j=0,1,n-1) 反映

3、了系统的历史信息，而与激励无关。 某些情况下，为求解描述LTI系统的微分方程时，就需要从已知的初始状态y(j)(0-) 设法求得y(j)(0+) 。,例2：描述某LTI系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+),解：将激励f(t)=(t)代入上述微分方程，可得： y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t) 如果上式对t=0-成立，那么在0-到0+区间内，等号两端(t)项的系数应相等。对上式等号两端从0-到0+进行积分，得：,由于积分在无穷小区间0-,0+进行，而且y(t

4、)是连续的，所以：,于是可得：,因y(t)在t=0处连续，可将y(0-)=2，y(0-)=0代入上式得：,2.1.3 零输入响应和零状态响应 线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t),在零输入条件下，n阶微分方程等式右端均为零，化为齐次方程。若其特征根全为单根，则其零输入响应 式中Czij为待定常数。 若系统的初始状态为零，若n阶微分方程特征根均为单根，则其零状态响应,式中Czsj为待定常数。, 系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应，它们的关系为：,式中,可见,零输入响应系数Czij仅由系统的初始状态

5、所决定，而自由响应系数Cj要由系统初始状态和激励信号共同确定。自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。,在用经典法求零输入响应和零状态响应时，也需要响应及其各阶导数的初始值，以确定待定系数Czij和Czsj。,由式y(t)=yzi(t)+yzs(t)可得其各阶导数：,y(j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t) ，j=0,1,2,n-1,如果上式对t = 0-也成立，则有：,y(j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-) y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+),对于零状态响应，在t = 0-时刻激励尚未接入为零，应有：,yzs(j)(0-)0,

6、对于零输入响应，由于激励为零，应有：,yzi(j)(0+) yzi(j)(0-) = y (j)(0-),由此可根据题目给定初始状态（0-值）求得有关0+初始值。,例3：描述某LTI系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)；已知y(0-)=2， y(0-)=0，f(t)=(t)，求该系统的零输入响应和零状态响应。,解：（1）零输入响应yzi(t),yzi(t)是方程yzi(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0的解,该方程的特征根-1;-2，所以零输入响应可写为：,yzi(t)=Czi1e-t+Czi2e-2t,由：yzi(0+) = yzi(0-)= y

7、(0-)= 2 = Czi1+Czi2； yzi(0+) = yzi(0-)= yzi(0-)= 0 =-Czi1-2Czi2,可得：Czi1=4；Czi2=-2，所以系统的零输入响应为： yzi(t)=4e-t-2e-2t t0 也可表示为yzi(t)=(4e-t-2e-2t)(t),（2）零状态响应yzs(t),yzs(t)是方程yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)= 2(t)+6(t)的解,对上式等号两端从0-到0+进行积分，得：,yzs(t)在t0处连续，所以：,yzs(0+) = yzs(0-)=0 yzs(0)= 2 - yzs(0-)=2,对于t0，方程可写为：yzs”

8、(t)+3yzs(t)+2yzs(t)= 6,很容易可求得：yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3,再根据初始条件可解得：Czs1=-4；Czs2=1,最后得到系统的零状态响应为：,yzs(t)=-4e-t+e-2t+3 t0 也可表示为yzs(t)=(-4e-t+2e-2t+3)(t),2.2 冲激响应和阶跃响应,2.2.1 冲激响应 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应。其示意图如图2.2.1所示。,图2.2.1 冲激响应示意图,0,

9、t,d,(,t,),(1),t,h,(,t,),0,冲激平衡法 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t).,根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应h(t)时，若等式左边求导的最高阶次为n次，等式右边求导的最高阶次为m次，且动态方程的特征方程的特征根全为单根时，则有：,N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足,当nm时,nm时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数,即,例2.2-1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,解：根据系统冲激响应

10、h(t)的定义，当f(t)=(t)时，y(t)即为h(t)，即原动态方程式为,由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有(t)。这样冲激响应h(t)必为Aet(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为,由此可得特征根=-3，因此可设h(t)=Ae-3t(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有,解得A=2，因此，系统的冲激响应为,例2.2-2 已知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应h(t)。 解： 由原方程可得,由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧h(t)最高次h(t)也必须含有(t)。

