数学建模论文

1、数学建模论文摘 要：本文以女子体操团体赛为模型对最佳阵容问题进行了分析讨论.首先，通过对该模型中不同问题的分析，找出目标函数和约束条件，建立了相应的0-1规划模型.应用Lingo数学软件进行计算，得出了在几种不同情况下该团队的最佳出场阵容.其次，在已知夺冠最低分，为该团队排出一个最佳出场阵容问题的求解过程中，建立了两级目标函数，第一级目标函数为“团队夺冠的概率最大”；第二级目标函数为“团体得分最高”.在模型求解时，通过对两个目标函数进行加权求和，从而将多目标规划的数学模型转化为单目标规划的妥协模型, 方便求解计算.最后，综合考虑概率和得分两因素，对问题进行分析，得出最佳阵容问题的求解.此外，还

2、得出了该团队夺冠前景，得分前景等相关问题的解. 1. 引 言 在前不久结束的北京奥运会上，各国代表队都争先恐后的积极参与，力争取得个人和团体的最好成绩，向全世界彰显自己的实力.虽然说个人的实力是重要的，但是临场的发挥等众多因素，都难免会使整体的成绩受到影响.为此，如何为自己的代表队选择一个最优的组合阵容，就显得异常重要.本文就是针对这个问题，建立模型进行求解的. 在求解的过程中，首先，本文以“团体得分最高”为目标，根据运动员参赛情况建立了一个01规划模型，对此类模型的求解方法较多，如分枝定界法 、完全枚举法 、隐枚举法 等，通过计算发现这些方法运算量都较大,本文中直接调用lingo软件很快的得

3、到了在最悲观和均值情况的最优解.其次，在求最佳夺冠阵容的问题时，以“团队夺冠的概率最大”和“团体得分最高”为目标建立了一个多目标规划的数学模型.对在求解多目标规划模型时,也有许多成熟的算法诸如Pareto多目标遗传算法 、随机多目标可接受分析 等，但考虑到算法的收敛性和计算的复杂度，以及本文所针对的具体对象，在模型求解方面本文采用了加权求和的方式将多目标转化为单目标进行处理.最后，鉴于已有数据是不完备的，本文已有数据的的基础上，假设选手的成绩是符合正态分布的，通过取随机数的方法，对团体总分进行蒙特卡罗模拟，并对所得的期望进行参数估计，利用概率知识 对它有90%的把握战胜怎样水平的对手尽心了分析

4、. 本文中的模型简单易行，在建模过程中，综合考虑多方面因素，既保证原问题有最佳的比赛成绩，又使其有尽可能大的夺冠概率.此模型简单实用，可以应用到社会生活的很到领域.2. 基本问题有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许10名运动员参赛，每一个项目可以有6名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10；9.9；9.8；0.1；0。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类比赛中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。每个队应有4

5、人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。现某代表队的教练已经对其所带领的10名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在4个得分上（见下表），她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出（见表中第二个数据。例如：8.40.15表示取得8.4分的概率为0.15）。试建立模型为教练解决该队的出场问题提供方法：（1） 每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；（2） 每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；（3） 若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次

6、夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠的前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有90%的把握战胜怎样水平的对手？第1页附表：运动员各项目得分及概率分布表运动员项目12345高低杠8.40.159.20.259.40.19.50.59.30.19.50.19.60.69.80.28.40.18.80.29.00.6100.18.10.19.10.59.30.39.50.18.40.159.50.59.20.259.40.1平衡木8.40.18.80.29.00.6100.18.40.159.00.59.20.259.40.18.10.19.1

7、0.59.30.39.50.18.70.18.90.29.10.69.90.19.00.19.20.19.40.69.70.2跳马9.10.19.30.19.50.69.80.28.40.18.80.29.00.6100.18.40.159.50.59.20.259.40.19.00.19.40.19.50.59.70.38.30.18.70.18.90.69.30.2自由体操8.70.18.90.29.10.69.90.18.90.19.10.19.30.69.60.29.50.19.70.19.80.6100.28.40.18.80.29.00.6100.19.40.19.60.19.70

8、.69.90.2运动员项目678910高低杠9.40.19.60.19.70.69.90.29.50.19.70.19.80.6100.28.40.18.80.29.00.610.0.18.40.159.50.59.20.259.40.19.00.19.20.19.40.69.70.2平衡木8.70.18.90.29.10.69.90.18.40.18.80.29.00.6100.18.80.059.20.059.80.5100.48.40.18.80.19.20.69.80.28.10.19.10.59.30.39.50.1跳马8.50.18.70.18.90.59.10.38.30.18.

