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1、第8章 广义线性模型,回归分析中假定随机扰动服从这样的一些正态分布：其方差取常值，而均值则为附属数据的线性函数 很多精算问题可以利用特殊的广义线性模型来处理，如方差分析，泊松回归以及Logistic对数（logit ）与概率（Probit ）模型等的几类 。,精算数据与模型,实践中采集的数据往往显示方差要大于均值 用于描述索赔额的分布通常具有厚重的右尾 有待建模的现象极少关于附属数据是可加的,一般往往可用乘法模型,广义线性模型,它允许偏离均值的随机误差服从不是正态分布。如，随机误差可服从指数散布族中的任一种分布，包含了泊松分布、（负）二项分布、伽玛分布与逆高斯分布等. 并不要求随机变量的均值是

2、解释变量的线性函数。但进行某些变换后它仍是是线性的譬如，当对数时，我们可以用乘法模型替代了加法模型,广义线性模型具有以下三个特征：,伽玛随机变量,逆高斯随机变量,上面所列的分布的均值。,注8.2.1（典则联结）,注8.2.2 （方差函数）,以下依方差函数中 的幂次的升幂序，分别表述之：,8.3 若干传统的估计方法与广义线性模型,不妨先假定,逐项置换法,首先可将（8.4）中的第一组方程改写为,因此,方法8.3.8 （边缘总和法）,在一个“良好”的收费系统内，对于一个拥有众多被保险人的组合来说，保费总额相等于观测到的损失总额.,若将下述关系式代入上式：,方法8.3.10（最小二乘法关于正态的极大似

3、然法）,8.4偏差与比例偏差,显然，对全模型而言，借助逐项最大化（8.20）即知，对每一皆有如以表示偏差便得,这表明，对正态分布而言，最小化偏差（或等价地最大化似然函数）是和确定参数的最小二乘法等效的,此时，对全模型仍可得 这是因为,不难验证，此例中的偏差由下式给出：,自然，上式中 必须取正值,指数散布族,定义8 . 6 . 1 （指数散布族）指数散布族密度具有以下形式, 8.6广义线性模型,例8.6.2（指数散布族的若干成员）下述参数族是指数散布族中最重要的一些成员：,最后一种参数化称为是自然或典则参数化 .,证明:由(8. 33),我们有,其中：,这恰和通常的泊松分布的密度表达式是一致的。,推论8.6.9 （指数散布族与Esscher 变换）一个连续密度 的以h 为参数的Esscher 变换是下述密度,显然，它仍是一个具有参数 和相同 的指数散布族成员的累积量数,注8.6.1

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