绝对值三角不等式

1、,1、4绝对值的三角不等式,定理1 如果a,b是实数，则 |a+b| |a| +|b| ， 当且仅当ab0时，等号成立。,定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-c|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。,|a|-|b| |a+b|,|a|-|b| |ab|a|+|b|,推论1、2,|a|-|b| |a-b|,推广：,绝对值三角不等式,题型探究,证明|(ABC)(abc)| |(Aa)(Bb)(Cc)| |(Aa)(Bb)|Cc| |Aa|Bb|Cc|，,证明,|(ABC)(abc)|s.,求证：|(ABC)(abc)|s.,例2(1)求函数y|x3|x1|的

2、最大值和最小值；,类型二利用绝对值三角不等式求最值,解方法一|x3|x1|(x3)(x1)|4， 4|x3|x1|4， ymax4，ymin4. 方法二把函数看作分段函数，,y|x3|x1|,4，x1， 22x，1x3， 4，x3.,4y4， ymax4，ymin4.,解答,跟踪训练2(1)已知xR，求f(x)|x1|x2|的最值；,解|f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3， 3f(x)3， f(x)min3，f(x)max3.,解答,解答,(2)如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集为空集，求参数a的取值范围.,解只要a不大于|x3|x4|的最小值， 则|x3|x4|a的解集为空集，

3、 而|x3|x4|x3|4x|x34x|1， 当且仅当(x3)(4x)0，即3x4时等号成立. 当3x4时，|x3|x4|取得最小值1. a的取值范围为(，1.,例3设函数f(x)|x |xa|(a0)， (1)证明：f(x)2；,类型三绝对值三角不等式的综合应用,所以f(x)2.,证明,解答,(2)若f(3)5，求a的取值范围.,当堂训练,2,3,4,1,答案,5,解析|4x2y4m2n|4(xm)2(yn)|,解析,2,3,4,1,答案,5,2.若|xa|h，|ya|k，则下列不等式一定成立的是 A.|xy|2h B.|xy|2k C.|xy|hk D.|xy|hk|,解析|xy|(xa)

4、(ya)|xa|ya|hk.,解析,2,3,4,1,5,答案,A.mn B.mnC.mn D.mn,mn.,解析,2,3,4,5,1,4.已知xR，不等式|x1|x3|a恒成立，则实数a的取值范围为A.(，4 B.4，) C.1,3 D.1,3,答案,解析|x1|x3|(x1)(x3)|4， a4.,解析,2,3,4,5,1,5.下列四个不等式：|logx10lg x|2；|ab|a|b|； 2(ab0)；|x1|x2|1. 其中恒成立的是 .(把你认为正确的序号都填上),当ab0时，|ab|a|b|，不正确；,由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1恒成立，正确.,答案,解析,跟踪训练

5、3设f(x)ax2bxc，当|x|1时，恒有|f(x)|1，求证：|f(2)|7.,证明因为当|x|1时，有|f(x)|1， 所以|f(0)|c|1，|f(1)|1，|f(1)|1， 又f(1)abc，f(1)abc， 所以|f(2)|4a2bc| |3(abc)(abc)3c| |3f(1)f(1)3f(0)| 3|f(1)|f(1)|3|f(0)|3137， 所以|f(2)|7.,证明,例题,例3 求证.,证明：在时，显然成立.,当时，左边,例1设函数f(x)x22x，实数|xa|1.求证：|f(x)f(a)|2|a|3.,类型一含绝对值不等式的证明,证明,证明f(x)x22x，且|xa|1， |f(x)f(a)| |x22xa22a| |(xa)(xa)2(xa)