9、70.18.90.69.30.28.70.18.90.29.10.69.90.18.40.18.80.29.00.6100.18.20.19.20.59.40.39.60.1自由体操8.40.159.50.59.20.259.40.18.40.18.80.19.20.69.80.28.20.19.30.59.50.39.80.19.30.19.50.19.70.59.90.39.10.19.30.19.50.69.80.23.问题分析 由于运动员参加各个项目的成绩会直接影响比赛成绩,因此在确定一个高效的比赛阵容,必须首先知道各运动员的各单项得分情况。每个运动员的各项得分不确定,可让运动员凭借这

10、4个得分和概率情况参赛,以赛程规则和取得估计冠军分为约束,建立非线性规划模型,求得最佳阵容。由每个运动员的4个得分情况都是相互独立并且服从正态分布,可知团队总得分也应服从正态分布。再应用相关的概率论知识便可求的其得分前景和取胜把握。4. 数学模型 4.1 模型假设 (1) 教练所进行的大量测试得出的结果精确无误，即我们按该值进行计算最后得出的结果误差可以忽略不计； 第2页(2)比赛是在大型体育场所进行，不受天气、时间（白天、晚上）的影响； (3)有与比赛有关的设备在比赛中都不会出现异常情况，如比赛记分器性能稳定，不会出现故障等； (4)比赛过程中不会因观众的过激情绪反映引起场面混乱而导致比赛终

11、止； (5)位参赛选手在比赛时技能水平发挥正常，不会出现感冒，胃病，比赛中途扭伤，怯场等现象； (6)比赛中每位裁判都是公平、公正的，每个项目的评分规则公平、公正、完善. 4.2 符号说明 i： i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10；分别为运动员 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10号； j： j=1,2,3,4；表示比赛项目，分别记为高低杠，平衡木，跳马，自由体操；x(i,j): 0-1变量，若选择i队员参加 j项比赛，记x(i,j)=1 ,否则,记x(i,j)=0K(i) ：0-1变量，若队员i参加单项比赛，记K(i)=1，否则，记K(i)=0a(i,j): 最乐观的情况下，运

12、动员i参加第 j个项目的得分b(i,j): 最悲观的情况下，运动员i参加第 j个项目的得分；c(i,j): 平均情况下，运动员i参加第 j个项目的得分；4.3 以最悲观的情况为例建立 0-1规划模型 设P为该代表队团体总分，依题意当运队员 i 入选项目 j时，b(i,j) x(i,j) 表示她在该项目得分最低的分数，否则b(i,j) x(i,j) =0.于是各队员在各单项得分按得分最低的分值估算时，该队团体总分可表示为： 这就是在这种最悲观情况下该问题的目标函数。下面来分析约束条件的构成. 由“每个队应有4人参加全能比赛”即每个队参加全能比赛的人有且仅有4名，得约束条件： 由“参加单项比赛的每

13、个运动员至多只能参加三项单项”即不参加全能比赛的运动员最多只能参加3三个单项，得约束条件：由“参加全能比赛的选手要四项全参加”，得约束条件：由“每个项目可以有6名选手参加”即每个项目的参赛选手不能超过 6名，得因此，在每个队员成绩确定的情况下，排出该队的一个出场阵容，使其团体总分尽可能高，可建立如下01规划模型：第3页根据前面的分析我们将最悲观理解为参赛选手在各单项得分最差的情况 。利用lingo软件 求解所得结果为 即表示队员2，5，6，9参加全能比赛，此外还有队员1参加了项目 3（跳马）的比赛，队员 3 参加了项目 4（自由体操）的比赛，队员 4 参加了项目 2（平衡木）和项目 3（跳马）

