常微分方程的基本概念

1、1.微分方程的基本概念,2.一阶常微分方程 3.二阶线性微分方程,十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。,学科背景,解,A.求曲线方程,问题的提出：,一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。 解：将质点的初始位置取为原点，沿质点运动方向 取正向。已知自由落体的加速度为g,即：,B.质点自由下落,定义1: 含有未知函数的导数的

2、方程称为微分方程.,未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程.,未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程.,例如,5.1 微分方程的基本概念,例如,定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.,二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.,定义3: ( 微分方程的解),称为微分方程的通解. 通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特解.,微分方程的通解：,定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族),积分曲线族,1.微分方程的通解和特解有何区别和联系?,2.判断下列函数是否是微分方程,的解，是通解还是特解?,(1),(2),(3

3、),(4),.,5.2 一阶常微分方程,1. 变量可分离型,3. 一阶线性方程,2. 可化为可分离变量,主要类型,.,5.2.1可分离变量的微分方程,如果一阶微分方程,这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可.,.,两边积分,通解,分离变量,这两个方程的共同特点 是变量可分离型,.,(1) 解,两边积分,分离变量,即,于是得到方程,通解,.,(2) 解,分离变量,两端积分, 得,通解,奇异解,.,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降

4、落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,.,5.2.2 可化为可分离变量的方程,解齐次方程时,通常用变量替换法,即,将齐次方程化为可变量分离的方程.,.,这两个方程的共同特点是什麽 ?,可化为,齐次型方程,求解方法,这是什麽方程？,可分离变量方程！,.,分离变量,两端积分,由此又得到,通解,.,得,通解,.,.,例3,解,.,.,可得 OMA = OAM = ,例 在制造探照灯反射镜面时,解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕 x 轴旋转而成 .,过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:,入射角 = 反射角,取x 轴

5、平行于光线反射方向,从而 AO = OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性 ,试求反射镜面的形状.,而 AO,于是得微分方程 :,.,利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),.,顶到底的距离为 h ,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得,.,.,(1) 如何解齐次方程？,标准形式：,5. 3 一阶线性微分方程,分离变量,齐次通解,解得,非齐次,齐次,.,(2)用常数变易法解非齐次方程,假定(1)的解具有形式,将这个解代入(1) , 经计算得到,.,化简得到,即,积分,从而得到非齐次方程(1)的通解,非齐次通解,.,非齐次通解,齐次通解,.,例1 求 的通解。,原方程化为,其中,解,.,例2. 解方程