11、这样，冲激响应h(t)必含有(t)项。考虑到动态方程式的特征方程为 , 特征根为1=-6，因此设 式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式有,解得,即,因此，系统的冲激响应为,例2.2-3 已知某线性非时变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t)。 解： 由原方程可得,考虑到该动态方程的特征方程为2+3+2=0，特征根1=1，2=2，因此设,式中A1、A2为待定系数，将h(t)代入原方程式，解得A1=1， A2 =1。因此，系统的冲激响应为,冲激平衡法小结,1)由系统的特征根来确定(t)前的指数形式.,2)由动态方程右边d(t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定d (j)

12、(t)项.,2.2.2 阶跃响应 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数(t)时，系统的零状态响应，如图2.2.2所示。,图2.2.2 阶跃响应示意图,一般，若n阶微分方程的等号右端只含激励f(t),即若,则当f(t)=(t)时，其零状态响应g(t)满足方程：,由 于上式等号右端只含(t)，所以除g(n)(t)外，g(t)及其直到n-1阶导数都连续，即有：,若方程（2.2-19）的特征根均为单根，则阶跃响应为：,（2.2-19）,(2.2-21),另外，若n阶微分方程的等号右端含有激励f(

13、t)及其导数,即若,若上述方程的特征根均为单根，则可设该系统阶跃响应为：,2)利用冲激响应与阶跃响应的关系,阶跃响应的求解方法：,1）求解微分方程法：,例2.2-5若描述系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)= 0.5f(t)+2f(t) 试求系统的阶跃响应。 解: 系统特征方程的特征根为1=1，2=2，b0/a0=1，因此可设其阶跃响应为： g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)(t) 它的一阶，二阶导数分别为 g(t)=(c1+c2+1)(t)+(-c1e-t-2c2e-2t) (t) g”(t)=(c1+c2+1)(t)+(-c1-2c2)(t)+(c1e-t+4c2e

14、-2t)(t),将f(t)=(t)，y(t)=g(t)，及其导数g(t)和g”(t)代入系统的微分方程，稍加整理得 由系统对应相等有,所以，系统的阶跃响应为,g(t)=(-3/2e-t+1/2e-2t+1)(t),例2.2-6 系统的冲激响应h(t)=2e-3t (t), 则该的阶跃响应为,2.3 卷积积分,2.3.1 卷积的计算,卷积的定义：,方法：解析计算和图形计算,解析计算,例：已知 试计算,解：,注意：1、积分上下限问题； 2、积分结果的 始终点问题。,图形法,步骤：,2、,1、,3、,4、,注意：1、结果的始点为两信号始点之和、终点为两信号终点之和。 2、方波和方波卷积结果是等腰梯形

15、。,例2.3.1,浮动坐标,浮动坐标：,下限 上限,t-3,t-0,t ：移动的距离,-1,1,t -1,两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0,-1 t 1,时两波形有公共部分，积分开始不为0， 积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;,1 t 2,即1 t 2,2 t 4,即2 t 4,t 4,即t 4,t-31,卷积结果,积分上下限和卷积结果区间的确定,当 或 为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。,上限取小，下限取大,(1)积分上下限,(2)卷积结果区间,计算 （练习）,2.4 卷积的性质,1、交换律,2、分配律,3、结合律,6、卷积的积分特性,则,7、 卷积的延时特性,则,8

16、、展缩特性,则,7、位移（延时）特性证明：,8、展缩特性证明：,2.4.3 奇异信号的卷积,2、微分特性 f(t) * (t) = f (t),1、延迟特性 f(t) * (t -T) = f(t -T),应用： 周期延拓,3、积分特性,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 t0， f(t)=e-2t(t)，y(0-)=1，y(0-)=2 试求：(1) 系统的零输入响应yzi(t) (2) 系统的零状态响应yzs (t) (3) 系统的完全响应y(t),解 (1) 系统的零输入响应 yzi(t),系统的特征方程为s2+7s+12=0,解得系统的特征根为s1=3，s2=4,系统的零输入响应yzi(t)=K1e-3t+K2e-4tt0,解得待定系数分别为K1=6, K2=5 故 yzi(t)=6e-3t 5e-4t t0,代入系统的初始状态y(0-)，y(0-) 有y(0-)=K1+K2=