14、的比赛，队员 7 参加了项目 1（高低杠）的比赛，队员 8 参加了项目 2（平衡木）的比赛，队员 10 参加了项目 1（高低杠）和项目 4（自由体操）的比赛.以此阵容出赛能使该团队在每个选手的各单项得分按得分最低的分值估算的前提下总分最高，总分是：212.3分. 这里，可以将其用下表直观地表示出来,如下表：全能选手高低杠选手平衡木选手跳马选手自由体操选手团体总分2，5，6，97，104，81，43，10212.3按照上述同样的方法，可得你给出按均值估计的最佳出阵方式如下表：全能选手高低杠选手平衡木选手跳马选手自由体操选手团体总分2 ,3 ,8, 106, 75, 91, 35, 9224.74

15、.4 该队在最乐观得分不低于 2362 分情况下夺冠的最佳阵容及得分前景 在本问题中，要求夺冠的团体总分估计为不少于236.2，我们在问题一中求得的按最悲观估算和平均值估算的团体总分分别为212.3分和224.7分，我们再调用问题一中的Lingo程序算出最乐观的团体总分，我们将价值矩阵中的每个元素都置为每个运动员各个项目得分的最大值，则按照问题一的算法，我们得出团体总分的最大值为236.5，我们发现236.5和236.2相当接近，也就意味着，预使团体总分不少于236.2，则目标阵容的价值矩阵中的绝大多数元素应取运动员得分的最大值，只有极少数（个别的一个或两个）取其次大值.如此以来，我们在模型中

16、的价值矩阵不防都取运动员各项目得分的最大值.我们要求团体的派出的阵容不仅得分要高而且夺冠的概率要大，即夺冠的前景要好，因此我们在这一问题的求解中将概率取最大值当作我们的一个目标函数, 设T 为该代表队夺冠的概率，依题意夺冠概率可表示为：经过初步估算，我们发现，不论以怎样一种阵容出场，团队夺冠的可能性都极小，从某中意义上讲，团队几乎是不可能夺冠的.因此只将概率作为目标函数是不全面的，我们认为，在第4页都有夺冠的可能的情况下（尽管夺冠的概率极小），我们的最佳阵容应该是实力最好最稳定的.衡量一个运动员的实力（或者说其水平），我们一般引入得分期望这个概念.因此，一个团队的实力应该由以每个运动员各单项得

17、分按均值估算的团体总分来体现，因此，我们的另一目标函数为：由于以上目标函数为双目标函数，用Lingo求解时有困难，因此当实力最强而且夺冠概率最高时，两者的和也最大.基于这种认识，我们将两个目标函数进行加权求和后得到的新的目标函数：其中分别为各级目标函数的权值，且在这里，我们不妨取由此可以建立如下模型：在这里，为了保证按最乐观估计的团体总分不少于夺冠的总分 236.2 分，我们新增加了一个约束条件： 目标函数中的P 表示第i号选手参加第 j项比赛取得最高分的概率。因为概率很小，对整个目标函数的影响也很小，在具体的求解过程中我们可以为后面的概率乘以一个放大的基数用以扩大概率的影响。这里，我们以(1

18、0)式为目标求得的按最乐观估算的团体总分为236.3，目标函数值为223.1，即团队总的实力水平，团队的出赛阵容为： 参加全能比赛的选手编号为：4，7，8，9;单项比赛中，参加高低杠的选手编号为：2，6；参加平衡木的选手编号为：1，6；参加跳马的选手编号为：1，2；参加自由体操的选手编号为：3，5,并以此求出夺冠的概率第5页4.5 该队以此阵阵容参赛能以 90%的把握战胜怎样水平的选手 虽然我们排出的阵容是综合了实力水平最强和夺冠概率最高两者考虑的最佳阵容，但并不是按照这个阵容出赛就一定能保证每个运动员在赛场上都发挥最佳状态，参赛项目都取得最高分，实际在赛场上每个运动员的得分都是一个随机值，我们要分析该阵容的得分前景，就必须得到团队的得分数据，在这里我们假设团队的得分满足正态分布，并对该正态分布进行参数估计，首先我们利用matlab软件 随机产生若干该阵容的得分矩阵，然后进行假设检验，在确定我们模拟的阵容团体总分符合的分布性质后，我们便可以对该分布进行参数估计.首先我们对于团体总分进行蒙特卡罗模拟，得到其中的70组数据为： 222.6 222.6 222.6 222.6 222.1 222.7 224.2 221.